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P R E M I È R E EPREUVE DE MATHgMATIQUES
DURÉE : 4 I ~ P I I ~ P S
-Y.B. - Le sujet se compose de 5 parties pi ne sont pas ind+e.ndantes. On peut !raitPr line yuestion en
admettant les résultats énoncis dans les questions précédentes.
Dans tout le probitme, on consid$re des fonctims i \ralei!rs dans l'onsernEle 2 des nombres réels, deiinies
sur 2 ou un intervalle de R.
Soit f une fonction de classe
C?,p entier 2 O.
Pour tout entier k, O Q k 6 p on designe la valeur en
.t:
de la k-ième dérivée de f Far
dk
a=
[ f (x)] avec la convention que dxk
dX3
]).(fI
-
13
notation :
= f (.Y)
Pour tout entier n 2 O, on considPre i'Cquation différentielle noté d, :
(2
-
1) y" i2 y ' - n ( n
+
1)y = O
dont les solutions s:1r un intervalle de 2, sont les fonctions f de ciasse C'sur cet intervalle et teiles que :
(x'
en tout point
.T
-
1)
d'
[ f ( . t : ) ]- 2 x
dx=
d
- [ f ( x ) ]- n (n
dz
f 1) f ( x ) . = O
de i'intenaile.
Soit P(x) un poiyndme non identiquement nul, de degrd p entier 2 O :
Pour tout entier n 2 O, on h i associe le poIyn4me D,P dCfini par :
(D,P) ( x )
= (xz
d2
d
- 1) - [ P (x)]+ 2.r - [ P ( x ) ] dx'
1" VCrifier que le polynôme D,P est de degr6
dX
<
n (n
+ 1) 1'
(x)
p en distinguant les trois cas p = O, p = 1, p 2 2.
Montrer que :
- lorsque p
- lorsque p
=
O , D,P est identiquement nul si et seuiement si
n = O
.
2 1 , le degré du polynôme D,P est strictement infGrieur i p si et 3eiifement si p =
ri.
En déduire que si un polynôme P non identiquement nul. est solution de (13, , sur R son degrd est
nécessairement Pgai à n .
-90-
3' Déterminer tous les polynames qui sont solutions de u?, s u R., dans.chacuii des cas particufers n = O ,
n = l , n = 2 , n = 3 , n = 4.
3' Pour tout polynôme P de degrd n 2 2 , expliciter les coefficients du polynôme :
(D,P)
'-2-b,
(x) =
.yk
k- 0
en
fgnctiori des coefficients de P
4' Soit
r,
+
O un mmbre rdel fixé. Montrer. qa'ii existe un iinique polyndma :
:r = n
P
;jr
(x) =
a k k.
k = n
soiution de O, sur R , et tel que a, = a .
Pour cela on utiiisera la question 3, en exprimant que D,P est ideiitiquement nui. On montrera que :
i.
a,-l = O .
ii. P est un polynôme pair lorsque n est pair, et est un polyndme impair lorsque n est impair.
iii. Les coefficients a k sont entièrement déterminés par récurrence ii partir du terme a , = a.
Montrer que a k est de la forme a, =
1k.a
où r , est un nombre rationnel.
(On ne demande pas l'expression explicite des nombres
ik
en fonction de IL).
II
Pour tout entier n > O , on pose
:
En déduire que :
2' i. En explicitant U n et Un + montrer que
da
[Un
dxa
+
(n)] = 2 (n
+ 1)
d
[ z Un ( x ) ]
en déduire que :
jn+
dn-
1
(2 - 1) dxn
-[un
(.I
= n
f
1)
1
[Un ( 4 1
+
d"
ii. Montrer que le polyndme Pn ( x ) = - [ U n ( x ) ] est solution de (9, sur W
dx"
3" i.
Montrer directement, sans utiliser la partie 1, que le polynôme P, est de degré n
de plus haut degré.
.
et
préciser son terme
ii. Montrer directement que P, est un polynôme pair lorsque n est pair, et un polyname impair lorsque
n est impair.
iii. Soit a # O un nombre réel fixé. Quel est le polynôme solution de 03, sur 8 , dont le terme de plus
haut degré est ax" ? Donner son expression à i'aide de P, .
-91-
III
Les notations sont celles de 1 et II.
l3
L'entier n >, 1 étant fisé, rnmtrer que polir tout entier
A.
O 6
X. 6
;
i
- 1. le polynijme
s'annule pour les valeurs f 1 et - 1 .
3" Soit f une fonction de classe C" , n 2 O , sur l'intervalle [ - 1 , - 11 . On pose :
C,
(fj =
1
> A
I
f (x) . P,
( x ) d,t
c - 1
et en réitérant convenablemeni :
(f)=
c,
(-
1)"
j+(.& [f(.)])
*
c, ( x ) c i x .
- 1
3O
En déduire que si m et n sont deux entiers tel que O
ID+
P,
P,
(2%).
u - 1
4" On pose : 1,
=
J"
I
- 1
[pn ( X ) I *
puis :
ii. En déduire que pour tout n 3 O :
I C
= (-
..
11.
1)" (3 n) !
J
* -
1
(,tl
- 1)'
i
1
Montrer que pour tout n 2 O :
J,
(n!)J
= -
(2 n)!
'+
.I-
'
(1 f x)'"
En déduire que 1, =
(.!Y
(2 JZ
rlx
.) ',
+ 1) -
.L
1
i
~
(x)
<
dx
m c n on a :
=
o.
d'c
[Li, ( x , ) ]
d ??
-
-9 2-
IV
Les notations sont celles des parties pricCdentes.
Soit f tule fonction continue sur l'intervalle [ - 1 , -1 1J , on pose pour tout efitier k 2 O :
1" Lorsque f est un p o l y n h e fixé
dt: degré
<
n , montrer qu'ii existe une dkcomposition unique de f :
k =
Il
k = 0
n
et exprimer ak à i'aide de f (k) .
r
ieile est la valeur de I'intégrde :
-r+
k
1
-
1
h
[f( x ) ] ~dx , exprimée à l'aide des nombres f (A) ?
1
Soit f une fonction fixée quelconque, continue sur [ - 1 ,
- 11.
Soit pour tout entier k 2 O , un nombre réel ak fixé.
On considkre pour tout entier n 2 O , la somme
A,, =
i.
J+:',
[ f ( z ) - S,
(41' dx.
En développant cette expression, montrer que f étant fisé, le minimum de A , est obtenu en choisissant
h
ak = f (k) pour toutes les valeurs O
< k <
n.
Quel est alors ce minimum?
ii. En déduire que la skrie numérique
est convergente, et donner une majoration de sa somme.
-93-
V
,
&
*-.
On considère l'espace affine Euclidien E de dimension 3 rapporté à un repère orthonorm6 \O ; i , j , k) .
Soit L2 le complémentaire dans E de ki droite vectorielle définie par x = y = O .
A tout point M de s2 de coordonnées cartésiennes ( x ,y , z) on associe les coordonnées sphériques habituelles
( r , O , 'p) où r > O est la longueur Oh1 , 0 est la longitude O < 0 c 2 T E , et 'p est la colatitude O < p c x
Le changement de variable est défini par les équations :
.
x = r sin
Q.
cos 0 , y = r sin p . sin 0 , z = r cos 9 .
Pour toute fonction à valeurs réelles u
( 2 ,y
Au =
, z) définie dans L2 et de classe C' , on pose :
3'u
3'u
32'
3y=
-+
+ 3'11
32'
On admettra que l'expression de Au en coordonnées sphériques est :
OÙ U
(r , 8 , 9) est l'expression en coordonnées sphériques de u ( x , y , z) .
On cherche les solutions de l'équation de Laplace
Au = O
qui sont de la forme U (r ,8 , 9) = f (r).g( 8,
Q)
où f et g sont des fonctions de classe
Cz qui ne s'annulent pas.
Io
Montrer que f et g vérifient les équations, où a est une constante quelconque :
dlf
(A) r" -
M
1
(*)
+
3
df
2r dr
-
af =
O
3lg
(sin? 2) + sin1p 30'
- + ag=O
7
20 Rdsoudre l'équation diffdrentielie (A) lorsque a >
- -1
4
9
en cherchant les solutions sous la forme
f ( r ) = F ( h g r)
3O
On choisit une constante de la forme a = n (n + 1) où n est un entier 2 O fixé.
On cherche les solutions de (B) qui sont de la forme
où h est de classe C a .
g (0 9
P)
:
= h (CO3 'p)
Montrer que h vérifie une équation différentielle du second ordre que l'on reconnaîtra.
Queue f d e explicite de solution de l'équation de Laplace A u = O , peut-on ainsi mettre en évidence ?