theorie des faisceaux

GÉOMÉTRIE ALGÈBRIQUES (Moderne )
Note de Cours de la :
Introduction à la théorie
des faisceaux
Version α
Mohamed AQALMOUN
Faculté des sciences Meknès
GRAGM Meknès
FSM
Laste updated
23 mars 2015
FSM
2
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
FSM
2
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
Table des matières
17 Théorie des faisceaux
17.1 Pré-faisceau . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Morphisme de faisceaux . . . . . . . .
17.4 Sous faisceaux et faisceaux quotients
17.5 Image directe, Image inverse . . . . .
17.6 Suites exacte de faisceaux . . . . . . .
17.7 Recollement de faisceaux . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
172
172
174
175
177
179
180
184
18 Espace géométrique
185
18.1 Espace topologique annelé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
18.2 O -module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
18.3 Espace géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3
TABLE DES MATIÈRES
FSM
TABLE DES MATIÈRES
4
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
Chapitre 17
Théorie des faisceaux
17.1 Pré-faisceau
Définition 1.1.
Soit X un espace topologique. Un pré-faisceau de groupes Abéliens F sur X est la donné :
1. Pour tout ouvert U de X d’un groupe Abélien F (U ), et
2. Pour tout inclusion d’ouverts V ⊂ U , d’un morphisme de groupes ρUV : F (U ) →
F (V ), vérifiant :
(a) F (;) = 0,
(b) ρUU est l’application identité F (U ) → F (U ), et
(c) Si W ⊂ V ⊂ U sont des ouverts, alors ρUW = ρV W ◦ ρUV .
En théorie des catégories : Pour tout espace topologique X on définit la catégorie Top(X ), dont
les objets sont les ouverts de X et dont les morphismes sont les inclusion c’est-à-dire Hom(V,U )
est vide si V 6⊂ U et Hom(V,U ) = {i : V → U } où i est l’inclusion si V ⊂ U . Un pré-faisceau sur X est
un foncteur contravariant de la catégorie Top(X ) dans la catégorie des groupes Abélien Ub.
On définit de la même façon un pré-faisceau d’anneaux , d’ensembles , ou à valeurs dans une
catégorie C, en remplaçant dans la définition "groupe Abélien" par "anneau", "ensemble" , ou
"objet de C".
Si F est un pré-faisceau sur X , les éléments de F (U ) sont appelés les sections de F sur l’ouvert U , souvent F (U ) se note Γ(U , F ). L’application ρUV s’appelle l’application de restriction et
l’élément ρUV (s) où s ∈ F (U ) se note s|V .
Définition 1.2.
Soit F un pré-faisceau sur X et x ∈ X . La Fibre Fx de F en x est la limite direct des groupes
F (U ) , U parcourt les voisinages ouverts de x, via l’application de restriction ρ ;
Fx := lim F (U )
−−→
x∈U
172
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.1. PRÉ-FAISCEAU
Un élément de Fx est représenté par un couple (U , s) où U est un voisinage ouvert de x et s ∈
F (U ). Deux couples (U , s) et (V, t ) représente le même élément dans Fx si, et seulement si, il existe
un voisinage ouvert W de x tel que W ⊂ U ∩ V et s|W = t |W . Les éléments de Fx sont appelés les
germes des section de F en x. Si s ∈ F (U ) et x ∈ U , l’image de s dans Fx se note s x (le germe de s
en x). L’application F (U ) → Fx définie par s 7→ s x est un homomorphisme de groupes.
Définition 1.3.
Soient F et G deux pré-faisceaux sur X ; un morphisme de pré-faisceaux ϕ : F → G est
la donné, pour tout ouvert U , d’un morphisme de groupes ϕ(U ) : F (U ) → G (U ), tel que
pour tous ouverts V ⊂ U le diagramme suivant est commutatif
F (U )
ϕ(U )
ρUV
F (V )
G (U )
0
ρUV
ϕ(V )
G (V )
où ρ et ρ 0 désignent les applications de restriction dans F et G . Un isomorphisme est
morphisme qui possède un inverse.
Remarque : La commutativité du diagramme s’écrit : ϕ(U )(s)|V = ϕ(V )(s|V ) où s ∈ F (U ).
La catégorie des pré-faisceaux sur un espace topologique :
Les objets : Les objets de cette catégorie sont les pré-faisceaux sur X .
Hom(., .) : Les morphisme de cette catégorie sont les morphisme de pré-faisceaux de F dans G
c’est-à-dire si F et G sont des pré-faisceaux sur X , alors Hom(F , G ) est la classe des morphismes
de pré-faisceaux de F dans G .
Id− : Pour tout pré-faisceau F , IdF : F → F est le morphisme de pré-faisceau définie par IdF (U ) =
IdF (U )
Composition : Soient F , G et H trois pré-faisceaux sur X , et ϕ : F → G , ψ : G → H deux morphismes de pré-faisceaux, le morphisme ψ ◦ ϕ : F → H est défini par ; pour tout ouvert U de X ,
(ψ ◦ ϕ)(U ) = ψ(U ) ◦ ϕ(U ) (c’est bien un morphisme de pré-faisceau !). Il est facile de vérifier que la
composition est associative et que les identités sont des éléments neutres de la composition.
Soit ϕ : F → G un morphisme de pré-faisceaux et x ∈ X , alors ϕ induit un morphisme de
groupes sur les fibres ϕx : Fx → G x ,où ϕx est défini par ϕ(s x ) = (ϕ(U )(s))x si s x est représenté par le
couple (U , s) ( s ∈ F (U ) et U voisinage ouvert de x), en effet ; si s ∈ F (U ) et t ∈ F (V ) tel que s x = t x
alors il existe un voisinage ouvert W de x tel que s|W = t |W et donc ϕ(U )(s)|W = ϕ(W )(s|W ) =
ϕ(W )(t |w ) = ϕ(V )(t )|W , ce qui montre que (ϕ(U )(s))x = (ϕ(V )(t ))x .
Définition 1.4.
Soit ϕ : F → G un morphisme de pré-faisceau.
On dit que ϕ est injectif si pour tout ouvert U de X , ϕ(U ) : F (U ) → G (U ) est injectif.
On dit que ϕ est surjectif si , pour tout x ∈ X , ϕx : Fx → G x est surjectif.
On dit que ϕ est un isomorphisme s’il admet un morphisme inverse c’est-à-dire lorsqu’il
existe un morphisme de pré-faisceau ψ : G → F tel que ϕ ◦ ψ = IdG et ψ ◦ ϕ = IdF
FSM
173
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.2. FAISCEAUX
Notons , dans la définition , que la surjectivité à un caractère local, on ne demande pas la surjectivité des morphismes de groupes des sections (globale) , mais on s’intéresse à la surjectivité des
morphismes de groupes des germes (local)
17.2 Faisceaux
Définition 2.1.
Un pré-faisceau F sur un espace topologique est dit faisceau, lorsqu’il vérifie les propriétés
suivantes :
1. (unicité) Si (Ui )i est un recouvrement ouvert d’un ouvert U et s, t ∈ F (U ) tel que,
pour tout i , s|Ui = t |Ui alors s = t ,
2. (recollement ) Si (Ui )i est un recouvrement ouvert d’un ouvert U et s i ∈ F (Ui ), pour
tout i , tel que pour tous i , j , s i |Ui ∩U j = s j |Ui ∩U j alors il existe s ∈ F (U ) tel que pour
tout i , s|Ui = s i .
Exemple : Soit X un espace topologique, pour tout ouvert U de X on notons C (U ) = C 0 (U , R)
l’ensemble des applications continues de U dans R, et ρUV la restriction au sens usuel. Alors C est
un faisceau sur X .
Exemple : Soit X un espace topologique et (G x )x∈X
Yune famille d’ensemble indexée par les points
Q
x de X . Pour tout ouvert U de X on pose (U ) =
G x , pour V ⊂ U on définit la restriction de la
x∈U
Q
façon suivante ; pour s = (g x )x∈U sa restriction à V est s|V = (g x )x∈V . Alors est est un faisceau sur
X , qui est un faisceau de groupes abélien lorsque G x est un groupe abélien pour tout x ∈ X .
Soit U = {Ui }i une famille d’ouverts de X , U = ∪i Ui , et Ui j = Ui ∩U j . Pour tout pré-faisceau F
de groupes abéliens sur X , on a un complexe de groupes Abélien C • (U , F ) :
0
F (U )
d0
Y
i
F (Ui )
d1
Y
F (Ui , j )
i,j
où d 0 : s 7→ (s|Ui )i et d 1 : (s i )i 7→ (s i |Ui , j − s j |Ui , j )i , j
Lemme 2.2.
F est un faisceau si, et seulement si, le complexe C • (U , F ) est exacte, pour toute famille
d’ouverts U de X .
Démonstration : L’injectivité de d 0 est équivalente à la condition d’unicité, et l’égalité imd 0 =
ker d 1 est équivalente à la condition de recollement.
Lemme 2.3.
Soit F un faisceau sur X et U un ouvert de X . Si s, t ∈ F (U ) tel que, pour tout x ∈ U ,
s x = t x alors t = s.
FSM
174
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.3. MORPHISME DE FAISCEAUX
Démonstration : Soit x ∈ U , il existe un voisinage ouvert Wx de x, tel que Wx ⊂ U et s|Wx = t |Wx ,
puisque (Wx )x est un recouvrement ouverts de U , d’après la condition d’unicité, il vient que s = t .
17.3 Morphisme de faisceaux
Un morphisme de faisceaux est un morphisme de pré-faisceaux (i.e en tant que pré-faisceaux).
Les notions injectif , surjectif et isomorphisme pour les faisceaux sont définies de la même façon
que les pré-faisceaux.
On a ainsi la catégorie Fais X des faisceaux sur X , on la note Ab(X ) dans le cas des faisceaux des
groupes abéliens.
Exemple : Soit X = C∗ muni de sa topologie usuelle. F le faisceau des fonctions holomorphes :
U 7→ F (U ) := le groupe (additif) des fonctions holomorphes sur U , et G celui des fonction holomorphes et inversibles : U 7→ G (U ) := le groupe (multiplicatif ) des fonctions holomorphes et
inversibles (ne s’annulent pas ) sur U . Soit ϕ : F → G le morphisme de faisceaux défini par : pour
tout ouvert U et f ∈ F (U ) ; ϕ(U )( f ) = e f . Notons que ϕ(X ) : F (X ) → G (G) n’est pas surjectif (l’application z 7→ z n’est pas un exponentielle !) ; mais ϕ est surjectif ; en effet :
Soit x ∈ X , et h x ∈ G x où h ∈ G (V ), il existe un voisinage ouvert U de x simplement connexe (un
h0
disque par exemple) tel que U ⊂ V . h|U ne s’annule pas sur U , et
est holomorphe sur U , cette
h
dernière admet alors une primitive f sur U (par raison de simple connexité ), comme (he − f )0 =
h 0 e − f − h f 0 e − f = 0 sur U , donc he − f = λ constante non nulle sur U , d’où h = λe f = e f +α = e g sur
U où λ = e α et g = f + α. Ceci montrer que ϕx (g x ) = h x .
Lemme 3.1.
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Alors ;
ϕ est injectif si, et seulement si, pour tout x ∈ X , ϕx : Fx → G x est injective.
Démonstration : On suppose que ϕ est injectif. Soit x ∈ X et s x ∈ Fx tel que ϕx (s x ) = 0 où s ∈
F (U ) et U voisinage ouvert de x, donc (ϕ(U )(s))x = 0, il existe alors un voisinage ouvert W de x
tel que ϕ(U )(s)|W = 0 ou encore que ϕ(W )(s|W ) = 0, de l’injectivité de ϕ il vient que s|W = 0, ainsi
s x = 0. Réciproquement, supposons que pour tout x ∈ X , ϕx est injectif, on fixe un ouvert U de X
et s ∈ F (U ) tel que ϕ(U )(s) = 0, localement on a, pour tout x ∈ U , ϕx (s x ) = (ϕ(U )(s))x = 0, il vient
de l’injectivité local, que pour tout x ∈ U , s x = 0, d’où s = 0.
Le lemme donne une caractérisation local de l’injectivité.
Théorème 3.2.
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. ϕ est un isomorphisme,
2. Pour tout x ∈ X , ϕx : Fx → G x est un isomorphisme.
3. ϕ est à la fois injectif et surjectif.
FSM
175
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.3. MORPHISME DE FAISCEAUX
Démonstration : (1.) ⇒ (2.) : Soit ψ le morphisme inverse de ϕ. Pour x ∈ X on a ϕx ◦ ψx = IdGx et
ψx ◦ ϕx = IdFx donc ϕx est un isomorphisme de groupes.
(2.) ⇒ (3.) : Immédiate, d’après le lemme précédent et la définition de la surjectivité.
(3.) ⇒ (1.) : Construction de ψ l’inverse de ϕ ; soit U un ouvert de X et t ∈ G (U ), pour tout x ∈ U ,
il existe Wx ⊂ U un voisinage ouvert de x et s x ∈ F (Wx ) tel que t x = ϕx (t xx ) = (ϕ(Wx )(s x ))x , par
suite il existe Vx ⊂ Wx ∩ U voisinage de x tel que t |Vx = (ϕ(Vx )(s x |Vx ))|Vx . Si x 0 ∈ U , alors ϕ(Vx ∩
0
0
Vx 0 )(s x |Vx ∩ Vx 0 ) = ϕ(Vx ∩ Vx 0 )(s x |Vx ∩ Vx 0 ), d’où s x |Vx ∩Vx 0 = s x |Vx ∩Vx 0 , comme la famille (Vx )x∈V
forme un recouvrement de U , alors (s x )x se relève à une section s de F sur U , et on a ϕ(U )(s) = t ,
l’unicité de s découle de l’injectivité de ϕ. On pose alors ψ(U )(t ) = s où s et tel que ϕ(U )(s) = t .
Alors ψ est l’inverse de ϕ (la commutativité des diagramme est immédiate).
Faisceautisation : Dans ce paragraphe, nous allons rependre à la question suivante : Comment
construire un faisceau à partir d’un pré-faisceau en préservant les fibres ?
Définition 3.3.
Soit F un pré-faisceau sur un espace topologique X . On appelle faisceau associé à F tout
faisceau F † équipé d’un morphisme de pré-faisceaux θ : F → F † vérifiant la propriété
universelle suivante :
Pour tout morphisme de pré-faisceaux ϕ : F → G où G est un faisceau, il existe un unique
morphisme de faisceaux ϕ̃ : F † → G tel que le diagramme suivant est commutatif,
ϕ
F
G
ϕ̃
θ
F†
L’unicité de F † lorsqu’il existe est une conséquence immédiate de la propriété universelle. Plus
précisément on a :
Théorème 3.4.
Soit F un pré-faisceau sur un espace topologique X . Alors le faisceau F † associé à F
existe est unique à isomorphisme près. De plus pour tout x ∈ X , θx : Fx → Fx† est un
isomorphisme.
Démonstration : Construction du faisceau associé F † à l’aide de l’espace étalé : Soit F un pré`
faisceau de groupes abéliens sur X . Soit Y = x∈X Fx (union disjointe), et on considère l’application π : Y → X qui envoi chaque élément s x ∈ Fx sur x i.e π(s x ) = x. Pour tout ouvert U de X et
s ∈ F (U ), notons s l’application s : U → Y définie pour tout x ∈ U par s(x) = s x , remarquons que
pour tout x ∈ U ; π(s(x)) = x i.e π ◦ s = IdU (s est une section et π rétraction ). On muni maintenant
Y de la topologie qui rende toutes les applications s : U → Y , U ouvert et s ∈ F (U ), continues.
Pour tout ouvert U de X , on définit F † (U ) = { f : U → Y / f continue et π ◦ f = IdU } c’est l’ensemble des sections de Y sur l’ouvert U .
Structure de groupe sur F † (U ) : soient f , g ∈ F † (U ) avec U ouvert, et x ∈ U ; puisque π( f (x)) =
π(g (x)) = x, alors f (x), g (x) ∈ Fx , puis on définit , ( f g )(x) = f (x)g (x) ∈ Fx , et on a π(( f g )(x)) =
π( f (x)g (x)) = x (car f (x)g (x) ∈ Fx )c’est-à-dire f g ∈ F † (U ) notons que f g est continue . Muni de
cette loi de composition F † (U ) est un groupe abélien (hérité des groupes Fx ).
FSM
176
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.4. SOUS FAISCEAUX ET FAISCEAUX QUOTIENTS
La restriction : pour tous ouverts V ⊂ U , la restriction F † (U ) → F † (V ) est la restriction au sens
usuel, en particulier F † est un pré-faisceau.
La condition de séparation est immédiate, puisqu’il s’agit des espaces de fonctions.
Si U = (Ui ) est un recouvrement ouvert de U , et f i ∈ F † (Ui ) tel que pour tous i , j ; f i |Ui = f j |U j ,
comme les f i sont continues, et sur les intersection, il existe f : U → X continue tel que pour tout
i , f |Ui = f i , de plus f est une section de π sur U : en effet si x ∈ U , il existe i tel que x ∈ Ui , et donc
π( f (x)) = π( f i (x)) = x. Donc F † est un faisceau.
Définitions du morphisme θ : Pour tout ouvert U de X , et s ∈ F (U ), on définit ; θ(U )(s) = s ∈
F † (U ).
Compatibilité avec les restrictions : Soit V ⊂ U deux ouverts de X , s ∈ F (U ) et x ∈ V ; on a θ(U )(s)|V (x) =
s|V (x) = s(x) = s x = (s|V )x = (s|V )(x) = θ(V )(s|V )(x), d’où θ(U )(s)|V = θ(V )(s|V ).
Soit G un faisceau, et ϕ : F → G un morphisme de pré-faisceaux. (Couper-recoller), on coupe une
section f de F † (U ) en des petite sections (des sections de F ) sur un recouvrement Ui de U , puis
en les envoyant vers les G (Ui ), ensuite on recolle dans G .
Les sections de F † sont obtenues par des recollements des sections de F , donc Fx = Fx† .
Remarque : Si F est un faisceau, il vient d’après la propriété universelle, que F † ' F .
Exemple : : Faisceau constant : Soit A un groupe (ou anneau , algèbre,. . . ), alors U 7→ A si U 6= ;
et ; 7→ 0 est un pré-faisceau et le faisceau associé est appelé le faisceau constant à valeurs dans A
et se note A X ou A. Pour tout x ∈ X on a A x = A. Si on muni A de la topologie discrète alors pour
tout ouvert U de X , A(U ) = { f : U → A / f continue } = { f : U → A / f localement constant }
17.4 Sous faisceaux et faisceaux quotients
Définition 4.1.
Soit F 0 , F deux faisceaux sur X , on dit que F 0 est un sous-faisceau de F , si pour tout
ouvert U de X , F 0 (U ) est un sous groupe de F (U ) et F 0 muni de la restriction induite .
Remarque : F 0 est un sous faisceau de F si, et seulement si, l’injection i : F 0 → F est un morphisme de faisceaux.
Lemme 4.2.
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Le pré-faisceau noyau U 7→ ker(ϕ(U )) est un
faisceau, et se note ker ϕ.
Démonstration : Soit U un ouvert de X et (Ui )i un recouvrement de U et s i ∈ ker(ϕ(Ui )) tel que
pour tout i , j ,s i |Ui ∩U j = s j |Ui ∩U j , comme s i ∈ F (Ui ) alors (s i )i se relève à une section s de F sur
U , mais pour tout x ∈ U , il existe i tel que x ∈ Ui et on a (ϕ(U )(s))x = ϕ(U )(s))x = (ϕ(Ui )(s i ))x = 0 ,
donc ϕ(U )(s) = 0, d’où s ∈ ker(ϕ(U )).
D’autre part, si s ∈ ker(ϕ(U ) tel que pour tout i , s|Ui = 0, alors s = 0 (s ∈ F (U ) et F faisceau).
FSM
177
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.4. SOUS FAISCEAUX ET FAISCEAUX QUOTIENTS
Remarque : Si ϕ : F → G est un morphisme de faisceaux, alors ker ϕ est un sous faisceau de F ,
et si on note i : ker ϕ → F l’inclusion, alors (ker ϕ, i ) est le noyau de ϕ au sens des catégories. c’està-dire : ϕ ◦ i = 0 et pour tout morphisme de faisceaux ψ : H → F , tel que ϕ ◦ ψ = 0, il existe un
morphisme de faisceaux ψ0 : H → ker ϕ tel que ψ = i ◦ ψ0 .
Les pré-faisceaux image U 7→ Im(ϕ(U )) et conoyau U 7→ Co ker(Im(U )) ne sont pas en générale
des faisceaux. Ce qui justifie la définition suivante ;
Définition 4.3.
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Le faisceau associé au pré-faisceau image est
appelé faisceau image et se note imϕ et celui associé au pré-faisceau conoyau est appelé
faisceau conoyau et se note cokerϕ.
Remarque : Si ϕ : F → G un morphisme de faisceaux, et U un ouvert de X , en générale (imϕ)(U ) 6=
im(ϕ(U )) !le premier terme est le groupe des sections du faisceau imϕ sur l’ouvert U , tandis que le
deuxième est l’image du morphisme de groupes ϕ(U ) : F (U ) → G (U ).
Plus précisément on a :
Théorème 4.4.
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. On a les assertions suivantes :
1. Pour tous ouvert U de X , et s ∈ G (U ). s ∈ (imϕ)(U ) si, et seulement si, il existe un
recouvrement ouvert (Ui )i de U et des éléments t i ∈ F (Ui ) tels que, pour tout i ,
s|Ui = ϕ(Ui )(t i ).
2. ϕ est surjectif si, et seulement si, Pour tous ouvert U de X , et s ∈ G (U ), il existe
un recouvrement ouvert (Ui )i de U et des éléments t i ∈ F (Ui ) tels que, pour tout i ,
s|Ui = ϕ(Ui )(t i ).
3. ϕ est surjectif si, et seulement si, imϕ = G .
Démonstration :
1. imϕ est le faisceau associé au pré-faisceau U 7→ im(ϕ(U )), d’où le résultat.
2. Si ϕ est surjectif, soit U un ouvert de X et s ∈ G (U ), pour x ∈ U , l’application ϕx est surjective, donc il existe t x ∈ Fx tel que ϕx (t x ) = s x , il existe alors un voisinage ouvert U x ⊂ U et
t x ∈ U x tels que s|Ux = ϕ(U x )(t x ), le recouvrement (U x )x x ∈ U répond à la question.
Réciproquement, soit x ∈ X , et s x ∈ G x avec s ∈ G (U ), soit (Ui )i un tel recouvrement de U , il
existe i tel que x ∈ Ui , on a donc s x = (s|Ui )x = (ϕ(Ui )(t i ))x = ϕx ((t i )x ). Donc ϕ est surjectif.
3. Immédiate de 1. et 2..
Faisceau quotient : Soit F 0 un sous faisceau de F , alors U 7→ F (U )/F 0 (U ) est un pré-faisceau ;
Définition 4.5.
Le faisceau associé au pré-faisceau U 7→ F (U )/F 0 (U ) est appelé le quotient du faisceau
F par F 0 et se note F /F 0 .
FSM
178
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.5. IMAGE DIRECTE, IMAGE INVERSE
Lemme 4.6.
¡
¢
Soit F 0 un sous faisceau de F , et x ∈ X . Alors F /F 0 x ' Fx /Fx0 .
Démonstration : F /F 0 est le faisceau associé au pré-faisceau U 7→ F (U )/F 0 (U ),dont la fibre en
x est ' Fx /Fx0 .
17.5 Image directe, Image inverse
Jusqu’à maintenant, on a seulement parlé des faisceaux définies sur un seul espace topologique.
Nous allons étudier dans ce paragraphe quelques transformations des faisceaux via les applications continues entre espaces topologiques.
Définition 5.1.
Soient X , Y deux espaces topologiques, et f : X → Y continues.
Si F est un faisceau sur X , alors V 7→ F ( f −1 (V )) est un faisceau sur Y appelé faisceau
image directe de F et se note f ∗ F .
Si G est un faisceau sur Y , le faisceau associé au pré-faisceau U 7→ lim G (V ) est appelé
f (U )⊂V
image inverse de G est se note f −1 G .
Remarques :
1. Si V ⊂ U sont des ouverts de Y , la restriction est définie par f ∗ F (U ) = f −1 (U ) → f −1 (V ) =
f ∗ F (V ) (notons que f −1 (V ) ⊂ f −1 (U ) sont des ouverts de X ). Soit (Ui )i un recouvrement
de U , et (s i )i une famille de sections tel que s i inf∗ F (Ui ) = f −1 (Ui ) telles que s i |Ui ∩U j =
s j |Ui ∩U j , comme f −1 (U ) = ∪i f −1 (Ui ), par définition de f ∗ F et on a s i ∈ F ( f −1 (Ui )) et
s i | f −1 (Ui )∩ f −1 (U j ) = s j | f −1 (Ui )∩ f −1 (U j ) , il existe alors s ∈ F ( f −1 (U )) tel que pour tout i , s| f −1 (Ui ) =
s i , c’est-à-dire s|Ui = s i dans f ∗ F . Si s ∈ f ∗ F (U ) = F ( f −1 (U )) tel que s| f −1 (Ui ) = 0,alors s = 0
(F est un faisceau et ( f −1 (Ui ))i est un recouvrement ouvert de f −1 (U )).
2. ( f −1 G )x = G f (x) pour tout x ∈ X .
3. Notons que f ∗ est un foncteur de la catégorie Ub(X ) des faisceaux sur X vers la catégorie
Ub(Y ) des faisceaux sur Y . De même f −1 est un foncteur de Ub(Y ) vers Ub(X ).
Définition 5.2.
Soit Z une partie de X , muni de sa topologie induite et i : Z ,→ X l’inclusion. Si F est un
faisceau sur X , le faisceau i −1 F est appelé la restriction de F à Z et se note F | Z .
Remarque : Si U est un ouvert de X , alors pour tout ouvert V ⊂ U , on a F |U (V ) = F (V ).
Lemme 5.3.
Soit Z une partie de X et F un faisceau sur X . Alors pour tout z ∈ Z , on a (F | Z )z = Fz
Démonstration : Pour z ∈ Z , on a i (z) = z, donc (F | Z )z = (i −1 F )z = Fi (z) = Fz .
FSM
179
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.6. SUITES EXACTE DE FAISCEAUX
17.6 Suites exacte de faisceaux
Définition 6.1.
Soit X un espace topologique. On dit que la suite
...
F i −1
ϕi −1
ϕi
Fi
ϕi +1
F i +1
. . . de faisceaux sur X est exacte si pour
tout i ; imϕi −1 = ker ϕi . En particulier ; une suite de la forme 0
ϕ
exacte si ϕ est injectif, et la suite F
F
ϕ
G
est
0 est exacte si ϕ est surjectif.
G
Lemme 6.2.
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux sur X . Alors pour tout x ∈ X , on a (ker ϕ)x =
ker(ϕx ) et (imϕ)x = Im(ϕx ).
Démonstration : Soit s x ∈ (ker ϕ)x , et soit U un voisinage ouvert de x tel que s ∈ (ker ϕ)(U ) =
ker(ϕ(U )), donc ϕ(U )(s) = 0, ainsi ϕx (s x ) = (ϕ(U )(s))x = 0, donc s x ∈ ker(ϕx ). Réciproquement, si
ϕx (s x ) = 0, alors (ϕ(U )(s))x = 0 (U voisinage ouvert de x et s ∈ F (U )), il existe alors un voisinage
ouvert V ⊂ U de x tel que ϕ(U )(s)|V = 0, il vient alors que ϕ(V )(s|V ) = 0 et donc s|V ∈ ker ϕ(V ) d’où
s x = (s|V )x ∈ (ker ϕ)x . De même pour l’image.
Théorème 6.3.
...
exacte
...
ϕi −1
F i −1
Fi
de faisceaux sur
Fxi −1
ϕix−1
Fxi
ϕi
X
ϕix
F i +1
si, et
Fxi +1
ϕi +1
...
seulement
ϕix+1
...
si,
est
pour
une
tout
x
∈
suite
X;
est une suite exacte de de groupes
abélien.
Démonstration : La suite
F i −1
...
seulement si, pour tout i , im(ϕ
i −1
ϕi −1
Fi
ϕi
F i +1
ϕi +1
...
est exacte si, et
) = ker ϕ si, et seulement si, pour tout x ∈ X , et tout i , im(ϕix−1 ) =
ker ϕix si, et seulement si, la suite . . .
i
Fxi −1
ϕix−1
Fxi
ϕix
Fxi +1
ϕix+1
. . . est exacte.
Théorème 6.4.
Soit F 0 un sous faisceau de F . Alors la suite 0 → F 0 → F → F /F 0 → 0 est exacte.
Réciproquement, si, 0 → F 0 → F → F 00 → 0 est une suite exacte de faisceaux sur X , alors
F 0 s’identifie à un sous faisceau de F et F 00 ' F /F 0 .
Démonstration : D’après le lemme 4.6, pour tout x ∈ X , la suite 0 → Fx → Fx → Fx /Fx0 =
(F /F 0 )x → 0 est exacte, d’où le résultat. la réciproque est immédiate.
FSM
180
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.6. SUITES EXACTE DE FAISCEAUX
Le corollaire suivant, donne une propriété catégorique pour les faisceaux de groupes abéliens,
à savoir , la catégorie des faisceaux abéliens sur un espace topologique X est exacte :c’est-à-dire
pointée (existence d’un objet zéro), tout morphisme admet un noyau et conoyau (en particulier
, l’existence de im et Co im), et dans la quelle le premier théorème d’isomorphisme est vérifié
Co im ' im.
Corollaire 6.5.
Soit ϕ : F → G un morphisme de faisceaux. Alors
1. im(ϕ) ' F / ker ϕ, et
2. cokerϕ ' G /im(ϕ).
Démonstration : La suite 0 → ker ϕ → F → imϕ → 0 est localement exacte, donc exacte, puis
application du théorème précédent. De même la suite 0 → imϕ → G → Co ker ϕ → 0 est localement
exacte, donc exacte.
Théorème 6.6. (Naissance de la Cohomologie)
Soit U un ouvert de X , le foncteur Γ(U , .) de la catégorie des faisceaux sur X vers la catégorie des groupes abélien est un foncteur exacte à gauche i .e si 0 → F → F 0 → F 00 est une
suite exacte de faisceaux sur X , alors 0 → Γ(U , F ) → Γ(U , F 0 ) → Γ(U , F 00 ) est une suite
exacte de groupes abélien.
Démonstration : Notons ϕ le premier morphisme et ψ le deuxième morphisme. Puisque ϕ est
injectif, on a bien l’injectivité de ϕ(U ), d’autre part ψ ◦ ϕ = 0, donne ψ(U ) ◦ ϕ(U ) = (ψ ◦ ϕ)(U ) =
0, donc im(ϕ(U )) ⊂ ker ψ(U ).Réciproquement, soit s ∈ ker ψ(U ), comme ker ψ = imϕ,alors s ∈
(imϕ)(U ), il existe un recouvrement ouvert (Ui )i de U , et une famille de section (t i )i avec t i ∈
F (Ui ) tels que pour tout i , s|Ui = ϕ(Ui )(t i ) (maintenant on ait face à un problème de recollement
des sections t i ), on a ϕ(Ui ∩U j )(t i |Ui ∩U j ) = s|Ui ∩U j = ϕ(Ui ∩U j )(t j |Ui ∩U j ), donc t i |Ui ∩U j −t j |Ui ∩U j ∈
ker ϕ(U∩U j ), il découle de l’injectivité de ϕ, que pour tout i , j , t i |Ui ∩U j = t j |Ui ∩U j , on a donc l’existence d’une section t ∈ F (U ) tel que pour tout i , t |Ui = t i , d’autre part pour tout i , ϕ(U )(t )|Ui =
ϕ(Ui )(tUi ) = ϕ(Ui )(t i ) = s|Ui , il vient alors que s = ϕ(U )(t ).
Le théorème montre l’exactitude à gauche droite du foncteur Γ(U , .), mais ce foncteur est en
générale n’est pas exacte à droite, illustrons ceci par un exemple et un contre exemple :
Un exemple : cas d’un faisceau flasque
Définition 6.7.
Soit F un faisceau sur un espace topologique X , on dit que F est un faisceau flasque, si
pour tout inclusion d’ouverts V ⊂ U , le morphisme de groupes F (U ) → F (V ) , s 7→ s|V est
surjectif.
FSM
181
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.6. SUITES EXACTE DE FAISCEAUX
Remarque : En regardant le diagramme commutatif suivant (pour V ⊂ U )
F (X )
F (V )
il vient que F est flasque si, et seulement si, pour tout ouvert U ⊂ X , le
F (U )
morphisme F (X ) → F (U ) est surjectif.
Théorème 6.8.
Soit 0 → F → F 0 → F 00 → 0 une suite exacte de faisceaux, avec F flasque, alors pour tout
ouvert U de X la suite de groupes abélien 0 → F (U ) → F 0 (U ) → F 00 (U ) → 0 est exacte.
Démonstration : D’après le résultat du théorème précédent, la suite
0
F (U )
ϕ(U )
F 0 (U )
ψ(U )
F 00 (U ) est exacte, il suffit de démontrer que ψ(U ) est sur-
jectif, soit s ∈ F 00 (U ) = (imψ)(U ), il existe un recouvrement ouverts (Ui )i ∈I de U , et des section t i ∈
F 0 (U ) tel que pour tout i , s|Ui = ψ(Ui )(t i ).Pour J ⊂ I , posons U J l’ouvert ∪ j ∈J U j . Considérons l’ensemble E des couple (J , t ) où J ⊂ I et t un élément de F 0 (U J ) tel que s|U J = ψ(U J )(t ). On ordonne
E par (J , t ) ≤ (J 0 , t 0 ) si J ⊂ J 0 et t 0 |U J = t . La propriété de faisceau entraîne que E est un ensemble ordonné inductif ; il admet donc, par le lemme de Zorn, un élément maximal (J , t ). Supposons que J
soit un sous-ensemble strict de I et donnons-nous i 0 ∈ I \ J . ψ(U J ∩ Ui 0 )(t i 0 |U J ∩Ui 0 − t |U J ∩Ui 0 ) =
ψ(U J ∩ Ui 0 )(t i 0 |U J ∩Ui 0 ) − ψ(U J ∩ Ui 0 )(t |U J ∩Ui 0 ) = sU J ∩Ui 0 − sU J ∩Ui 0 = 0, donc t i 0 |U J ∩Ui 0 − t |U J ∩Ui 0 ∈
ker ψ(U J ∩Ui 0 ) = (imϕ)(U J ∩Ui 0 ) = im(ϕ(U J ∩Ui 0 )) (la dernière égalité est une conséquence du fait
que ϕ est injective ), il existe u ∈ F (U J ∩Ui 0 ) tel que t i 0 |U J ∩Ui 0 − t |U J ∩Ui 0 = ϕ(U J ∩Ui 0 )(u), comme
F est flasque, u est la restriction d’une section v ∈ F (U J ), posons t 0 = t + ϕ(U J )(v) ∈ F , le couple
(U J , t 0 ) est aussi maximal dans E et t 0 |U J ∩Ui 0 = t i 0 |U J ∩Ui 0 , par l’axiome des faisceaux les deux section t i 0 et t 0 induisent un élément t 00 de F 0 (U J ∪{i 0 } ), cela contredit la maximalité de (U J , t 0 ).
Un contre-exemple : Notons H le faisceau des fonctions holomorphe (additif ) et H × celui des
fonctions holomorphes inversibles.
Toute fonction holomorphe inversible est localement le logarithme d’une fonction holomorphe.
Par ailleurs, l’exponentielle d’une fonction holomorphe f sur un ouvert U de C est égale à 1 si, et
seulement si, f est constante de valeurs appartenant à 2i πZ sur chaque composante connexe de
U . On a donc une suite exacte naturelle de faisceaux de groupes abéliens sur l’espace topologique
C:
0 → 2i πZ → H → H × → 1
Mais la suite 0 → 2i πZ(C∗ ) = 2i πZ → H (C∗ ) → H × (C∗ ) → 1 n’est pas exacte :l’égalité 2i πZ(C∗ ) =
2i πZ est une conséquence, du fait que C∗ est connexe, et la non surjectivité du dernier morphisme
est traité dans l’exemple17.3.
Ce défaut d’exactitude -dont la mesure précise constitue l’objet de ce qu’on appelle la cohomologie- est, en un sens, le principal intérêt de la théorie des faisceaux : il traduit en effet les difficulté
de recollement d’antécédents , elles- mêmes liées à la forme de l’espace topologique considéré
(présence ou non de trous, etc.) ; il permet donc d’une certaine manière de décrire cette forme
algébriquement. Ainsi, le contre-exemple ci-dessus est intimement lié au fait que C∗ n’est pas
simplement connexe.
Extension du faisceau par zero : Soit X un espace topologique, Z un fermé de X , et U = X \ Z .
i : Z ,→ X et j : U ,→ X les inclusion.
FSM
182
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.6. SUITES EXACTE DE FAISCEAUX
• Si H est un faisceau sur U on note j ! H le faisceau sur X associé au pré-faisceau V 7→ F (V ) si
V ⊂ U et V 7→ 0 sinon.
Lemme 6.9.
Soit H un faisceau sur Z , alors pour tout x ∈ X , on a (i ∗ H )x = H x si x ∈ Z et (i ∗ H )x = 0
sinon.
Soit K est un faisceau sur U , alors pour tout x ∈ X on a ( j ! K )x = K x si x ∈ U et ( j ! K )x =
K x = 0 sinon.
j ! K est appelé le faisceau obtenue par extension par zero du faisceau K .
Démonstration : Soit x ∈ Z , pour tout voisinage ouvert V de x dans X , on a i ∗ F (V ) = F (U ∩ Z ),
lorsque V parcourt les voisinages ouverts de x dans X , V ∩ Z parcourt les voisinages ouverts de
x dans Z , en passant à la limite (inductive) on obtient (i ∗ F )x = Fx . Soit x ∈ U , si V est un voisinage ouvert de x dans X , alors V ∩U est aussi un voisinage ouvert de x dans X et i ∗ F (V ∩U ) =
F (V ∩U ∩ Z ) = 0, donc (i ∗ F )x = 0.
Soit x ∈ U , si V est un voisinage ouvert de x dans X , alors V ∩U est un voisinage ouvert de x, contenue dans V , si (V, s) est un représentant de s x ∈ ( j !F )x , alors (V ∩U , t |V ∩U , ) est un représentant de
s x dans Fx autrement dit la correspondance (V, t ) 7→ (V ∩U , t |V ∩U ) réalise une équivalence entre
les éléments de ( j !F )x et les éléments de Fx . Soit x ∈ Z , si V est un voisinage ouvert de x dans X ,
alors V 6⊂ U , d’où j !F (V ) = 0, ainsi ( j !F )x = 0 .
Théorème 6.10.
Soit F un faisceau sur X , Z un fermé de X et U = X \ Z alors
0 → j ! (F |U ) → F → i ∗ (F | Z ) → 0
est une suite exacte de faisceaux sur X .
Démonstration : Soit x ∈ X .
Si x ∈ Z , la suite 0 → ( j ! (F |U ))x = 0 → Fx → (i ∗ (F | Z ))x = Fx → 0 est exacte.
Si x ∈ U , la suite 0 → ( j ! (F |U ))x = Fx → Fx → (i ∗ (F | Z ))x = 0 → 0 est exacte.
La suite est localement exacte donc exacte.
Corollaire 6.11.
Soit X un espace topologique, U un ouvert de X et Z = X \U . F un faisceau sur X tel que
F |U = 0, alors F ' i ∗ (F | Z ).
Démonstration : Si F |U = 0 alors j ! (F |U ) = 0, l’exactitude de la suite
0 → j ! (F |U ) = 0 → F → i ∗ (F | Z ) → 0
permet de conclure.
Corollaire 6.12.
Soit X un espace topologique et U un ouvert de X . Alors le foncteur j ! : Ub(U ) → Ub(X ) est
exacte.
FSM
183
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 17. THÉORIE DES FAISCEAUX
17.7. RECOLLEMENT DE FAISCEAUX
Démonstration : Soit 0 → F → F 0 → F 00 → 0 une suite exacte de faisceaux de groupes abéliens
sur U , si x ∈ U , la suite 0 → ( j !F )x = Fx → ( j !F 0 )x = Fx0 → ( j !F 00 )x = Fx00 → 0 est exacte. Si s 6∈ U
la suite 0 → ( j !F )x = 0 → ( j !F 0 )x = 0 → ( j !F 00 )x = 0 → 0 est trivial donc exacte. Cela montrer
l’exactitude local de la suite 0 → j !F → j !F 0 → j !F 00 → 0, donc exacte.
17.7 Recollement de faisceaux
Théorème 7.1.
Soit X un espace topologique, et U = (Ui )i un recouvrement ouverts de X . Supposons que
pour tout i , Fi est un faisceau sur Ui et pour tout couple (i , j ), ϕi , j : Fi |Ui ∩U j → F j |Ui ∩U j
est un isomorphisme tel que :
1. Pour tout i , ϕi ,i = IdFi , et
2. Pour tout (i , j , k), ϕi , j ◦ ϕ j ,k = ϕi ,k sur Ui ∩U j ∩Uk .
Alors il existe un unique (a isomorphisme près) faisceau F sur X et des isomorphismes
ϕi : F |Ui → Fi tel que pour tout (i , j ), ϕi , j = ϕi ◦ ϕ−1
sur Ui ∩U j .
j
On dit que F est le faisceau obtenue par recollement des des faisceaux Fi via les isomorphismes ϕi , j .
FSM
184
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
Chapitre 18
Espace géométrique
18.1 Espace topologique annelé
Définition 1.1.
Un espace topologique annelé est un couple (X , O X ) où X est un espace topologique et O X
est un faisceau d’anneaux commutatifs unitaires sur X , appelé faisceau structurel.
Exemples :
1. Soit X un espace topologique, et O X le faisceau des fonctions continue à valeurs réelles sur
X , alors (X , O X ) est un espace annelé.
2. Soit X une variété analytique complexe (différentielles) et O X le faisceau des fonctions holomorphes (C ∞ ) sur X , alors (X , O X ) est un espace topologique annelé.
3. Soit X un espace topologique, (X , Z X ) est espace topologique annelé.
4. Soit (X , O X ) un espace topologique annelé, et U un ouvert de X , alors (U , O X |U ) est un espace topologique annelé, le faisceau structurel O X |U se note OU .
Définition 1.2.
Un morphisme d’espaces topologique annelé (X , O X ) → (Y , O Y ) est un couple ( f , f ] ) où
f : X → Y est une application continue et f ] : O Y → f ∗ O X est un morphisme de faisceaux
d’anneaux sur Y .
Exemples :
1. Soit (X , O X ) est espace topologique annelé et U un ouvert de X , et notons j : U → X l’injection. alors ( j , j ∗ ) : (U , OU ) → (X , O X )est un morphisme d’espaces topologiques annelés, où
pour tout ouvert V de X , j ∗ (V ) : O X (V ) → OU (U ∩ V ) est le morphisme de restriction.
2. Soit X et Y deux variétés analytiques complexes , muni des faisceaux de fonctions holomorphes, et f : X → Y une application holomorphe. Pour tout ouvert V de Y , et toute application holomorphe h : V → C, on définit f ∗ (h) = h ◦ f , alors ( f , f ∗ ) est un morphisme
d’espaces topologiques annelés.
3. On remplace holomorphe par C ∞ dans l’exemple précédent, on a aussi un morphisme
d’espaces topologiques annelés.
185
18.2. O -MODULE
CHAPITRE 18. ESPACE GÉOMÉTRIQUE
Soit ϕ : (X , O X ) → (Y , O Y ) un morphisme d’espaces topologiques annelés, soit x un point de
X , le morphisme ϕ induit de manière naturel un morphisme d’anneaux O Y , f (x) → O X ,x . Exemple
dans le cas des variétés analytiques complexes : soit X , Y deux variétés analytiques complexes
et f : X → Y une application holomorphe, et notons ( f , f ∗ ) : (X , O X ) → (Y , O Y ) le morphisme
d’espace d’espaces topologiques annelés induit par f . Soit x ∈ X et y = f (x) ∈ Y , si h est une
fonction analytique au voisinage de y, alors h ◦ f est analytique au voisinage de x, le morphisme
O Y , f (x) → O X ,x est définie par h y 7→ (h ◦ f )x .
Définition 1.3.
Soit ( f , f ] ) : (X , O X ) → (Y , O Y ) et (g , g ] ) : (Y , O Y ) → (Z , O Z ) deux morphismes d’espaces
topologique annelé. La composée est définie par :
(g , g ] ) ◦ ( f , f ] ) := (g ◦ f , f ] ◦ g ] )
Un isomorphisme d’espaces topologique annelé est un morphisme qui possède un inverse.
18.2 O -module
Définition 2.1.
Soit (X , O X ) un espace topologique annelé. Un faisceau de O -modules est un faisceau M
tel que , pour tout ouvert U , M (U ) est un O (U )-module et pour tout couple d’ouverts
V ⊂ U , le diagramme suivant est commutatif
O X (U ) × M (U )
M (U )
O X (V ) × M (V )
M (V )
i.e pour tout (a, s) ∈ O X (U ) × M (U ), on a (as)|V = a|V s|V .
Remarque : Si M est un O X -module et x ∈ X , alors Mx est muni d’une structure naturelle de
O X ,x -module : (a x )(m x ) := (am)x .
Exemple : Tout faisceau de groupes abélien F sur un espace topologique X est muni d’une structure naturelle de Z X -module , et tout morphisme de faisceaux de groupes abélien est un morphisme de Z X -modules.
Somme directe :
Soit F et G deux faisceaux de O modules, alors U 7→ F (U ) ⊕ G (U ) définie un faisceau de O modules sur X appelé la somme directe de F et G et se note F ⊕ G .
FSM
186
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 18. ESPACE GÉOMÉTRIQUE
18.3. ESPACE GÉOMÉTRIQUE
Théorème 2.2.
Soit O un faisceau d’anneaux sur X , F et G deux faisceaux de O -modules sur X , pour tout
x ∈ X , on a (F ⊕ G )x = Fx ⊕ G x .
Produit tensoriel :
Soit F et G deux faisceaux de O modules, alors U 7→ F (U )⊗O (U ) G (U ) définie un pré-faisceau de
O -modules sur X , le faisceau associé est appelé produit tensorielle de F et G et se note F ⊗O G .
Théorème 2.3.
Soit O un faisceau d’anneaux sur X , F et G deux faisceaux de O -modules sur X , pour tout
x ∈ X , on a (F ⊗O G )x = Fx ⊗O x G x .
Si F et G sont deux faisceaux de groupes abéliens sur X (en particulier des Z X -modules), le
produit tensoriel de F et G est leur produit tensoriel en tant que Z X -modules F ⊗ G := F ⊗ZX G ,
en particulier pour tout x ∈ X , (F ⊗ G )x = Fx ⊗Z G x .
Définition 2.4.
Un morphisme ϕ : F → G de faisceaux de O -modules, est un morphisme de faisceaux
d’anneaux tel que pour tout ouvert U , le diagramme suivant est commutatif ;
O (U ) × F (U )
F (U )
Id ×ϕ(U )
O (U ) × G (U )
ϕ(U )
G (U )
i.e pour tout (a, s) ∈ O (U ) × F (U ), on a ϕ(U )(as) = aϕ(U )(s) en particulier ϕ(U )(as)|V =
a|V ϕ(V )(s|V ).
18.3 Espace géométrique
Définition 3.1.
Un espace géométrique ou espace topologique localement annelé est un espace topologique annelé (X , O X ) tel que pour tout x ∈ X , O X ,x est un anneau local. Si on note M X ,x
l’idéal maximal de O X ,x le corps k(x) := O X ,x /M X ,x est appelé le corps résiduel du point x.
Exemples :
1. Soit X une variété analytique complexe, et O X le faisceau des fonctions holomorphes sur X ,
alors (X , O X ) est un espace géométrique.
2. Même pour une variété différentielle, muni du du faisceau des fonctions C ∞ .
FSM
187
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 18. ESPACE GÉOMÉTRIQUE
18.3. ESPACE GÉOMÉTRIQUE
3. Soit (X , O X ) un espace géométrique, et U un ouvert de X , alors (U , OU ) est un espace géométrique : cela vient du fait que, pour tout x ∈ U , OU ,x = O X ,x .
Soit (X , O X ) un espace géométrique , x ∈ X , on a une surjection canonique O X ,x → k(x), notons
cette surjection f 7→ f (x) appelé évaluation en x. On a ainsi l’équivalence f (x) 6= 0 si, et seulement
si, f est inversible dans O X ,x . Soit U un ouvert de X et x ∈ U , le morphisme composé O X (U ) →
O X ,x → k(x) sera noté aussi f 7→ f (x), et remarquons que si f est un élément inversible de O X (U ),
alors f (x) est un élément non nul de k(x).
Théorème 3.2.
Soit (X , O X ) un espace géométrique, U ouvert de X , et f ∈ O X (U ).
L’ensemble D( f ) := {x ∈ U / f (x) 6= 0} est un ouvert de U , et f est inversible dans O X (U ) si,
et seulement si, D( f ) = U .
Démonstration : Soit x ∈ D( f ), comme f (x) 6= 0, alors le germe de f en x n’est pas dans l’idéal
maximal M X ,x i.e f x 6∈ M X ,x , et donc f x est inversible dans O X ,x , on a alors f x s x = 1 où s une section
d’un voisinage ouvert V de x que l’on peut supposer inclue dans U (quitte à faire des restriction),
il vient alors que ( f |V s)x = 1, il existe alors un un voisinage ouvert W ⊂ V de x tel que f |W s|W = 1,
en particulier W ⊂ D( f ).
Si f est un inversible dans O X (U ), son image dans k(x) (pour x ∈ U ) est inversible donc non nulle.
Réciproquement si D( f ) = U , pour tout x ∈, on a f (x) 6= 0 donc f x est inversible dans O X ,x , ou
encore f inversible dans un voisinage ouvert de x, on donc l’existence d’un recouvrement ouverts
(Ui )i de U tel que pour tout i f |Ui est inversible dans O X (Ui ) et notons s i ∈ O X (Ui ) l’inverse de
f |Ui . Pour tout i , j , s i |Ui ∩U j (resp. s j |U∩U j ) est l’inverse de f |Ui ∩U j , et par l’unicité de l’inverse on
a s i |Ui ∩U j = s j |Ui ∩U j , les sections s i de recollent donc en une section s ∈ O X (U ), qui satisfait les
égalités ( f s)|Ui = f |Ui s i = 1, donc f s = 1.
Définition 3.3.
Soient A et B deux anneaux locaux, et notons M A (resp. M B ) l’idéel maximal de A (resp.
de B ), et soit ϕ : A → B un morphisme d’anneaux. On dit que ϕ est local si ϕ(M A ) ⊂ M B .
Proposition 3.4.
Avec les notations de la définition précédente. On équivalence entre :
1. ϕ est local ,
2. M A ⊂ ϕ−1 (M B ),
3. M A = ϕ−1 (M B ), et
4. Pour tout x ∈ A, si ϕ(x) est inversible dans B , alors x est inversible dans A.
Exemple : Soit ϕ : A → B un morphisme d’anneaux, et Q un idéal premier de B , P = ϕ−1 (Q),
alors le morphisme induit A P → BQ est un morphisme local.
FSM
188
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com
CHAPITRE 18. ESPACE GÉOMÉTRIQUE
18.3. ESPACE GÉOMÉTRIQUE
Définition 3.5.
Un morphisme d’espaces topologique localement annelé est un morphisme d’espaces to]
pologique annelé ( f , f ] ) : (X , O X ) → (Y , O Y ) tel que pour tout x ∈ X , f x : O Y , f (x) → O X ,x est
]
un morphisme local i.e f x (M Y , f (x) ) ⊂ M X ,x .
]
Remarque : Soit x ∈ X , dire que f x : O Y , f (x) → O X ,x est local, cela signifie que si g est un élément
]
de O Y , f (x) , alors g appartient à l’idéal maximal de O Y , f (x) si, et seulement si, f x (g ) appartient à
h
i
]
l’idéal maximal de O X ,x . Cela se traduit par l’équivalence g ( f (x)) = 0 ⇔ f x (g ) (x) = 0.
FSM
189
Mohamed Aqalmoun
www.aqalmoun.com