1 Rappels de trigonométrie 2 Applications

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Rappels de trigonométrie
Les intégrales (et les calculs mathématiques en général) font très souvent intervenir les
fonctions trigonométriques dont voici quelques propiétés:
∀a, b ∈ R on a
cos2 a + sin2 a = 1
cos a = cos(−a) fonction paire
sin(−a) = − sin(a) fonction impaire
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(2a) = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
2 tan a
tan(2a) =
,
1 − tan2 a
1
1 + tan2 a =
cos2 a
Ces formules représentent le minimum à savoir manipuler dans tous les sens. Néanmoins,
elles peuvent se retrouver grâce à l’utilisation des nombres complexes et de l’égalité suivante :
eix = cosx + isinx ,
Cette formule est souvent utile pour exprimer cosn (x) ou sinn (x) comme combinaison
linéaire des cos(kx) et sin(kx) dont on connaı̂t les primitives.
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Applications
Les applications possibles de ces formules sont trop nombreuses à expliciter. Nous donnerons une application utile dans de nombreux domaines : la valeur moyenne d’un signal
carré.
Définition 1 Soit f : [a, b] → R intégrable au sens de Riemann. On appelle valeur
moyenne de f la quantité :
b
1
m=
f (t)dt .
b−a a
Posons
∀t ∈ [0; 2π] , f (t) = sin2 (t) .
Alors
1
m=
2π
2π
0
Posons
1
sin (t)dt =
2π
2
2π
0
1
1 − cos 2t
dt =
2
2
∀t ∈ [0; 2π] , f (t) = cos2 (t) .
Alors
1
m=
2π
0
2π
1
cos (t)dt =
2π
2
1
0
2π
1 + cos 2t
1
dt = .
2
2
.