Leçons d`Arithmétique `a l`oral du CAPES.

Master Enseignement Mathématiques
Eric Edo
Leçons d’Arithmétique à l’oral du CAPES.
Il y a cinq leçons d’arithmétique à l’oral du CAPES :
L12. Multiples, diviseurs, division euclidienne.
L13. PGCD, PPCM de deux entiers naturels.
L14. Egalité de Bézout.
L15. Nombres premiers, décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers.
L16. Congruences dans Z.
Ces leçons ne sont pas indépendentes, il est important de bien les articuler les unes avec les autres d’un
point de vue logique mais aussi pédagogique. Ceci doit apparaı̂tre clairement dans le choix des pré-requis.
On peut considérer que ces leçons composent quatre chapitres (L12 et L13 constituent un seul chapitre)
d’un cours d’arithmétique de terminale S (spécialité mathématiques). On peut présenter ces leçons de
façon à mettre en valeur l’idée qu’elles s’insèrent dans un progression :
1) Préciser qu’il s’agit d’une leçon d’arithmétique.
2) Résumer rapidement les leçons précédentes d’arithmétique.
3) Dire quels sont les résultats principaux de cette leçons.
4) Evoquer les leçons suivantes.
Les résultats principaux sont :
L12. Division euclidienne dans Z. Propriétés de la divisibilité. Ecriture d’un entier dans une base.
L13. Algorithme d’Euclide. Relation entre le PGCD et le PPCM. Egalité de Bézout.
L14. Egalité de Bézout. Théorème de Gauss. Résolution d’équations diophantiennes.
L15. Lemme d’Euclide. Théorème premier. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. Décomposition
d’un entier en produit de facteurs premiers.
L16. La congruence est une relation d’équivalence compatible avec les opérations.
Les leçons L13, L15, et L16 se placent explicitement dans Z (L12 et L14 s’y place naturellement), cependant il n’est pas impossible de parler un tout petit peu de l’arithmétique des polynômes en complément
dans L12 (division euclidienne des polynômes, application au théorème de la racine).
Certains résultats concernent aussi les leçons généralistes :
L68. Exemples d’algorithmes.
L’arithmétique est riche en algorithmes mathématiques c’est à dire qui ont pour entrées et sorties des
objets mathématiques abstraits (nombres entiers pas encore écrit dans une base). C’est le cas de l’algorithme des soustractions successives ou de l’algorithme d’Euclide. Ces algorithmes préexistent (d’un
point de vu logique et historique) à l’écriture d’un nombre dans une base et à l’informatique (Euclide
n’écrivait pas les entiers en base dix et il n’avait pas d’ordinateur).
L69. Exemples d’utilisation d’un tableur.
Les algorithmes récursifs numériques, par exemple l’algorithme d’Euclide en base dix, peuvent être
implémentés à l’aide d’un tableur.
L70. Les différents types de raisonnement en mathématiques.
L’arithmétique permet de donner de multiples exemples de différents types de raisonnements :
1) Raisonnement par récurrence (ex. L12. Division euclidienne dans N).
2) Raisonnement par disjonction des cas (ex. L12. Division euclidienne dans Z).
3) Raisonnement pas l’absurde (ex. L15. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers).
1
L12. Multiples, diviseurs, division euclidienne.
L12. Pré-requis.
1) Propriétés, dans Z, de +, −, ×, ≤ et |.| (valeur absolue).
2) Raisonnement par récurrence (forte) dans N.
[Remarque : Dans cette leçon on utilisera la récurrence forte qui est la propriété suivante :
Soit (P (n))n∈N une famille de propositions. On a :
(∀n ∈ N)[((∀m ∈ N) m < n ⇒ P (m)) ⇒ P (n)] ⇒ (∀n ∈ N) P (n).
Cette propriété est ”équivalente” au raisonnement par récurrence classique et au principe de la descente
infinie de Fermat (qui s’exprime en disant qu’il n’existe pas de suite strictement décroissante d’éléments
de N). Le mot ”équivalente” veut dire que tout ce que l’on peut démontrer en utilisant l’une peut se
démontrer en utilisant l’autre. On a besoin d’une de ces propriétés équivalentes dans la partie existence
de démonstration de la division euclidienne dans N.]
L12. Partie 1. Division euclidienne.
Théorème. Division euclidienne des entiers (dans N).
Soient a, b ∈ N tels que b ̸= 0. Il existe q, r ∈ N uniques tels que r < b et a = bq + r.
Démonstration.
Unicité : Supposons qu’il existe q, r, q ′ , r′ ∈ N tels que r < b, r′ < b, a = bq + r et a = bq ′ + r′ . En
soustrayant ces deux égalités et en prenant les valeurs absolues, on obtient : b|q − q ′ | = |r − r′ |. Puisque
r < b, r′ < b on a : |r − r′ | < b donc |r − r′ | = 0 d’où : r = r′ et q = q ′ .
Existence : Soit b ∈ N r {0}. Démontrons par récurrence qu’il existe q, r ∈ N tels que a = bq + r et
r < b. Si a < b alors on pose : q = 0 et r = b. Si a ≥ b alors a − b ∈ N et a − b < a donc on peut
appliquer l’hypothèse de récurrence à a − b : Il existe q ′ , r′ ∈ N tels que a − b = q ′ b + r′ et r′ < b. On pose
q = q ′ + 1 ∈ N et r = r′ ∈ N et on a : a = bq + r et r < b.
[Remarque : Cette démonstration se traduit par l’algorithme suivant qui concerne des éléments de N
considérés comme des nombres abstaits. L’existence de cet algorithme qui traduit l’idée naı̈ve de division par soustractions successives (une idée qui est à la base de la définition de la multiplication comme
additions successives) justifie le choix de la récurrence comme pré-requis plutôt que les propriétés dont
l’énoncé est plus topologique (toute partie non vide de N admet un plus petit élément, toute partie majorée de N admet un plus grand élément) qui donne des démonstrations de la division euclidienne qui
ne sont pas constructives (qui ne se traduisent pas par un algorithme). Par contre, on masque un peu
l’idée importante que la division euclidienne repose fondamentalement sur la topologie de Z qui a ceci de
particulier : elle est discrète.]
Algorithme des soustractions successives.
Entrée : a, b ∈ N tels que b ̸= 0.
Sortie : q, r ∈ N tels que r < b et a = bq + r.
Procédure DivisionN(a, b).
a′ ← a, q ← 0.
Tantque a′ ≥ b faire :
a′ ← a′ − b, q ← q + 1,
fintantque.
r ← a′ .
2
Exercice 1. Soit a ∈ N un entier. Soit b ∈ 2N + 1 un entier impair. Soit r ∈ N un entier tel que r ≤ b−1
2 .
Montrer que le reste de la division euclidienne de a par b est r si et seulement si le reste de la division
euclidienne de 2a par b est 2r.
Exercice 2. Soient r, n ∈ N tels que r < n. Montrer que parmi n nombres consécutifs, il y en a un et un
seul dont le reste de la division euclidienne par n est r.
Théorème. Division euclidienne des entiers (dans Z).
Soient a, b ∈ Z des entiers tels que b ̸= 0. Il existe des entiers q, r ∈ Z uniques tels que r ∈ {0, . . . , |b| − 1}
et a = bq + r. On dit que q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
Démonstration. Ce théorème repose sur une disjonction de cas qui se traduit par l’algorithme suivant :
Algorithme de division dans Z.
Entrée : a, b ∈ Z tels que b ̸= 0.
Sortie : q, r ∈ Z tels que r ∈ {0, . . . , |b| − 1} et a = bq + r.
Procédure Division(a, b).
(q, r) ← DivisionN(|a|, |b|),
Si a ≥ 0 alors
Si b < 0 alors q ← −q, Finsi.
Sinon (a < 0)
Si b < 0 alors
si r ̸= 0 alors q ← q + 1, r ← −b − r, finsi.
Sinon (b ≥ 0)
si r ̸= 0 alors q ← −q − 1, r ← b − r,
sinon (r = 0) q ← −q, finsi.
Finsi.
Finsi.
L12. Partie 2. Diviseurs, multiples.
Définitions. Soient a, b ∈ Z.
a) On dit que b est multiple de a (ou que a est un diviseur de b ou que a divise b) s’il existe c ∈ Z tel
que b = ac.
b) On note D(a) l’ensemble de tous les diviseurs de a. On a : D(0) = Z et si a ̸= 0 alors D(a) est un
ensemble fini (D(a) est inclus dans {−a, . . . , 0, . . . a}).
c) On note aZ l’ensemble de tous les multiples de a. On a 0Z = {0} et 1Z = Z.
Exercice 3. Soit n ∈ N. Montrer que le produit de n nombres consécutifs est divisible par n!.
Propriété (Critère de divisibilité avec la division euclidienne). Soient a, b ∈ Z tels que a ̸= 0,
a divise b si et seulement si le reste de la division euclidienne de b par a est 0.
Propriétés (La divisibilité est une relation d’ordre sur N). Soient a, b, c ∈ Z.
1) a divise a,
2) (a divise b et b divise a) si et seulement si |a| = |b|,
3) si a divise b et b divise c alors a divise c.
Propriété (Compatibilité entre divisibilité et multiplication). Soient a, b, c ∈ Z tels que a ̸= 0,
b divise c si et seulement si ab divise ac.
3
Propriétés (l’ensemble des multiples est un idéal). Soit b ∈ Z. Soient a, a′ ∈ bZ et soit c ∈ Z.
1) a − a′ ∈ bZ (bZ est stable par soustraction),
2) ac ∈ bZ (bZ est absorbant).
Exercice 4. Soit G un sous-ensemble non vide de Z stable par soustraction (on dit que G est un sousgroupe de Z). Montrer qu’il existe n ∈ N telque G = nZ.
Exercice 5. Déterminer les triplets d’entiers (x, y, z) ∈ N3 tels que 0 < x ≤ y ≤ z et xyz = 4(x + y + z).
L12. Partie 3. Ecriture d’un entier dans une base de numération.
Théorème et définitions. Ecriture d’un entier dans une base de numération.
Soit b ∈ N r {0, 1} (la base de numération). Un entier a ∈ N s’écrit en base b :
a=
∞
∑
ci bi = c0 + c1 b + c2 b2 + c3 b3 + c4 b4 + . . .
i=0
où (ci )i∈N est une suite d’éléments de {0, 1, . . . , b − 1} tous égaux à 0 à partir d’un certain rang (la suite
des chiffres de a écrit en base b).
Supposons a ̸= 0. Soit n le plus petit entier tel que ck = 0 pour tout k ≥ n. On dit que cn−1 . . . c1 c0 est
l’écriture de a en base b et que n est le nombre de chiffres de a écrit en base b.
Propriété. Deux entiers sont égaux si et seulement si tous leurs chiffres écrits en base b sont égaux.
Algorithme d’écriture d’un entier dans une base de numération.
Entrée a, b ∈ N tels que b ̸= 0.
Sortie n le nombre de chiffres de a écrit en base b et c[n − 1] . . . c[1] c[0] l’écriture de a en base b.
a′ ← a, n ← 0.
Tantque a′ ≥ b faire
(a′ , c[n]) ← Division(a′ , b), n ← n + 1,
fintantque.
c[n] ← a′ , n ← n + 1.
Remarque : Une base b ∈ N r {0, 1} étant choisie. Il existe des algorithmes permettant de déterminer
l’écriture en base b de a + a′ , a − a′ , aa′ , du quotient et du reste de la division euclidienne de a par a′
(si a′ ̸= 0) à partir de l’écriture en base b de a et a′ . Ces algorithmes sont enseignés à l’école primaire
dans le cas particulier de la base dix. Ils utilisent des tableaux de données annexes : la table d’addition
et la table de multiplication en base b (qu’il faut préalablement établir). Il importe de ne pas confondre
l’algorithme de division en base dix et l’algorithme de division euclidienne (des nombres abstraits).
Exercice 6. Détermier le chiffre des unités de 2101 en base dix.
L12. Partie 4 (Complément). Division euclidienne dans C[X].
Théorème. Division euclidienne des polynômes (dans C[X]).
Soient A, B ∈ C[X] des polynômes tels que B ̸= 0. Il existe des polynômes Q, R ∈ C[X] uniques tels que
deg(R) < deg(B) et A = BQ + R.
Corollaire. Théorème de la racine.
Soit a ∈ C un nombre complexe. Soit P ∈ C[X] un polynôme. Alors P (a) = 0 (on dit que a est une
racine de P ) si et seulement si X − a divise P (X).
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L13. PGCD, PPCM de deux entiers naturels.
L13. Pré-requis.
1) L12. Division euclidienne dans Z. Diviseurs D(a), multiples aZ. Ecriture d’un entier dans une base.
L13. Partie 1. PGCD, PPCM.
Définitions. PGCD. Nombres premiers entre eux. Soient a, b ∈ Z des entiers non tous deux nuls.
a) On note pgcd(a, b) le plus grand entier de l’ensemble D(a)∩D(b), c’est à dire le plus grand des diviseurs
communs à a et b. Pour tout a ̸= 0 on a : pgcd(a, 0) = |a| mais pgcd(0, 0) n’a pas de sens.
b) Si pgcd(a, b) = 1 on dit que a et b sont premiers entre eux, cela veut dire que a et b n’ont pas d’autre
diviseurs communs dans Z que −1 et 1.
Propriété. Soient a, b ∈ Z des entiers non tous deux nuls. On a : D(a) ∩ D(b) = D(pgcd(a, b)).
Propriétés. Réduction pour le calcul du pgcd. Soient a, a′ , b ∈ Z r {0} des entiers non nuls.
1) Si a − a′ ∈ bZ (on dit que a et a′ sont congrus modulo b) alors pgcd(a′ , b) = pgcd(a, b).
2) Soient q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b, alors : pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
Remarque : La réciproque de 1) est fausse pgcd(4, 3) = 1 = pgcd(2, 3) mais 4 − 2 ̸∈ 3Z.
Propriétés. Homogénéité du pgcd. Soient a, b, c ∈ Z r {0} des entiers non nuls.
1) On a : pgcd(ab, ac) = |a|pgcd(b, c).
b
a
et
sont premiers entre eux.
2) Les entiers
pgcd(a, b)
pgcd(a, b)
3) On a : pgcd(a, b) divise pgcd(a, bc).
Exercice 1. Donner un exemple de deux entiers a et b tels que a et
b
ne soient pas premiers
pgcd(a, b)
entre eux.
Rappel important : On note Q l’ensemble des nombres rationnels (x est un nombre rationnel s’il existe
a, b ∈ Z avec b ̸= 0 tel que x = ab ). Chaque couple (a, b) tel que x = ab s’appelle une écriture fractionnaire de x, par abus de notation, on note également ce couple ab . Deux écritures fractionnaires ab et
a′
′ ′
′
′
′
b′ (où a, b, a , b ∈ Z avec b ̸= 0 et b ̸= 0) sont celle du même nombre rationnel si et seulement si ab = a b.
Exercice 2. Soit x ∈ Q tel que x > 0 un nombre rationnel strictement positif, montrer qu’il existe une
écriture fractionnaire unique de x de la forme ab avec a, b ∈ N r {0} tel que pgcd(a, b) = 1. On appelle
cette écriture la forme irréductible de x.
Définition. PPCM. Soient a, b ∈ Z r {0} des nuls entiers non, on note ppcm(a, b) le minimum de
l’ensemble aZ ∩ bZ ∩ N r {0} (c’est à dire le plus petit multiple commun de a et b strictement positif).
Propriétés. Soient a, b ∈ Z r {0}.
1) On a : aZ ∩ bZ = ppcm(a, b)Z.
2) On a : ppcm(a, b) pgcd(a, b) = |ab|.
Exercice 3. Déterminer l’ensemble des couples (a, b) ∈ N r {0} × N r {0} tels que :
ppcm(a, b) + ppcm(a, b) = b + 9.
5
L14. Relation de Bézout.
L14. Pré-requis.
1) L12. Division euclidienne dans Z. Diviseurs D(a), multiples aZ. Ecriture d’un entier dans une base.
2) L13. PGCD, PPCM.
L13. Partie 2. L14. Partie 1. Relation de Bézout.
Théorème. Relation de Bézout.
Soient a, b ∈ Z, on suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls.
1) Il existe u, v ∈ Z tels que au + bv = pgcd(a, b). De plus si a, b ∈ N alors u et v sont de signes contraires.
2) a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u, v ∈ Z tels que au + bv = 1.
Démonstration. Algorithme d’Euclide.
Entrée : a, b ∈ Z non tous deux nuls.
Sortie : d = pgcd(a, b) et u, v ∈ Z tels que au + bv = pgcd(a, b).
Procédure Euclide(a, b).
Si |a| ≥ |b| alors r[0] ← a, r[1] ← b,
sinon r[0] ← b, r[1] ← a, finsi.
i ← 0,
Tantque r[i + 1] ̸= 0 faire
(q[i + 2], r[i + 2]) ← Division(r[i], r[i + 1]), i ← i + 1,
fintantque.
d ← r[i], u[i] ← 0, v[i] ← 1.
Tantque i > 1 faire
i ← i − 1, u[i] ← v[i + 1], v[i] ← u[i + 1] − v[i + 1] q[i + 1],
fintantque.
Si |a| ≥ |b| alors u ← u[1], v ← v[1],
sinon u ← v[1], v ← u[1], finsi.
Si d < 0 alors d ← −d, u ← −u, v ← −v.
Remarque : L’algorithme d’Euclide permet de montrer l’existence de nombres abstraits u, v ∈ Z tels que
au + bv = pgcd(a, b) mais il permet aussi de déterminer l’écriture dans un base donnée de pgcd(a, b), u
et v à partir de l’écriture dans cette base de a et b.
Exercice 4. Déterminer la forme irréductible de
385
.
168
L13. Partie 3. L14. Partie 2. Théorème de Gauss.
Théorème. Théorème de Gauss. Soient a, b, c ∈ Z.
On suppose que a divise bc et que a et b sont premiers entre eux. Alors a divise c.
Démonstration. On a : bc ∈ aZ et pgcd(a, b) = 1. D’après la relation de Bézout, il existe u, v ∈ Z tels
que au + bv = 1 donc c = auc + bcv. En utilisant les propriétés de stabilité de l’idéal aZ, de a ∈ aZ et
bc ∈ aZ, on déduit que c = auc + bcv ∈ aZ, c’est à dire que a divise c.
Exercice 5. Soient a, b, c ∈ Z r {0}.
1) On suppose que a et b divisent c et que a et b sont premiers entre eux. Montrer que : ab divise c.
2) On suppose que a et c sont premiers entre eux. Montrer que : pgcd(a, bc) = pgcd(a, b).
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L14. Partie 3. Résolution des équations diophantiennes affines.
Soient a, b ∈ Z r {0} (resp. a, b ∈ Z r {0}). Soit m ∈ Z (resp. m ∈ N), on note (Za,b,m ) (resp. (Na,b,m ))
l’équation ax + by = m d’inconnue (x, y) ∈ Z × Z (resp. (x, y) ∈ N × N).
Remarque : Posons d = pgcd(a, b). Si m n’est pas un multiple de d alors (Za,b,m ) (resp. (Na,b,m )) n’a
pas de solution. Si m est un multiple de d alors l’ensemble des solutions de (Za,b,m ) (resp. (Na,b,m )) est
l’ensemble des solutions de (Za′ ,b′ ,m′ ) (resp. (Na′ ,b′ ,m′ )) où a′ = a/d, b′ = b/d et m′ = m/d sont tels que
a′ et b′ sont premiers entre eux.
Théorème. Solutions des équations diophantiennes affines dans Z × Z.
Soient a, b ∈ Z r {0} tels que pgcd(a, b) = 1, considérons u, v ∈ Z tels que au + bv = 1 (relation de
Bézout). Un couple (u1 , v1 ) ∈ Z × Z est une solution de (Za,b,m ) si et seulement si il existe un entier n ∈ Z
tel que u1 = nb + um et v1 = −na + vm.
Démonstration. Soit n ∈ Z, posons u1 = nb + um et v1 = −na + vm. Alors au1 + bv1 = a(nb + um) +
b(−na + vm) = (au + bv)m = m donc (u1 , v1 ) ∈ Z × Z est une solution de (Za,b,m ). Réciproquement
supposons que (u1 , v1 ) ∈ Z × Z est une solution de (Em ). De aum + bvm = m et au1 + bv1 = m on déduit
que : a(u1 − um) = −b(v1 − vm). Puisque a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss implique
b divise u1 − um donc il existe un entier n ∈ Z tel que u1 = nb + um puis v1 = −na + vm.
Théorème. Nombre de solutions des équations diophantiennes affines dans N × N.
Soient a, b ∈ N r {0} tels que a > b et pgcd(a, b) = 1, considérons u, v ∈ N tels que au − bv = 1. On note
um
n le nombre de solutions de (Na,b,m ). Alors n = card(N ∩ [ vm
a , b ]). En particulier :
si
m ≤ ab − 1
ab ≤ m
alors
n≤1
n≥1
si
m = ab − a − b
ab − a − b + 1 ≤ m ≤ ab − 1
alors
n=0
n=1
Démonstration.
um
1) On considère f : Z → Z × Z définie par f (w) = (um − bw, aw − vm). Montrons que f (N ∩ [ vm
a , b ])
um
est l’ensemble des solutions de (Na,b,m ). Soit w ∈ N ∩ [ vm
a , b ]. On a : um − bw, aw − vm ∈ Z car
um
w ∈ N, um − bw ≥ 0 car w ≤ b et aw − vm ≥ 0 car w ≥ vm
a . Donc um − bw, aw − vm ∈ N.
Par ailleurs a(um − bw) + b(aw − vm) = (au − bv)m = m donc f (w) est une solution de (Na,b,m ).
Réciproquement soit (x, y) une solution de (Na,b,m ). Posons w = vx + uy. On a : w ∈ N car u, v, x, y ∈ N,
vm
vm um
w ≤ um
b car um − bw = x ≥ 0 et w ≥ a car aw − vm = y ≥ 0. Donc w ∈ N ∩ [ a , b ]. Par ailleurs
um
f (w) = (um − bw, aw − vm) = (x, y). Finalement n = card(N ∩ [ vm
a , b ]).
vm um
m
2) La longueur de l’intervalle [ a , b ] est ab . Donc si m ≤ ab − 1 alors n ≤ 1 et si ab ≤ m alors n ≥ 1
d’où la partie gauche du tableau.
3) Supposons m = ab − a − b et supposons par l’absurde que n ≥ 1. Il existe x, y ∈ N tels que
ax + by = ab − a − b, autrement dit a(b − 1 − x) = b(y + 1). Puisque a et b sont premiers entre
eux le théorème de Gauss implique que a divise y + 1 ≥ 1 donc y + 1 ≥ a. De même x + 1 ≥ b. D’où :
ab − a − b = ax + by = a(x + 1) + b(y + 1) − a − b ≥ 2ab − a − b ce qui est impossible. Donc n = 0.
4) Supposons ab − a − b + 1 ≤ m ≤ ab − 1. On sait déjà que n ≤ 1 d’après 2). Montrons que n ≥ 1.
Effectuons la division euclidienne de um par b, il existe q, r ∈ N tels que um = qb + r et r ≤ b − 1.
Supposons par l’absurde que r = b − 1 alors m + a = b(a(q + 1) − vm) ∈ bZ. Or m + a ≥ b(a − 1) + 1 donc
m ≥ ab ce qui est impossible. Donc r ≤ b − 2. D’où m − ar ≥ ab − a − b + 1 − b(a − 2) = b − a + 1 ≥ 0
puis aq − vm = 1b (m − ar) ≥ 0 et finalement (r, aq − vm) est une solution de (Na,b,m ).
Exercice 6. Déterminer l’ensemble E des entiers naturels n ∈ N r {0, 1}∑
tels qu’il existe des entiers
a1 , . . . , ak ∈ N r {0, 1} avec k ∈ N r {0, 1} tels que n = ppcm(a1 , . . . , ak ) = ki=1 ai .
7
L15. Nombres premiers, décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers.
L15. Pré-requis.
1) L12. Division euclidienne dans Z. Diviseurs D(a), multiples aZ. Ecriture d’un entier dans une base.
2) L13. PGCD, PPCM. Théorème de Gauss.
L15. Partie 1. Nombres premiers.
Définition. Soit p ∈ N r {0, 1} un entier, on dit que p est un nombre premier si D(p) = {−p, −1, 1, p}.
On note P l’ensemble des nombres premiers.
Théorème. Théorème premier. Soit a ∈ Z un entier et soit p ∈ P un nombre premier.
On a : pgcd(a, p) = p si p divise a,
et pgcd(a, p) = 1 si p ne divise pas a.
Théorème. Lemme d’Euclide. Soient a, b ∈ Z et soit p ∈ P un nombre premier.
Si p divise ab alors p divise a ou p divise b.
Démonstration. Supposons que p divise ab. Si p ne divise pas a, d’après le théorème premier p est
premier avec a et le théorème de Gauss implique donc que p divise b.
Détermination des nombres premiers inférieurs à un entier donné. Crible d’Eratosthène.
Soit n ∈ N r {0, 1}. On forme une table avec tous les entiers naturels compris entre 2 et n et on raye les
uns après les autres, les entiers qui ne sont pas premiers de la manière suivante : dès que l’on trouve un
entier qui n’a pas encore été rayé, il est déclaré premier, et on raye tous les autres multiples de celui-ci.
Les dix premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
Théorème. Théorème du diviseur premier. Soit a ∈ N r {0, 1} un entier. Il existe un nombre premier p ∈ P tel que p divise a (autrement dit : p ∈ D(a) ou a ∈ pZ).
Démonstration. Démontrons par récurrence sur a ∈ N r {0, 1} qu’il existe un nombre premier p ∈ P
tel que p divise a. Si a ∈ P on prend p = a. Si a ̸∈ P alors il existe b ∈ N tel que 1 < b < p et b divise a.
L’hypothèse de récurrence appliquée à b dit qu’il existe p ∈ P tel que p divise b. Donc p divise a.
Exercice 1. Soient a, b ∈ N tels que pgcd(a, b) = 1.
1) Montrer que pgcd(a + b, ab) = 1.
2) Montrer que si a et b sont de parités distinctes alors pgcd(a + b, a2 + b2 ) = 1.
Théorème. Infinitude de P. L’ensemble P des nombres premiers est infini.
Démonstration. Remarquons tout d’abord que P n’est pas vide, car par exemple 2 ∈ P. Supposons
par l’absurde que P soit un ensemble fini et notons P le produit de tous les éléments de P. On a :
P + 1 ∈ N r {0, 1}, d’après le théorème du diviseur premier, il existe p ∈ P tel que P + 1 ∈ pZ. En
utilisant les propriétés de stabilité de l’idéal pZ, on obtient : 1 = P + 1 − P ∈ pZ (on a : P ∈ pZ car P
est le produit de tous les éléments de P et p ∈ P) ce qui est impossible.
Exercice 2. Lacune dans la suite des nombres premier.
Soit n ∈ Nr{0}. Montrer qu’il existe n nombres entiers consécutifs dont aucun ne soit un nombre premier.
8
L15. Partie 2. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers.
Définition. Valuation p-adique. Soit a ∈ N r {0} un entier et soit p ∈ P un nombre premier. On
appelle valuation p-adique de a et on note vp (a) = max{k ∈ N ; pk divise a} le nombre de fois que a est
divisible par p. Par convention, on pose vp (0) = +∞ pour tout p ∈ P.
Remarque : vp (a) est le nombre de 0 qui termine l’écriture de a en base p.
Algorithme de calcul de la valuation p-adique.
Entrée : a ∈ Z et p ∈ P.
Sortie : v = vp (a) la valuation p-adique de a.
Procédure Valuation(p, a).
Si a = 0 alors v ← +∞ sinon
a′ ← a, v ← 0,
(q, r) ← Division(a′ , p).
Tantque r = 0 faire :
v ← v + 1, a′ ← q,
(q, r) ← Division(a′ , p),
fintantque. Finsi.
Théorème. Propriétés de la valuation p-adique.
Soient a, b ∈ Z r {0} des entiers et soit p ∈ P un nombre premier. On a :
vp (ab) = vp (a) + vp (b)
vp (a + b) ≥ min{vp (a), vp (b)}.
et
Démonstration. On peut écrire a = pvp (a) m et b = pvp (b) n où m, n ∈ Z r pZ (m et n sont des entiers
qui ne sont pas multiples de p). Du lemme d’Euclide, on déduit que mn n’est pas multiple de p. On a :
ab = pvp (a)+vp (b) mn donc vp (ab) = vp (a) + vp (b). Par ailleurs, supposons par exemple que vp (a) ≤ vp (b)
alors on peut écrire a + b = pvp (a) (m + pvp (b)−vp (a) n) donc vp (a + b) ≥ vp (a) = min{vp (a), vp (b)}.
Théorème. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers.
Soit a ∈ N r {0} un entier, on a :
∏
pvp (a) .
a=
p∈P
∑
Démonstration. On raisonne par récurrence sur n = p∈P vp (a).
Si n = 0 alors pour tout p ∈ P on a : vp (a) = 0 donc a = 1 d’après la contre-apposée du théorème du
diviseur premier.
Si n ≥ 1 alors il existe p1 ∈ P tel que vp1 (a) ≥ 1 autrement dit p1 divise a. Soit a′ ∈ N r {0} tel que
a = p1 a′ . On a vp1 (a) = vp1 (p1 ) + vp1 (a′ ) = 1 + vp1 (a′ ). Par ailleurs, pour tout p ∈ P r {p1 }, on a :
vp (a) = vp (p1 ) + vp (a′ ) = vp (a′ ). Donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à a′ et on a :
∏
∏
∏
′
′
1+v (a′ )
a = p1 a ′ = p1
pvp (a ) = p1 p
pvp (a ) =
pvp (a) .
p∈Pr{p1 }
p∈P
p∈P
Corollaire. Critère de divisibité à l’aide des valuations p-adiques.
Soit a, b ∈ Z r {0}. On a : a est un diviseur de b si et seulement si pour tout p ∈ P on a : vp (a) ≤ vp (b).
Exercice 3. Calcul du pgcd à l’aide des valuations p-adique.
Soient a, b ∈ N r {0} des entiers non nuls, montrer que :
∏
pgcd(a, b) =
pmin{vp (a),vp (b)} .
p∈P
9
Corollaire. Critère de primarité relative à l’aide des valuations p-adiques.
Soit a, b ∈ Z r {0}. On a : pgcd(a, b) = 1 si et seulement si pour tout p ∈ P on a : vp (a)vp (b) = 0 (c’est à
dire : vp (a) = 0 ou vp (b) = 0).
Exercice 4. Soient a, b ∈ Z tels que pgcd(a, b) = 1 des entiers premiers entre eux. Soient k, l ∈ N des
entiers. Montrer que pgcd(ak , bl ) = 1.
Exercice 5. Soit a ∈ N et n ∈ N r {0}. On dit que a est une puissance n dans N si il existe b ∈ N tel
que a = bn (pour n = 2 on dit un carré, pour n = 3 on dit un cube).
1) Soit a ∈ N et n ∈ N r {0}. Montrer a est une puissance n dans N si et seulement si pour tout p ∈ P
on a vp (a) ∈ nN.
2) Soient a, b ∈ N tels que pgcd(a, b) = 1 des entiers premiers entre eux. Soit n ∈ N r {0}. Montrer que
ab est une puissance n dans N si et seulement si a et b sont des puissances n dans N.
L15. Partie 3. Complément : Valuation p-adique des nombres rationnels.
Théorème et définition. Valuation p-adique des nombres rationnels.
′
1) Soit p ∈ P un nombre premier. Soient a, b, a′ , b′ ∈ Z r {0}. Si ab et ab′ sont deux écritures fractionnaires
d’un même nombre rationnel x ∈ Q∗ alors vp (a) − vp (b) = vp (a′ ) − vp (b′ ). Ceci permet de définir vp (x) ∈ Z
par vp (x) = vp (a) − vp (b) où ab est une écriture fractionnaire quelconque de x.
2) Soient x, y ∈ Q∗ des nombres rationnels. On a : vp (xy) = vp (x) + vp (y).
3) Soit x ∈ Q tel que x > 0 un nombre rationnel strictement positif. On a :
∏
pvp (x) .
x=
p∈P
Exercice 6. Soit x ∈ Q tel que x > 0 un nombre rationnel strictement et soit n ∈ N r {0}. On dit que
x est une puissance n dans Q si il existe b ∈ Q tel que a = bn .
Montrer x est une puissance n dans Q si et seulement si pour tout p ∈ P on a vp (a) ∈ nZ.
Exercice 7. Montrer que
√
√
3 + 5 est irrationnel.
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L16. Congruences dans Z.
L16. Pré-requis.
1) L12. Division euclidienne dans Z. Diviseurs D(a), multiples aZ. Ecriture d’un entier dans une base.
2) L13. PGCD, PPCM. Théorème de Gauss.
3) L15. Nombres premiers. Lemme d’Euclide.
L16. Partie 1. Congruences dans Z.
Définition. Congruence. Soit n ∈ N r {0, 1}. Soient a, b ∈ Z, on dit que a est congru à b modulo n si
a − b est un multiple de n. On note : a = b mod n pour a − b ∈ nZ.
Propriétés. La congruence est une relation d’équivalence.
Soit n ∈ N r {0, 1} et soient a, b, c ∈ Z, on a :
1) a = a mod n,
2) si a = b mod n alors b = a mod n,
3) si a = b mod n et b = c mod n, alors a = c mod n.
Propriétés. Compatibilité de la congruence avec la soustraction et la multiplication.
Soit n ∈ N r {0, 1} et soient a, b, a′ , b′ ∈ Z.
Si a = a′ mod n et b = b′ mod n alors a − b = a′ − b′ mod n et ab = a′ b′ mod n.
Propriétés. Théorème de Gauss. Lemme d’Euclide.
Soit n ∈ N r {0, 1} et soient a, b, c ∈ Z.
1) Supposons pgcd(a, n) = 1. On a : ab = 0 mod n si et seulement si b = 0 mod n.
2) Supposons n ∈ P. On a : ab = 0 mod n si et seulement si (a = 0 mod n ou b = 0 mod n).
Exercice 1. Soit n ∈ N r {0, 1} et soient a, b ∈ Z tel que a = b mod n. Démontrer que, pour tout m ∈ N,
on a : am = bm mod n.
Exercice 2. Soit p ∈ P et soient a, b ∈ Z. On a : (a + b)p = ap + bp mod p.
Exercice 3. Soit n ∈ N r {0}. Soient
Z.
∑n−1a, bk ∈n−1−k
n
n
.
1) Montrer que a − b = (a − b) k=0 a b
2) Soit l ∈ N r {0}. On suppose que a = b mod nl . Montrer que an = bn mod nl+1 .
Propriété. Congruence et écriture dans une base.
Soit n ∈ N r {0, 1} et soient a, b ∈ Z. On a :
a = b mod n si et seulement si a et b ont le même chiffre des unités en base n.
Exercice 4. Soit m ∈ N.
9
∑
a) Soit k ∈ {1, . . . , 10}. Montrer que
(10 l + k)m = 0 mod 10.
b) Montrer que
100
∑
l=0
k m = 0 mod 10.
k=1
Propriété. Changement de modulo. Soient n ∈ N r {0, 1} et m ∈ N r {0}. Soient a, b ∈ Z. On a :
a = b mod n si et seulement si ma = mb mod mc.
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Exercice 5. Soit a ∈ Z. Montrer que :
1) si a = 0 mod 2 alors a2 = 0 mod 4.
2) si a = 1 mod 2 alors a2 = 1 mod 8.
Exercice 6. Soient x, y, z ∈ Z tels que x2 + y 2 = z 2 .
1) Montrer qu’il existe t ∈ {x, y, z} tel que t = 0 mod 3.
2) Montrer qu’il existe t ∈ {x, y, z} tel que t = 0 mod 4.
3) Montrer qu’il existe t ∈ {x, y, z} tel que t = 0 mod 5.
Définition. Inverse modulo un entier.
1) Soit n ∈ N r {0, 1} et soient a, b ∈ Z. On dit que a et b sont inverses modulo n si ab = 1 mod n.
2) Soit n ∈ N r {0, 1} et soit a ∈ Z. On dit que a est inversible modulo n s’il existe b ∈ Z tel que a et b
soient inverses modulo n.
Théorème. Relation de Bézout.
Soit n ∈ N r {0, 1} et soit a ∈ Z. Alors a est inversible modulo n si et seulement si pgcd(a, n) = 1.
Exercice 7. Déterminer un entier u compris entre 0 et 76 tel que 30 et u soient inverses modulo 77.
L16. Partie 2. Applications.
Propriétés. Critères de divisibilité. Soit b ∈ N r {0, 1}. Soient a0 , . . . , an ∈ {0, . . . , b − 1}. Soit a le
nombre qui s’écrit an . . . a0 en base b.
1) Soit d un diviseur de b. Alors d divise a si et seulement si d divise a0 .
(Lorsque b est dix, d peut être deux, cinq, ou dix).
∑
2) Soit d un diviseur de b − 1. Alors a est divisible par d si et seulement si nk=0 ak est divisible par d.
(Lorsque b est dix, d peut être trois ou neuf).
∑
3) Soit d un diviseur de b + 1. Alors a est divisible par b + 1 si et seulement si nk=0 (−1)k ak est divisible
par d. (Lorsque b est dix, d est onze).
Exercice 8. En base dix : Déterminer, parmi les entiers suivants ceux qui sont divisibles par onze :
10901774587 et 9002152337.
Propriétés. Restes chinois.
Soient a, b ∈ N r {0, 1} tels que pgcd(a, b) = 1. . Soient r, s, x ∈ Z on a :
x = r mod a et x = s mod b si et seulement si x = aus + bvr où u, v ∈ Z sont tels que au + bv = 1.
Théorème. Petit théorème de Fermat.
Soit p ∈ P un nombre premier et soit a ∈ Z alors ap = a mod p.
Théorème. Théorème de Wilson.
Soit p ∈ P un nombre premier alors (p − 1)! = −1 mod p.
Exercice 9. Déterminer le chiffre des unités de la partie entière du nombre
12
101992
(écrit en base dix).
1083 + 7