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Samedi 5 Avril 2013
Durée : 4 heures
MATHÉMATIQUES
DEVOIR SURVEILLÉ N˚10
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez repère ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, d’une
part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez
la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.
L’usage de calculatrices est autorisé.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
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Mathématiques
PCSI 2011-2012
Lycée de L’essouriau
Exercice 1. Questions de cours
1. (a) Énoncer précisément l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
(b) Donner une primitive des fonctions suivantes : f : x 7→
a2
1
1
.
et g : x 7→ √
2
+x
1 − x2
2. Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie.
(a) Rappeler la dimension de l’espace vectoriel produit E × F .
(b) Donner deux manières différentes de montrer qu’une famille libre est une base de E.
(c) Soient G et H deux s.e.v. de E. Donner deux façons de montrer que G = H.
(d) Qu’appelle-t-on le rang d’une famille de vecteurs de E.
(e) Soient G et H deux s.e.v. de E. Rappeler la formule donnant dim(F + G).
(f) Soit f une endomorphisme de E. Donner 4 propriétés équivalentes à « f est bijective ».
(g) Énoncer précisément le théorème du rang.
Exercice 2. Calculs d’intégrales
Z
1. A l’aide d’une double intégration par partie, calculer
eπ
sin(ln t) dt.
1
2
√
1
dx via le changement de variable u = x + 1.
x + 1(x + 4)
0
n
X
k
.
3. Déterminer la limite de la suite (Sn )n>1 définie par Sn =
nk + n2
Z
2. Calculer
√
k=1
Exercice 3. Espaces vectoriels
Soit E = R4 . On considère les deux sous-espaces vectoriels et G définis par :
 




x
a+b








 




y
a
+
b
4
3
 ∈ R ; 2x − y − z = 0

 ; (a, b, c) ∈ R .
F = 
et
G
=
 z 
 b+c 












t
2a + b

  
x − y + 2t
x

 y  
2y − 2t
=

On note aussi f l’endomorphisme de R4 définie par f 
 z   −2y + z + 4t .
y−t
t
1. Déterminer une base de F et préciser dim F .
2. Déterminer une base de G et préciser dim G.
3. Montrer que F + G = R4 .
4. En déduire dim (F ∩ G) puis une base de F ∩ G.
5. Déterminer une base de ker f puis de Im f .
6. Montrer que ker f et Im f sont supplémentaires.
7. Préciser sans aucun calcul l’ensemble des vecteurs invariants par f .
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PCSI 2011-2012
Lycée de L’essouriau
PROBLÈME 1 : Un endomorphisme de Rn [X]
Dans tout ce problème, n désigne un entier non nul, a et b sont deux nombres réels. La notation Rn [X]
désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans R et ayant un degré inférieur ou égal à n.
Pour tout P ∈ Rn [X], on pose :
a+b
ϕn (P ) = (X − a)(X − b)P − n X −
P
2
0
Questions préliminaires
1. Rappeler la dimension de Rn [X] puis donner une base de cet espace.
2. Vérifier que deg(ϕn (P )) 6 n.
3. Montrer que ϕn est un endomorphisme de Rn [X].
Partie A - Étude de ϕ1
Dans cette partie on suppose que n = 1.
4. On suppose dans cette question que a = b = 0.
Exprimer l’image de ϕ1 d’un polynôme P = αX + β puis déterminer Ker ϕ1 et Im ϕ1 .
5. Retour au cas général a ∈ R et b ∈ R.
(a) Déterminer ϕ1 (1) et ϕ1 (X).
(b) Justifier que ϕ1 est un automorphisme de R1 [X] et et seulement si ϕ1 (1) et ϕ1 (X) ne sont pas
colinéaires.
(c) En déduire une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que ϕ1 soit un automorphisme
de R1 [X].
Partie B - Étude du noyau de ϕn
Désormais n ∈ N∗ . L’objet de cette partie est l’étude du noyau de ϕn ; nous commençons par un peu
d’analyse.
6. On pose α = max(a, b) et on considère l’intervalle I =]α, +∞[.
2x − (a + b)
est continue sur I.
(a) Démontrer que la fonction f : x 7→ 2
x − (a + b)x + ab
(b) Déterminer une primitive F de la fonction f sur I.
(c) Résoudre sur I l’équation différentielle (E) :
a+b
2 y = 0.
y −
(x − a)(x − b)
0
nx − n
7. On suppose que n est pair et on écrit n = 2p avec p ∈ N. Déduire de la question 6.(c) une base de
Ker(ϕ2p ). Donner sa dimension.
8. On suppose maintenant que n est impair et on écrit n = 2p + 1 avec p ∈ N. Déduire de la question
6.(c) une base de Ker(ϕ2p+1 ). (On pourra discuter suivant les valeurs de a et b).
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PCSI 2011-2012
Lycée de L’essouriau
PROBLÈME 2 : L’intégrale de Gauss
L’objet de ce problème est le calcul de l’intégrale de Gauss :
Z +∞
Z x
2
2
e−t dt = lim
e−t dt.
x→+∞
0
0
Partie A - La primitive de x 7→ e−x
2
2
1. Étudier la fonction f : t 7→ e−t .
Tracer l’allure de sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
2. Justifier que f admet des primitives sur R.
On note F la primitive de f qui s’annule en 0. Recopier et compléter l’expression ci-dessous pour
qu’elle devienne juste :
Z
2
F (x) =
e−t dt
3. Établir le tableau de variation de F .
4. On se propose de montrer que F est bornée sur R.
1
(a) Justifier l’inégalité pour tout u > 1, e−u 6 .
u
(b) En déduire l’inégalité pour tout x > 1 : F (x) − F (1) 6 1 −
1
.
x
(c) Conclure.
5. Justifier que F admet une limite finie lorsque x tend vers +∞.
Dans la suite du problème on note désormais L = lim F (x).
x→+∞
Partie B - Intégrales de Wallis
Z
π/2
sinn (t) dt.
Pour tout entier naturel n > 0, on pose Jn =
0
6. Calculer J0 , J1 et J2 .
Z
7. Montrer à l’aide d’un changement de variable que Jn =
π/2
cosn (t) dt.
0
8. Montrer que (Jn )n>0 est une suite positive et décroissante. Que peut-on en conclure sur la nature de
la suite (Jn )n>0 ?
9. Dans cette question on détermine une relation de récurrence vérifiée par les termes de (Jn )n>0 .
(a) Montrer que pour tout entier n > 2,
Z
Jn = Jn−2 −
π/2
sinn−2 (t) cos2 (t) dt.
0
(b) A l’aide d’une intégration par partie, montrer que pour tout n > 2 :
Z
π/2
sinn−2 (t) cos2 (t) dt =
0
Jn
n−1
(c) En déduire que pour tout entier n > 2, une expression de Jn à l’aide de n et Jn−2 .
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Lycée de L’essouriau
10. Dans cette question on détermine un équivalent simple pour (Jn )n>0 .
(a) Établir par récurrence que pour tout n > 1 :
π
2
nJn Jn−1 =
(?).
(b) Montrer en utilisant le sens de variation de (Jn )n>0 et la relation (?) que pour tout n > 1, on a
les inégalités :
π
π
− Jn2 6 nJn2 6 .
2
2
(c) A l’aide de la relation (?) justifier que (Jn )n>0 converge vers 0. Montrer que :
r
π
Jn ∼
.
+∞
2n
Partie C - Intégrale de Gauss
Dans cette dernière partie on calcule une valeur exacte de L à l’aide de l’équivalent (?) obtenu dans la
partie précédente. On procède par double inégalité.
11. Montrer pour tout u ∈ R, l’inégalité e−u > 1 − u.
12. Minoration de L.
(a) Démontrer à l’aide de l’inégalité obtenue au 11. que pour tout n > 1 :
√
F ( n) >
√
Z
n
0
√
(b) Montrer à l’aide du changement de variable t =
√
Z
n
0
t2
1−
n
t2
1−
n
n
dt
n cos u que :
n
dt =
√
nJ2n+1
√
(c) En déduire l’inégalité :
π
6 L.
2
13. Majoration de L.
(a) Toujours avec l’inégalité obtenue au 11. montrer que pour tout n > 1 et tout A >
√
F ( n) 6
Z
0
(b) A l’aide du changement de variable t =
√
A
√
Z
n tan u, calculer
pour tout entier n > 1 :
lim
A→+∞
0
A
t2
1+
n
√
π
.
2
14. Conclure sur la valeur exacte de l’intégrale de Gauss.
(c) Montrer l’inégalité : L 6
5
n l’inégalité :
−n
t2
1+
dt
n
n
1+
0
Z
√
−n
dt =
√
nJ2n−2
t2
n
−n
dt puis montrer que