cosinus d`un angle

Chapitre 08 :
COSINUS D'UN ANGLE
I) Vocabulaire
1) Définitions : Hypoténuse – Côté adjacent :
Dans un triangle rectangle,
– l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
– le côté adjacent à un angle est le côté "qui touche" l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse.
Exemples :
Dans chaque triangle,
repasser en rouge les hypoténuses des triangles ci-dessous.
repasser en vert les côtés adjacents aux angles marqués d'un arc de cercle.
II) Activité d'introduction
1. Compléter le tableau ci-dessous :
ABC un triangle
rectangle en B tel que :
AB = 4 cm
AB = 2 cm
AB = 6 cm
̂
BAC = 20°
AB
≈
AC
2. Analyser les résultats et émettre une conjecture.
08. COSINUS D'UN ANGLE
1
III) Cosinus d'un angle aigu
1) Définition – Propriété :
Dans un triangle rectangle,
le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à l'angle par la
longueur de l'hypoténuse :
Cosinus d'un angle aigu =
longueur du côté adjacent à l'angle
longueur de l ' hypoténuse
Ce rapport ne dépend que de la mesure de l'angle considéré .
La valeur du cosinus d'un angle est toujours comprise entre 0 et 1.
Exemple :
3
1
4
2
5
6
TRIANGLE
ANGLE
CÔTÉ ADJACENT
HYPOTÉNUSE
FORMULE
1 (Exemple)
̂
BCA
[BC]
[AC]
Cos ̂
BCA = BC / AC
2
3
4
5
6
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2
2) Démonstration :
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle ne dépend que de l'angle considéré.
AD AB
=
Dans l'exemple ci-dessous :
AE AC
Montrons que (BC) et (DE) sont parallèles:
On sait que :
les droites (BC) et (DE) sont perpendiculaires à une même droite (DB)
Or :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite,
alors elles sont parallèles.
Donc :
Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Montrons que :
AD AE
=
AB AC
Dans le triangle ABC,
D ∈ [AB],
E ∈ [AC],
(BC) // (DE)
D'après le théorème de Thalès :
AD AE
DE
=
=(
)
AB AC
BC
Montrons que :
AD AB
=
AE AC
D'après ce qui précède, on sait que :
AD AE
=
AB AC
d'après l'égalité des produits en croix :
AD ×AC = AE× AB
en divisant les deux membres par AC × AE, on obtient :
AD× AC AE× AB
=
AE × AC AE × AC
En simplifiant, on obtient :
AD AB
=
AE AC
Remarque :
Comme l'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle,
la valeur du cosinus d'un angle est toujours comprise entre 0 et 1.
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IV) Quart de cercle trigonométrique
1) Définition : Quart de cercle trigonométrique :
(O, I, J) un repère orthonormé du plan.
On appelle quart de cercle trigonométrique le quart de cercle de centre O (0;0) et de rayon 1.
Exemple :
Quart de cercle trigonométrique
2) Propriété : Lecture graphique du cosinus :
– Soit M un point d'un quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
– H le projeté orthogonal de M sur le segment [OI] (cf. exemple)
Cos ̂
IOM = OH
Exemple :
Démonstration :
On sait que :
Le triangle OMH, ci contre, est rectangle en H
Or :
D'après la définition du cosinus, on a :
cos ̂
HOM =
̂
IOM
cos ̂
HOM =
longueur du côté adjacent à l'angle
longueur de l ' hypoténuse
OH OH
=
=OH
OM
1
Donc :
cos ̂
IOM =OH
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V) Représentation graphique de la fonction Cosinus
Exercice :
a. Compléter le tableau à l'aide du quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 ci-dessous. (échelle : 10:1)
b. Tracer la fonction cosinus sur l'intervalle [0 ; 90] sur le graphique ci-dessous. (On pourra s'aider du tableau précédent)
Angle en degré
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Valeur approchée du cosinus
08. COSINUS D'UN ANGLE
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VI) Cosinus et calculs :
1) Méthode : Calculer la longueur d'un côté :
Connaissant la mesure d'un angle aigu et la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, on peut calculer
la longueur des deux autres côtés.
Exemple :
On sait que :
Le triangle LOG, ci contre, est rectangle en L
?
Or :
D'après la définition du cosinus, on a :
cos 
LGO=
GL
GO
9 cm
Donc :
GL
9
GL=9×cos 50 °
cos 50 °=
La calculatrice permet de donner une valeur approchée de la longueur GL.
On trouve GL≈5,8cm , au millimètre près.
2) Méthode : Calculer la mesure d'un angle :
Connaissant les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle, on peut déterminer une valeur
approchée de la mesure de chacun de ses angles.
Exemple :
On sait que :
5 cm
Le triangle VSP, ci-contre, est rectangle en V
Or :
D'après la définition du cosinus, on a :

cos V
SP=
SV 4
= =0,8
SP 5
?
4 cm
Donc :

VSP≈37 °
VSP )
(On tape cos – 1 0,8 à la calculatrice pour obtenir la valeur approchée de 
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