Centre des classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs d’agadir (SPE... Devoir surveillé :1 (02/10/2010) Durée : (2h30)

Centre des classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs d’agadir (SPE 1)
Devoir surveillé :1 (02/10/2010) Durée : (2h30)
Exercice
Soit (E, ||.||) un espace vectoriel normé et d la distance associée à la norme ||.||
1. Soit A une partie non vide de E
(a) Rappeler la définition de la distance d’un point x de E à la partie A
$.La distance du point x à la partie A est d(x, A) = inf {d(x, a) / a ∈ A}
(b) Montrer que
∀x ∈ E , d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A
$.(⇒) Soit x ∈ A tel que d(x, A) = 0 , D’après la caractérisation de la borne inférieure on a :
∀ε > 0 , ∃a ∈ A , 0 ≤ d(x, a) ≤ ε
Ce qui est équivalent de dire que
∀ε > 0 , B(x, ε) ∩ A 6= φ
c’est à dire qie x ∈ A
(⇐) Supposons que x ∈ A, alors
∀ε > 0 , B(x, ε) ∩ A 6= φ
C’est à dire que
∀ε > 0 , ∃a ∈ A , d(x, a) < ε
ce qui prouve alors que inf {d(x, b) / b ∈ A} = 0 d’ou le résultat
(c) Montrer que l’application
(
E −→ R
dA :
x 7−→ d(x, A)
Est lipschitziènne
$.Soit (x, y) ∈ E 2 et a ∈ A on a d(x, A) ≤ d(x, a) ≤ d(x, y)+d(y, a) et par suite d(x, A)−d(x, y) ≤ d(y, a) ce qui veut dire
que d(x, A) − d(x, y) est un minorant de {d(x, b) / b ∈ A} , donc d(x, A) − d(x, y) ≤ d(y, A) donc d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y)
et en pérmutant le rôle de x et y , on obtient alors
|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y)
d’ou le résultat
2. Soient A , B deux fermés disjoints de E
et f l’application définie par :f :

E −→ R
x 7−→
d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)
(a) Montrer que f est bien définie et qu’elle est continue sur E
$.Soit x ∈ E , on a d(x, A) + d(x, B) = 0 ⇔ d(x, A) = d(x, B) = 0 et d’après la question 1 − b ceci entrâine que
x ∈ A ∩ B = A ∩ B et comme A ∩ B = φ alors on a ∀x ∈ E , d(x, A) + d(x, B) 6= 0 ce qui prouve alors que f est bien
définie
f est continue comme somme et rapport de fonction continue
(b) Montrer que f −1 ({0}) = A et f −1 ({1}) = B
$.Soit x ∈ E , on a
d(x, A)
f (x) = 0 ⇔
= 0 ⇔ d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A = A
d(x, A) + d(x, B)
D’ou f −1 ({0}) = A
D’autre part on a
f (x) = 1 ⇔
d(x, A)
= 1 ⇔ d(x, A) = d(x, A) + d(x, B) ⇔ d(x, B) = 0 ⇔ x ∈ B = B
d(x, A) + d(x, B)
D’ou f −1 ({1}) = B
1
(c) En déduire l’existence de deux ouverts U et V de E disjoints , tels que A ⊂ U et B ⊂ V
$.Il suffit de choisir deux ouverts disjoints de R tels que l’un contient 0 et l’autre contient 1 et de prendre ensuite
1
1
leur image réciproque par f , par exemple on prend les ouverts I =] − , +∞[ et J =] − ∞, − [ et on pose
2
2
U = f −1 (I) et V = f −1 (J) , par continuité de f les parties U et V sont deux ouverts disjoints de E contenant
respectivement A et B
Problème
Dans ce problème n et d sont deux entiers naturels non nuls ., on notera ||.||∞ la norme infinie sur Rd , c’est à dire si
x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd , ||x||∞ = max |xi | .Si a est un élément de Rd et r > 0 , on note B∞ (a, r) , la boule ouverte de centre a
1≤i≤d
et de rayon r pour la norme ||.||∞
Si A est une matrice d’ordre n à coefficients dans R, on dit qu’une matrice R de Mn (R) est une racine carrée de A si R2 = A.On
note Rac(A) , l’ensemble des racines carrés de A , c’est à dire :
Rac(A) = R ∈ Mn (R) , R2 = A
L’objectif dece 
problème est l’étude de quelques propriétés topologiques de Rac(A)
x1
 x2 
 
Pour X =  .  un élément de Mn1 (R) , on pose ||X||∞ = max |xi | , il s’agit d’une norme sur Mn1 (K) , et il n’est pas
1≤i≤n
 .. 
xn
demandé de le démontrer
Pour A = (ai,j )1≤i,j≤n dans Mn (R) on pose
N (A) = max |ai,j | et N∞ (A) = max
1≤i,j≤n
1≤i≤n
n
X
|aij |
k=1
Partie :I
1. Montrer que N et N∞ sont des normes sur Mn (K)
$.N est la norme 2 associée à la base canonique de Mn (K)
$.N∞ est la norme subordonnée à la norme ||.||∞ de Kn
2. Soient A et B deux matrices d’ordre n à coefficients dans R
(a) Montrer que ∀X ∈ Mn1 (R) , ||AX||
≤ N∞ (A)||X||
∞

 ∞
n
X
 
a1,j xj 

x1



 j=1
n

 x2 

X

 

..
ai,j xj |, il existe alors
$.Soit X =  .  .On a AX = 
 et par suite ||AX||∞ = max |
1≤i≤n

 n .
 . .
j=1

X

xn
an,j xj 
j=1
i0 ∈ [[1, n]] , ||AX||∞ = |
n
X
ai0 ,j xj | ≤
j=1
n
X
|ai0 ,j ||xj | ≤
j=1
n
X
|ai0 ,j |||X||∞ ≤ N∞ (A)||X||∞
j=1
(b) Montrer que N∞ (AB) ≤ N∞ (A)N∞ (B)
$. Les normes subordonnées sont des normes d’algèbre
(c) Cette inégalité est -elle valable avec la norme N (A justifier)
$. Cette inégalité n’est pas valable pour la norme N en effet soit n ≥ 2 et si on pose J = (ai,j )i,j telle que
2
∀(i, j) ∈ [[1, n]] , ai,j = 1, alors on a N (J) = 1 , N (J 2 ) = N (nJ) = n , alors N (J.J) > N (J).N (J)
Partie :II
1. Soit A une partie de Rd .
(a) Rappeler la définition d’un point intérieur à A
$.Soit a ∈ Rd . a est un point intérieur à A si, et seulement si : ∃r > 0 , B(a, r) ⊂ A si, et seulement si A est un
voisinage de a dans Rd
2
(b) Montrer que l’intérieur de A est le plus grand ouvert de E contenu dans A
$. Soit a un point intérieur à A , alors il existe un réels strictement positif tel que B(a, r) ⊂ A ce qui etraine alors
que a ∈ A et par suite l’intérieur de A est une partie de A
r
$.Soit a un point intérieur à A , il existe alors r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A.Montrons que la boule B(a, ) est inclus
2
r
r
et x ∈ B a,
, on a
dans l’ensemble des points intérieur de A.Soit alors y ∈ B a,
2
2
r
r
+ =r
2 2
r
Ce qui prouve alors que x ∈ B(a, r) et donc x ∈ A et par suite B y,
⊂ A c’est à dire y est un point intérieur à A
2
r
est inclus dans l’intérieure de A „ d’ou le résultat
et donc B a,
2
1 0
2. Soit p ∈ N , on pose Sp =
p −1
d(a, x) ≤ d(x, y) + d(y, a) <
(a) Calculer Sp2
$. Sp2 = I2
(b) Rac(I2 ) est -elle une partie bornée de (M2 (R), N )
$. Si Rac(I2 ) était borné , alors
∃M ∈ R+
∗ , ∀p ∈ N , ||Sp || ≤ M
C’est à dire
∀p ∈ N , p ≤ M
Ce qui contredit le fait que N est non majoré
3. Rac(In ) est -elle bornée de (Mn (R), N ) pour n ≥ 3
$.Soit Mp la matrice définie par bloc par :
Mp =
.On a
Mp2
=
Sp2
0
Sp
0
0
In−p
0
In−2
= In
et on a N (Mp ) → +∞ ce qui prouve alors que Rac(In ) n’est pas borné
4. Pour cette question , n ≥ 2.Montrer qu’il n’existe pas de norme ||.|| surmultiplicative sur GLn (R) , vérifiant pour toutes
matrices A et B dans GLn (R) , ||AB|| ≥ ||A||.||B||
$.Supposons l’existence d’une norme surmultiplicative .On a
∀p ∈ N∗ , Mp ∈ Gln (R)
On a alors ||In || = ||Mp2 || ≥ ||Mp ||2 le membre de droite tend vers +∞ et celui de gauche est constant ce qui est absurde
Partie :III
Zéros de fonctions polynomiales .Application à la détermination de l’intérieur de Rac(A)
On munit Rd de la norme infinie ||.||∞ .On rappelle qu’une application P de Rd dans R est une fonction polynomiale de Rd si ,
il existe un entier naturel N et une famille de réels (ai1 ,...,id )1≤i1 ,...,id ≤N tels que :
∀(x1 , . . . , xd ) ∈ Rd , P (x1 , . . . , xd ) =
X
ai1 ,...,id xi11 . . . xidd
1≤i1 ,...,id ≤N
On appelle zéro de P tout élément (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd tel que P (x1 , . . . , xd ) = 0, l’ensemble des zéros de P est noté Z(P ).
On rappelle aussi que toute fonction polynomiale de Rd est continue sur Rd
1. Question préliminaire
3
(a) Montrer que l’application :
(
(Mn (R), N ) −→ (Mn (R), N )
f:
R 7−→ R2
est continue
2
$.L’espace Mn (R) est muni de la norme N et l’espace Rn est muni de sa norme infinie .L’application qui à chaque
matrice M = (mi,j )i,j associe le n2 -uplet (m1,1 , . . . , mn,n ) est une!application lipschitzienne donc continue . Soit
n
2
X
A = (ai,j )i,j une matrice carrée d’ordre n , on a A2 =
ai,k ak,j
et l’application g définie sur Rn , ||.||∞ à
k=1
n2
i,j
valeurs dans R , ||.||∞ par :
g : (a1,1 , a1,2 , . . . , an,n ) 7−→
n
X
a1,k ak,1 ,
k=1
n
X
a2,k a1,2 , . . . ,
k=1
n
X
!
an,k ak,n
k=1
2
est continue car ses composantes relativement à la base canonique de Rn sont des fonctions polynomiales donc
continues .Par composition l’application f est continue
(b) En déduire que Rac(A) est une partie fermée de (Mn (R), N )
$.On a Rac(A) = f −1 ({A}) et {A} est un fermé de Mn (R) donc Rac(A) est un fermé
(c) Soit a = (a1 , . . . , ad ) ∈ Rd et r > 0 .Montrer que B∞ (a, r) peut s’écrire comme produit de d intervalle ouverts de R
d
Y
$.On vérifie facilement que B∞ (a, r) =
]ak − r, ak + r[
k=1
d
(d) Soient F et G deux parties de R .On suppose que F et G sont d’intérieur vide .Montrer que F ∩ G est encore
d’intérieur vide
$.Supposons que F ∩ G est d’intérieur non vide et soit x un point intérieur à F ∩ G , alors il existe r > 0 tel que
B(x, r) ⊂ F ∩ G ce qui entrâine alors que B(x, r) ⊂ F et B(x, r) ⊂ G ce qui veut dire que x est un point intérieur à
F ce qui est absurde donc l’intérieur de F ∩ G est vide
2. Exemples d’ensembles des zéros de fonctions polynomiale
(a) Dans cette question on prend d = 1 .Soit P une fonction polynomiale sur R.Dans quel cas Z(P ) est infini ? Justifier
votre réponse
$.Le seul polynôme à coefficients réels admettant une infinité de racines est le polynôme nul c’est une conséquence
du théorème de D’Alembert -Gauss
(b) Dans cette question d = 2.On considère P (x1 , x2 ) = 2x1 − x2 − 1 et Q(x1 , x2 ) = x21 − x2 .
i. Représenter graphiquement dans le plan R2 les ensembles Z(P ) et Z(Q)
$. On a Z(P ) est la droite d’équation 2x − y − 1 = 0 et Z(Q) est la parabole d’équation y = x2
ii. Z(P ) et Z(Q) sont-ils infinis ?
$. Il est clair que Z(P ) et Z(Q) sont infinis
3. L’intérieur de l’ensemble des zéros d’une fonction polynomiale.Soit P une fonction polynomiale sur Rd
(a) Soent (Ik )1≤k≤d une famille de parties infinies de R.Montrer par récurrence que si la fonction polynomiale P s’annule
sur I1 × I1 × . . . × Id , alors P est la fonction nulle
$.Le résultat pour d = 1 a été justifié en question 2.a.
Supposons le résultat vrai jusqu’à un rang d ≥ 1. Soient alors P une fonction polynomiale qui s’annule sur I1 ×· · ·×Id+1
où chaque Ik est une partie infinie de R. En ordonnant les puissances de xd+1 , on peut écrire
P (x1 , . . . , xd+1 ) =
N
X
Pi (x1 , . . . , xd )xid+1
i=0
où chaque Pi est une fonction polynomiale sur Rd .
Fixons x1 , . . . , xp avec xi ∈ Ii et considérons l’expression précédente comme fonction de xd+1 . C’est une fonction
polynomiale qui s’annule en une infinité de points. D’après l’initialisation, c’est le polynôme nul. On a donc
∀i ∈ {1, .., N }, ∀(x1 , . . . , xd ) ∈ I1 × · · · × Id , Pi (x1 , . . . , xd ) = 0
L’hypothèse de récurrence donne la nullité des Pi et donc celle de P . On a ainsi prouvé le résultat au rang d + 1 et
complété la récurrence.
4
(b) En déduire que si P s’annule sur une partie de Rd d’intérieur non vide , alors P est la Y
fonction nulle
$.D’après la question 1.c, toute partie d’intérieur non vide contient une sous-partie
Ik où chaque Ik est infini
(intervalle de longueur 2r > 0). Si P s’annule sur une partie d’intérieur non vide, P est alors nul avec la question
précédente.
(c) Si l’on suppose que P n’est pas la fonction nulle que vaut Z(P ) ?
$. En contraposant le résultat de la question précédente, si P =
6 0 alors Z(P ) est d’intérieur vide.
4. Application à l’étude de l’intérieure de Rac(A)
2
Dans cette question , on confondra les espaces vectoriels Mn (R) et Rn .Soit A une matrice de Mn (R)
2
(a) Ecrire Rac(A) sous forme d’un sous ensemble de Rn
$.Posons A = (ai,j )i,j et soit R = (ri,j )i,j un élément de Rac(A) .R2 est une matrice dont le coefficient générique
est
n
X
ri,k rk,j
k=1
Considérons alors
Qi,j =
n
X
!
xi,k xk,j
− ai,j
k=1
2
cette matrice matrice s’identifie à une fonction polynomiale de Rn et par définition de Rac(A), on a
\
Rac(A) =
Z(Qi,j )
1≤i,j≤n
2
ce qui fait apparaître Rac(A) comme sous-ensemble de Rn .
2
(b) Montrer qu’il existe n2 fonctions polynomiales P1 , . . . , Pn2 sur Rn , tels que
2
Rac(A) =
n
\
Z (Pi )
k=1
(c) Déterminer l’intérieur de Rac(A)
$.Comme intersection de parties d’intérieur vide, Rac(A) est d’intérieur vide avec la question 13.b.
5