Problème 1 : Balançoire (CCP PC 2013) m g M

Problème 1 : Balançoire (CCP PC 2013)
Un enfant faisant de la balançoire est modélisé par une masse ponctuelle m située en M et suspendue
en O par une tige rigide, de masse négligeable et de longueur ℓ . Le champ de pesanteur g , de norme
g , est supposé uniforme. L’angle que fait la tige de suspension avec la verticale est noté θ (figure 3).
Les vecteurs unitaires ur , uθ et uz = ur ∧ uθ , tels que définis sur la figure 3, définissent un trièdre
orthonormé direct lié à la balançoire.
Les mouvements de la balançoire et de l’enfant sont étudiés dans le plan vertical de la figure 3.
1. Dans cette question, tout frottement de la tige sur son axe de rotation et tout
frottement dû à la résistance de l’air sont négligés.
1.1. Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ ( t ) en utilisant trois
méthodes :
1.1.1. en appliquant le principe fondamental de la dynamique ;
1.1.2. en appliquant le théorème de l’énergie cinétique ;
1.1.3. en appliquant le théorème du moment cinétique.
1.2. À quelle condition l’enfant assis sur la balançoire sera-t-il un oscillateur
harmonique ? Donner l’expression littérale de la pulsation propre ω0 correspondante.
Application numérique : l’enfant part d’un angle θ0 = 30° sans vitesse initiale. Avec
les valeurs numériques ℓ = 2, 5 m , g = 10 m s−2 et m = 20 kg , calculer la période T0
de l’oscillateur harmonique, ainsi que la vitesse maximale v max de l’enfant.
2.
L’approximation de l’oscillateur harmonique est ici examinée en considérant les effets non
linéaires. L’enfant part d’un angle θ0 positif sans vitesse initiale.
2.1.
En partant du théorème de l’énergie cinétique, donner l’expression de
dθ
en fonction de θ ,
dt
θ0 et des paramètres caractéristiques du système.
2.2.
En déduire l’expression de la période T ( θ0 ) sous forme d’une intégrale en fonction de θ , θ0
et des paramètres caractéristiques du système. On précisera soigneusement les bornes d’intégration.
On ne demande pas de calculer cette intégrale.
2.3.
Retrouver le résultat de la question 1.2. dans le cas des petites oscillations.
2.4.
Une intégration numérique permet de dessiner la courbe représentative de la fonction T ( θ0 )
ci-dessous (figure 4). Commenter cette courbe.
3. Au point O s’exercent des forces de frottement sur la tige. Le moment de ces forces
(par rapport à O ) est égal à −C
dθ
u où C est une constante positive.
dt z
3.1. Quelle est la dimension de la constante C ?
3.2. Établir l’équation différentielle à laquelle doit maintenant obéir θ ( t ) .
3.3. En supposant que l’angle θ reste suffisamment petit, à quelle inégalité doit
satisfaire C
pour que le mouvement de l’enfant puisse être considéré comme un
mouvement oscillatoire dont l’amplitude décroit avec le temps (mouvement
pseudopériodique) ?
Application numérique : considérant cette condition satisfaite, on approxime ici la
pseudopériode T1 à la période T0 de la question 1.2.. L’enfant part d’un angle
θ0 = 30° sans vitesse initiale. On observe que l’amplitude du mouvement est réduite
de moitié après 20 oscillations. Calculer la valeur de la constante C avec les valeurs
numériques données à la question 1.
Problème 2 : Impact d'un bolide (Centrale PSI 2012)
L’objet de ce problème, constitué de quatre parties indépendantes, est d’étudier l’impact d’un
bolide (astéroïde ou comète) avec la Terre et certaines conséquences qui en découlent. Dans
tout l’énoncé, on supposera que le bolide ne possède aucun mouvement de rotation propre
dans son référentiel barycentrique.
I
I.
Collision entre un bolide et la Terre
A - Vitesse orbitale de la Terre
On se place dans le référentiel de Kepler, supposé galiléen, dont l’origine est confondue avec
le centre du Soleil et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles fixes très éloignées. La Terre
et le Soleil présentent une symétrie sphérique. La masse de la Terre est négligeable devant
celle du Soleil. La Terre décrit approximativement une orbite circulaire de rayon R 0 = 1,5 x
1011 m autour du Soleil et on exclut toute influence des autres planètes ou objets célestes.
I.
A.1) Qu’est-ce qu’un référentiel galiléen?
I.
A.2) Quel est l’intérêt de considérer l’hypothèse de symétrie sphérique pour la Terre et
le Soleil ? Quelles simplifications découlent du fait que la masse de la Terre est négligeable
devant celle du Soleil lors de l’étude du système isolé constitué par ces deux corps ? Des
réponses succinctes sont attendues.
I.
A.3) Montrer que le mouvement circulaire de la Terre est uniforme. Exprimer la
vitesse orbitale de la Terre, notée v T, en fonction de la constante gravitationnelle G, de la
masse du soleil M S et de R 0 . Faire l’application numérique.
I.
B - Vitesse d’impact du bolide
Les astéroïdes qui peuvent approcher la Terre possèdent des vitesses, dans le référentiel de
Kepler, de l’ordre de 30 km.s-1. On qualifiera ces objets de bolides. La Terre est assimilée à
une sphère homogène de rayon R T = 6,4 x 106 m. On rappelle que le référentiel géocentrique
a pour origine le centre O de la Terre et que ses axes sont parallèles à ceux du référentiel de
Kepler.
I.
B.1) On note v b la vitesse d’un bolide dans le référentiel de Kepler et v r sa vitesse
dans le référentiel géocentrique (vitesse relative par rapport à la Terre). Donner un
encadrement de la vitesse v r en fonction de v b et v T. Faire l’application numérique pour les
astéroïdes.
On travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Le bolide, assimilé à un point
matériel pour le moment, possède une masse m b très négligeable devant celle de la Terre. Le
Figure 1 Trajectoire du bolide dans le champ gravitationnel de la Terre
bolide, depuis une région très éloignée de la Terre, arrive avec une vitesse v r = v r e x
et sa trajectoire est portée par une droite située à une distance b du centre de la Terre
(figure 1). Le système {Terre + bolide} est considéré comme isolé.
I.
B.2) Rappeler l’expression de l’énergie mécanique E m du bolide en un point
quelconque de sa trajectoire en fonction de sa vitesse v, de sa distance r au centre de
la Terre, de sa masse m b , de la masse de la Terre M T et de la constante
gravitationnelle G. Préciser la nature de la trajectoire du bolide dans le champ
gravitationnel de la Terre.
I.
B.3) On note A le point de la trajectoire le plus proche de la Terre. d m i n = OA
représente donc la distance minimale entre le centre de la Terre et le bolide.
Rappelons qu’en ce point, la vitesse du bolide, notée V A , est perpendiculaire au
vecteur OA.
a)
Montrer que le moment cinétique du bolide est conservé au cours de son
mouvement. En déduire une relation simple entre v r, b, d m i n et V A = ||vA||.
b)
Déterminer l’expression de dmin en fonction de G, M T, v r et b.
c)
Pour que le bolide entre en collision avec la Terre, montrer que le paramètre
d’impact b doit être inférieur à une valeur maximale, notée bmax, que l’on exprimera
en fonction de R T, G, M T et v r.
I.
B.4) a) En cas de collision, montrer que l’expression de la vitesse au moment de
l’impact, notée V i, peut se mettre sous la forme vi = vl 2 + vr 2 où l’on exprimera la
vitesse v 2 en fonction de G, M T et R T. Calculer la valeur numérique de la vitesse v 2 et
préciser sa signification physique.
b) Quel est l’intervalle numérique des valeurs possibles de la vitesse d’impact v i d’un
astéroïde avec la Terre ?
I.
C - Energie cinétique du bolide
Le bolide est à présent modélisé par une sphère pleine de rayon r b = 80 m et de masse
volumique p b = 2,5 x 103 kg. m-3 (matériau rocheux).
I.
C.1) Calculer l’énergie cinétique du bolide pour une vitesse d’impact v i = 20
km.s-1.
I.
C.2)
Une tonne d’explosif de TNT (trinitrotoluène) libère une énergie de
4,18 x 109 J. Par ailleurs, une kilotonne de TNT représente 103 tonnes de TNT et une
mégatonne représente 106 tonnes de TNT. Exprimer l’énergie cinétique précédente du
bolide en terme d’équivalent en TNT. Comparer cette énergie à la bombe atomique
d’Hiroshima (6 août 1945) qui a produit une énergie équivalente à l’explosion de 15
kilotonnes de TNT. Cette comparaison avec une bombe atomique a bien un sens car le
bolide libère son énergie cinétique, au moment de l’impact avec le sol, sous la forme
d’une explosion.
Problème 3 : Action d'un champ magnétique
(CCP PSI 2012)
B.1 On considère un champ magnétique uniforme de norme B0 et dirigé selon le
vecteur ez d’un système d’axes cartésiens. Une particule de masse m, de charge q >
0 est émise à l’origine du repère avec une vitesse initiale v0 = v0 eX suivant l’axe (Ox).
En négligeant toutes les forces autres que la force de Lorentz, écrire le système
d’équations différentielles vérifiées par les composantes (vx, vy, vz ) du vecteur
vitesse. Montrer que le mouvement est plan; a quoi est homogène la quantité
qB0
.
m
On justifiera à partir des équations détetrminées dans cette question. pour la suite,
on posera ωc =
qB0
.
m
B.2 Pour résoudre le système précédent, on pose V = vx + jvy où j2 =-1. Ecrire
l’équation différentielle vérifiée par V . La résoudre en tenant compte des
conditions initiales.
B.3 On pose maintenant R = x(t) + j y(t) où (x(t), y(t)) sont les coordonnées de
la particule dans le plan z = 0. Quelle est la relation entre V et R ? En déduire
l’équation cartésienne de la trajectoire de la particule. On mettra cette équation
sous la forme suivante : (x - xc)2 + (y -yC)2 = ρ L2 où l’on précisera l’expression
des constantes xC,yC et ρL .
B.4 Pour communiquer une vitesse à une particule chargée, on l’accélère grâce à un
champ électrique. Supposons qu’une particule de charge q soit accélérée entre le
point A et le point B pour lesquels la différence de potentiel électrique vaut UBA
= VB - VA. Exprimer le gain d’énergie cinétique de la particule en négligeant
toute interaction autre que la force électrique.
B.5 Application : spectromètre de masse
Une source émet des ions de même charge +q mais de masses m différentes. Les
Figure 9 : dispositif magnétique
ions n’ont pas tous la même vitesse. Ces ions pénètrent en A dans une zone où
règne un champ magnétique B uniforme comme représenté sur la figure 9.
Le champ magnétique dévie la trajectoire des ions et ces ions viennent percuter
une plaque d’enregistrement (symbolisée par le trait épais) au point M situé à
une distance d du point A.
o Exprimer la distance d en fonction de la masse m de l’ion, de la charge q, de la
norme du champ magnétique B et de la vitesse Vde l’ion.
o Montrer qu’il est impossible de trier les particules selon leur masse uniquement.
Pour pallier ce problème, la source est constituée d’un four ionisant duquel
sortent des ions de même charge +q à des vitesses quasi nulles. Puis, on
accélère les ions à l’aide d’un dispositif formé de deux grilles parallèles entre
lesquelles on applique une tension U > 0 placée dans le bon sens. Exprimer la
vitesse des ions en sortie de ce dispositif.
o Calculer alors le rapport d1/d2 pour deux ions de masses respectives m1 et m2
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