EQUATIONS 1. DÉFINITION Une équation est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre (souvent x). Exemples : 8x – 9 = 15 4x + 17 = 2 – x x² – 4x – 5 = 0 sont des équations. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les valeurs numériques que l’on peut mettre à la place de la lettre et pour lesquelles l’égalité est vérifiée. 2. VÉRIFICATION Pour vérifier si un nombre est solution de cette équation, on remplace, dans chaque membre, tous les x par le nombre donné, puis on calcule séparément. Le nombre est solution si les résultats des deux calculs sont égaux. Exemple 1 : Le nombre 2 est-il une solution de l’équation 8x – 9 = 15 ? Attention ! 8x signifie 8 × x ! Membre de gauche : 8 × 2 – 9 = 16 – 9 = 7. Membre de droite : 15 8 × 2 – 9 ≠ 15 donc 2 n’est pas une solution de l’équation 8x – 9 = 15. Exemple 2 : Les nombres 5, 2 et – 1 sont-ils des solutions de l’équation x² – 4x – 5 = 0 ? Pour x = 5 : Membre de gauche : 5² – 4 × 5 – 5 = 25 – 20 – 5 = 0 Membre de droite : 0 5² – 4 × 5 – 5 = 0, donc 5 est une solution de l’équation x² – 4x – 5 = 0. Pour x = 2 : Membre de gauche : 2² – 4 × 2 – 5 = 4 – 8 – 5 = – 9. Membre de droite : 0 2² – 4 × 2 – 5 ≠ 0, donc 2 n’est pas une solution de l’équation x² – 4x – 5 = 0. Pour x = – 1 : Membre de gauche : (– 1)² – 4 × (– 1) – 5 = 1 + 4 – 5 = 0. Membre de droite : 0 (– 1)² – 4 × (– 1) – 5 = 0, donc (– 1) est une solution de l’équation x² – 4x – 5 = 0. Exemple 3 : Les nombres 0 et – 3 sont-ils des solutions de l’équation 4x + 17 = 2 – x ? Pour x = 0 : Membre de gauche : 4 × 0 + 17 = 17 Membre de droite : 2 – 0 = 2 4 × 0 + 17 ≠ 2 – 0, donc 0 n’est pas une solution de l’équation 4x + 17 = 2 – x. Pour x = – 3 : Membre de gauche : 4 × (– 3) + 17 = – 12 + 17 = 5 Membre de droite : 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5 4 × (– 3) + 17 = 2 – (– 3), donc – 3 est une solution de l’équation 4x + 17 = 2 – x. 3. PROPRIÉTÉS Propriété 1 : On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres de cette égalité. Propriété 2 : On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre les deux membres de cette égalité. 4. RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION ax + b = c Exemple 1 : 8x – 9 = 15 On ajoute 9 dans chaque membre. 8x – 9 + 9 = 15 + 9 On réduit. 8x = 24 On divise chaque membre par 8. 24 8x = On réduit. 8 8 x = 3 On n’oublie pas de vérifier en calculant : 8 × 3 – 9 = 24 – 9 = 15. Donc 3 est la solution de l’équation 8x – 9 = 15. Exemple 2 : 6x + 3 6x + 3 – 3 6x 6x 6 x = 7 = 7–3 = 4 4 = 6 2 = 3 On n’oublie pas de vérifier en calculant : 6 × Donc 2 est la solution de l’équation 6x + 3 = 7. 3 On soustrait 3 dans chaque membre. On réduit. On divise chaque membre par 8. On réduit. 2 + 3 = 4 + 3 = 7. 3