Mémoire de magistère

Mémoire de magistère
Erwan Biland
soutenu le 20 septembre 2002
École Normale supérieure
Magistère de Mathématiques Fondamentales et Appliquées et d'Informatique
Année 2001-2002
Table des matières
1
Curriculum vitae
2
Présentation du domaine de recherche
1.1
1.2
1.3
1.4
Première année ( 1999-2000 )
Deuxième année ( 2000-2001 )
Troisième année ( 2001-2002 )
Perspectives . . . . . . . . . .
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2.1 Faisceaux et catégories dérivées . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Préfaisceaux et faisceaux . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Quatre foncteurs importants . . . . . . . . . .
2.1.3 Complexes de faisceaux ; cohomologie . . . . .
2.2 Géométrie algébrique complexe et faisceaux pervers .
2.2.1 Variétés algébriques complexes ; stratications
2.2.2 La sous-catégorie des complexes constructibles
2.2.3 Les faisceaux pervers . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Les faisceaux pervers en cohomologie étale . . . . . .
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3
3
4
5
5
6
7
9
9
10
11
12
Annexe A : Mémoire de DEA
Faisceaux pervers en cohomologie étale des schémas
Annexe B : Notes d'exposé
Quelques applications des algèbres de matrices à la théorie des corps non-commutatifs
Annexe C : Mémoire de maîtrise
Z est simplement connexe
1
5
Chapitre 1
Curriculum vitae
1.1
Première année ( 1999-2000 )
Mes choix de cours en première année ont été orientés par un goût pour la géométrie et
l'algèbre plus que pour l'analyse. J'ai donc suivi, au premier semestre :
Logique, M Louveau ( non validé )
Analyse 1, I. Ekeland ( note : 11 )
Algèbre 1, A. Beauville ( note : 14 )
Intégration et probabilités, F. Cometz ( note : 13 )
J'ai aussi, souhaité m'ouvrir aux domaines scientiques extérieurs aux mathématiques.
J'ai donc suivi, en plus d'un séminaire interdisciplinaire, deux cours du département de
Physique :
Séminaire interdisciplinaire sur l'environnement
Mécanique quantique, S. Haroche ( non validé )
Physique statistique, B. Roulet ( note : 15,5 )
Au second semestre, j'ai choisi un sujet de mémoire à l'intitulé énigmatique : Z est simplement connexe ( voir l'annexe C ). Je l'ai réalisé avec Xavier Caruso sous la direction de
Yves Laszlo. Ces mathématiques où se rencontrent l'algèbre la plus abstraite et la géométrie
m'ont passionné, et c'est dans cet esprit que j'ai ensuite choisi mon DEA.
Analyse complexe, J. Faraud ( note : 15 )
Analyse 2, F. Béthuel ( non validé )
Probabilités 2, J. Bertoin ( note : 10,5 )
Algèbre 2, L. Illusie ( note : 13 )
Introduction à la géométrie diérentielle, J-B. Bost ( note : 10 )
Introduction à la topologie algébrique, P. Vogel ( note : 10 )
Mémoire de maîtrise ( note : 17 )
J'ai donc cette année obtenu la licence et la maîtrise de mathématiques avec mention
Assez Bien.
Par ailleurs, comme les langues, vivantes ou anciennes, m'intéressent, j'ai suivi à l'É.N.S.
des cours de version latine, initiation au grec ancien, et première année d'arabe.
2
1.2
Deuxième année ( 2000-2001 )
J'ai décidé de consacrer la deuxième année du magistère à la préparation de l'agrégation. Ceci m'a permis de m'y consacrer sérieusement sans attendre le mois de février, en
assistant en particulier à des cours à Orsay. En essayant d'éviter le bachotage, j'ai voulu
approfondir mes connaissances de base en mathématiques avant de devoir m'orienter vers un
domaine précis pour le DEA. C'est ainsi que j'ai choisi, à l'épreuve de modélisation, l'option
Probabilités et statistiques, car je me savais peu cultivé dans ces disciplines.
Un des thèmes abordés au cours de la préparation à l'École Normale Supérieure avec R.
Antetomaso m'a fourni la matière d'un exposé que j'ai fait l'année suivante, le 28 février
2002, au séminaire de professeurs du lycée Clemenceau, à Nantes ( voir les notes de cet
exposé à l'annexe B ). La deuxième partie de cette exposé m'avait servi de développement à
l'oral de mathématiques générales.
J'ai été reçu 4ème ex-æquo au concours de l'agrégation, avec les résultats suivants :
Ecrit de mathématiques générales : 19,5
Ecrit d'analyse et probabilités : 17
Oral de mathématiques générales : 18,5
Oral d'analyse et probabilités : 19
Oral de modélisation : 11
Parallèlement, j'ai suivi le séminaire du Département de Sciences Sociales sur Les jeunes
et l'argent , et la deuxième année du cours d'arabe.
Au terme de cette deuxième année, j'avais le projet de partir enseigner un an à l'Université
de Bir Zeit, en Palestine. La situation de cette région m'a obligé à y renoncer à la n de
l'été.
1.3
Troisième année ( 2001-2002 )
J'ai donc commencé mon DEA en troisième année. Je me suis inscrit au DEA de Mathématiques de l'Université Paris 7 car il me semblait le plus orienté vers la géométrie. J'y ai
suivi, au premier semestre, les cours fondamentaux suivants :
Introduction à la géométrie algébrique, J. Le Potier ( note : 14 )
Géométrie diérentielle, M. Chaperon ( note : 15 )
Théorie des représentation, M. Broué ( Paris 6, non validé )
Après avoir longuement hésité entre le versant analytique et le versant algébrique de la
géométrie, je me suis décidé pour ce dernier et ai entamé un stage de DEA sous la direction
d'Anne-Marie Aubert, ma tutrice à l'Ecole Normale Supérieure. J'ai donc passé le deuxième
semestre à décrypter Astérisque 100 pour découvrir la théorie des faisceaux pervers. J'ai
choisi deux cours spécialisés qui abordaient des sujets aérents :
Cohomologie étale, F. Morel ( note : 10 )
Homologie d'intersection et faisceaux pervers, A. Arabia ( note : 14 )
J'ai également assisté à un séminaire d'une semaine à Luminy sur les Polymômes de
Kazhdan-Lusztig . Je soutiendrai le 25 septembre mon mémoire de DEA, intitulé Faisceaux
3
pervers en cohomologie étale des schémas ( voir l'annexe A ).
J'ai aussi suivi la troisième année de cours d'arabe.
1.4
Perspectives
Au terme de cette dernière année de magistère, je partirai pour un an aux États-Unis,
faisant ainsi une pause dans mes études. A mon retour, je compte consacrer ma dernière année
de scolarité à approfondir les théories eeurées dans mon mémoire de DEA. Je déciderai
alors de m'engager ou non dans la préparation d'une thèse.
4
Chapitre 2
Présentation du domaine de recherche
On va chercher à présenter une dénition des faisceaux pervers dans un cadre relativement
simple : celui d'une variété analytique complexe, munie de la topologie analytique.
Pour cela, on commencera par rappeler la notion de faisceau. On construira les quatres
foncteurs classiques entre les catégories de faisceau, dans le cas de l'immersion d'un sousschéma localement fermé. On donnera ensuite un aperçu des techniques utilisées en catégories
dérivées, en se concentrant sur la dénition des foncteurs dérivés.
Avec tous ces outils, on sera alors en mesure de dénir la catégorie des faisceaux pervers sur une variété analytique complexe, pour la topologie usuelle. On en donnera, sans
démonstration, les grandes propriétés ( abélienne, dévissage des faisceaux pervers ).
2.1
Faisceaux et catégories dérivées
Dans toute cette section, X désignera un espace topologique.
2.1.1 Préfaisceaux et faisceaux
La topologie sur X permet de dénir une catégorie T , dont les objets sont les ouverts de
X et les èches les inclusions d'un ouvert dans un autre.
Soit alors Ab la catégorie des groupes abéliens ; on appelle préfaisceau de groupes abéliens
sur X la donnée d'un foncteur contravariant F : T → Ab, c'est à dire la donnée :
(i) pour chaque ouvert U de X , d'un groupe abélien F (U ), nul pour U = ∅ ;
(ii) pour chaque couple d'ouverts V ⊂ U , d'un morphisme de groupe abélien
F (U ) → F (V ) appelé morphisme de restriction.
On notera souvent Γ (U, F) = F (U ) le groupe des sections de F sur U . Un morphisme
de faisceaux est une transformation naturelle entre foncteurs contravariants de T dans Ab.
On dira qu'un préfaisceau F sur X est un faisceau s'il vérie la propriété :
5
textit pour tout ouvert U de X et tout recouvrement (Ui )16i6n de U par des
ouverts, la suite
1
M
0 −→ F (U ) −→
2
M
F (Ui ) −→
16i6n
F (Ui ∩ Uj )
16i6j6n
est exacte.
[ La èche
1 associe à s∈ F (U ) l'objet ⊕i s|Ui ; La èche 2 associe à ⊕i si l'objet
⊕i6j si|Ui ∩Uj − sj |Ui ∩Uj ]
On parle de faisceau en A-modules, en A-algèbres... ( A un anneau xé )
lorsque F , à un ouvert, associe un A-module, une A-algèbre... et que les èches de restriction
sont des morphismes de A-module, de A-algèbre...
On a ainsi, par exemple, en géométrie diérentielle, le faisceau des fonctions diérentiables
sur une variété diérentiable ; c'est un faisceau en R-algèbres.
Un autre exemple important est le préfaisceau constant de valeur un groupe donné G,
qui vaut G sur tous les ouverts non vides, avec les èches de transition naturelles.
Soit x un point de X et F un préfaisceau ; on appelle bre de F au point x le groupe
Remarque :
Fx = −
lim
F (U ) .
−→
U 3x
Muni de cet outil, on montre aisément que, pour tout préfaisceau F , il existe un faisceau F +
et une èche F → F + uniques tels que
pour tout faisceau G sur X , hom (F, G) = hom (F + , G).
Le faisceau ainsi associé au préfaiceau constant de valeur G est appelé faisceau constant
de valeur G. Un faisceau est dit localement constant s'il est localement isomorphe à un
faisceau constant.
2.1.2 Quatre foncteurs importants
On note Fais (X) la catégorie des faisceaux en groupes abéliens sur X .
Si on deux espaces topologiques X et Y , et une application continue f : X → Y , on lui
associe plusieurs foncteurs entre les catégories de faisceaux sur X et Y .
L'image directe f∗ : Fais (X) → Fais (Y ). Soit F un faisceau sur X , on pose ( avec les
morphismes de transition évidents ) :
pour tout ouvert V de Y , Γ (V, f∗ F) = Γ f −1 (V ) , F .
f∗ F est un faisceau, et le foncteur f∗ est exact à gauche.
L'image directe à support propre f! : Fais (X) → Fais (Y ). Avec les notations ci-dessus,
on pose :
Γ (V, f! F) =
s ∈ Γ f −1 (V ) , F
| Supp (s) → V
6
est un morphisme propre
.
Là encore, ceci dénit un faisceau. f! est un foncteur exact à gauche. Si f est propre, on a
f! = f∗ .
Le foncteur f∗ possède un adjoint à gauche, l'image inverse f −1 : Fais (Y ) → Fais (X).
Soit G un faisceau sur Y , on pose :
pour tout ouvert U de X , Γ U, f −1 G = −−lim
Γ (V, G) ,
−−−→
V ⊃f (U )
f −1 G est un faisceau. Le foncteur f −1 est exact. Pour X un sous-schéma de Y , c'est la
restriction : on note f −1 G = G|X .
Un quatrième foncteur ne peut être déni que si X est une partie localement fermée
de Y , et f l'injection canonique : c'est le foncteur sections à support dans X , noté
γX : Fais (Y ) → Fais (X). On commence par écrire X comme l'intersection d'un ouvert W
et d'un fermé F de Y . Pour G ∈ Fais (Y ) et U un ouvert de X , on choisit un ouvert V de
Y tel que U = V ∩ F , et on pose :
Γ (U, γX G) = { s ∈ Γ (V, G)
| Supp s ⊂ U }
Le terme de droite ne dépend pas des choix de W , F et V . γX G est un faisceau sur X ,
et le foncteur γX ainsi déni est exact à gauche. Si X est un ouvert de Y , γX est égal au
foncteur de restriction f −1 .
2.1.3 Complexes de faisceaux ; cohomologie
On xe désormais un corps k , et on s'intéresse à la catégorie Faisk (X) des faisceaux en
k -espaces vectoriels, également appelés k -faisceaux.
On appelle complexe de k -faisceaux sur X la donnée d'une famille de k -faisceaux (K i )i∈Z
munie de diérentielles di : K i → K i+1 vériant di ◦di−1 = 0. On appelle i-ème faisceau de coi
homologie le faisceau Hi K = ker dim di−1 . On dit que le complexe est cohomologiquement
borné si les faisceaux de cohomologie sont nuls pour i très grand ou très petit.
Un morphisme de complexes K → L est une famille de morphismes K i → Li commutant
aux diérentielles. On note C (Faisk (X)) la catégorie des complexes de k -faisceaux sur X . Un
morphisme de complexes est appelé quasi-isomorphisme s'il induit des isomorphismes entre
les faisceaux de cohomologie. On peut inverser formellement les quasi-isomorphismes
de C (Faisk (X)) : on obtient une catégorie, notée D (Faisk (X)) ou D (X, k), et appelée
catégorie dérivée de k FaisX . Ses objets sont les complexes de k -faisceaux sur X . Dorénavant,
quand nous parlerons de complexes, nous nous placerons implicitement dans cette catégorie,
dont deux propriétés nous intéressent.
D'abord, c'est une catégorie triangulée, c'est-à-dire qu'elle est munie d'un foncteur de
translation T , qui à K = (K i , di )i∈Z associe K[1] = (K i+1 , −di+1 )i∈Z et qui est une équivalence de catégories et d'une famille de triangles distingué ( un triangle étant la donnée
de trois complexes K , L, M et de trois morphismes K → L → M → K[1] ) vériant les
axiomes :
7
(tr 1) Tout triangle de D (X, k) isomorphe àun triangle distingué est distingué.
Id
!"#
/ 0 '&%$
1 /
Pour tout K ∈ D (X, k), le triangle K K / K
est distingué.
Tout morphisme K
K
u
/L
(tr 2) Un triangle
v
K
w
'&%$
!"#
/M
u
ment si le triangle
u
.
/
1
/L
L
v
/M
v
/M
/L
est contenu dans un triangle distingué
w
'&%$
!"#
/
1
w
de D (X, k) est distingué si et seule-
'&%$
!"#
/ K[1]−u[1]
1 /
l'est.
(tr 3) Tout diagramme commutatif de la forme :
K
u
/L
K0
/M
/ K[1]
w
g
f
v
u0
/ L0
v0
/ M0
w0
f [1]
/ K 0 [1]
(où les lignes sont des triangles distingués) se complète en un morphisme
de triangles :
K
u
/L
K0
(tr 4) Pour tout diagramme
/M
g
f
v
u0
/ L0
v0
/ K[1]
w
h
/ M0
w0
f [1]
/ K 0 [1]
/M
BB
}>
}
BB
}}
BB
}}
B
}
'&%$
!"#
}
1
?
L
`A ?
}} A'&%$
!"#
}
1 AA
}
AA
}}
}
~}
'&%$
!"#
0 o
1
M
K0
KO B
(où les triangles marqués sont commutatifs et ceux marqués ? sont distingués), il existe L0 et des morphismes complétant le diagramme :
/M
|
|
?
'&%$
!"#
1 BB
||
BB
||
|
'&%$
!"#
|~
1
0
L
BB
|=
B
|
BB
||
BB
||
B |
?
|
'&%$
!"#
0 o
1
M
K0
KO aBB
(où les èches du pourtour sont les mêmes que précédemment). La juxtaposition de ces deux diagrammes est appelée diagramme de l'octaèdre .
8
Ensuite, on peut y prolonger les foncteurs du paragraphe précédent en des foncteurs
dérivés , de la façon suivante :
Un faisceau I sur X est dit injectif si, pour tout sous-faisceau F d'un faisceau G , tout
morphisme de F dans I se prolonge à G :
0
/F
/G

I
La catégorie des k -faisceaux sur X possède susament d'injectifs, c'est à dire que tout
faisceau se plonge dans un faisceau injectif.
Soit K un complexe de faisceaux sur X ; on appelle résolution injective de K un quasiisomorphisme K → I , où I est un complexe à objets injectifs ; il en existe et elles sont toutes
homotopes.
Les foncteurs que nous avons construits plus haut ne se prolongent pas naturellement à
la catégorie dérivée, excepté f −1 , qui est exact. Mais on peut leur associer leurs foncteurs
dérivés droits : étant donné un complexe K , on en choisit une résolution injective I , et on
pose, pour chaque foncteur F , RF (K) = F (I).
2.2
Géométrie algébrique complexe et faisceaux pervers
2.2.1 Variétés algébriques complexes ; stratications
On appelle espace annelé en C-algèbres un espace topologique X muni d'un faisceau structural OX en C-algèbres. On appelle morphisme entre deux espaces annelés (X, OX ) et
(Y, OY ) la donnée d'une application continue f : X → Y et d'un morphisme de faisceaux φ :
OX → f −1 (OY ). C'est un isomorphisme si f est un homéomorphisme et φ un isomorphisme.
Tout ouvert d'un espace annelé est naturellement un espace annelé.
On veut construire une structure d'espace annelé sur Cn , n ∈ N, et sur certaines de ses
parties. Pour cela, on commence par dénir sur Cn la topologie de Zariski. Une partie U de
Cn sera dite ouverte s'il existe des polynômes P1 , . . . , Pk ∈ C [x1 , . . . , xn ] tels que
U = { x ∈ Cn
| ∃i 6 k Pi (x) 6= 0 } .
Une partie fermée sera donc dénie comme l'ensemble des zéros d'une famille de polynômes.
Ceci dénit bien une topologie.
On veut maintenant dénir naturellement un faisceau en C-algèbres sur toute partie
fermée de Cn . Pour cela, on associe à toute partie localement fermée ( pour la topologie de
Zariski ) et non vide U de Cn la C-algèbre :
(
O (U ) =
P
f : U → C | ∃ ∈ C (x1 , . . . , xn )
Q
9
P
∀x ∈ U Q (x) 6= 0 et f =
Q |U
)
.
Si U ⊂ V sont deux parties localement fermées de Cn , on a naturellement un morphisme de
restriction O (V ) → O (U ). Ceci dénit donc un préfaisceau OF sur toute partie fermée F
de Cn . Ce préfaisceau est un faisceau.
On appelle variété algébrique ane complexe ( réduite, mais on ne le précisera plus ) un
tel espace annelé (F, OF ). On appelle variété algébrique complexe un espace annelé (X, OX )
localement isomorphe à une variété algébrique complexe ane. Toute partie localement fermée d'une variété algébrique complexe est naturellement une variété algébrique complexe.
Les variétés algébriques anes que nous avons dénies sont naturellement munies d'une
deuxième topologie, dérivée de la topologie usuelle ( métrique ) de Cn . On peut transporter,
par ces cartes , cette topologie sur X . X , muni de la topologie usuelle, n'est pas une
variété topologique mais une pseudo-variété ( c'est-à-dire qu'il contient des singularités ).
On dit qu'une VAC est irréductible si elle ne peut pas s'écrire comme réunion de deux
fermés propres ( au sens de Zariski ). On a sur les VAC une notion de lissité et de dimension
( qui est la moitié de la dimension en tant que pseudo-variété ).
Soit X une VAC. On appelle stratication de Whitney de X une partition S de X en un
nombre ni de parties localement fermées ( au sens de Zariski ) lisses et irréductibles, vériant
de plus les conditions de Whitney, que l'on peut consulter dans [J.L.Verdier, Stratications
de Whitney et théorème de Bertini-Sard, Inv.Math. 36 (1976), p. 295-312]. En particulier,
on demande que l'adhérence d'une strate soit réunion de strates. Ces stratications vérient
la propriété (H) :
(H) (H) pour toute strate S , pour tout faisceau F localement constant de type ni
sur S , et pour toute strate T dans l'adhérence de S , en notant s l'inclusion
de S dans X , pour tout i ∈ Z, le faisceau (Ri s∗ F)|T est localement constant
de type ni.
Etant données deux STW S et S 0 sur X, on dit que S rane S 0 si toute strate de S 0 est
réunion de strates de S . En ce sens, toute partition de X en parties localement fermées se
rane en une stratication de Whitney. Munies de cette relation d'ordre, les stratications
de Whitney sur X forment donc une famille ltrante.
2.2.2 La sous-catégorie des complexes constructibles
On considère maintenant sur X la topologie usuelle. On va s'intéresser à la catégorie des
faisceaux en k -espaces vectoriels ( k un corps xé ) sur X .
Soit S une stratication de Whitney sur X et F un k -faisceau, on dit que F est S constructible si sa restriction à chaque strate de S est un faisceau localement constant de
type ni.
Soit K un complexe de k -faisceaux sur X , on dit qu'il est S -constructible s'il est cohomologiquement borné et si tous ses faisceaux de cohomologie sont S -constructibles. Un
complexe S -constructible est constructible pour toute stratication de Whitney plus ne.
On peut donc dénir la catégorie Dcb (X, k) comme la réunion ltrante des catégories de
k -complexes S -constructible, pour S de plus en plus ne.
10
La sous-catégorie ainsi dénie est une sous-catégorie triangulée de D (X, k). Elle est de
plus stable par translation et par extension, c'est-à dire que si, dans un triangle distingué,
deux des complexes sont constructibles, le troisième l'est aussi.
Elle est de plus stable par tous les foncteurs dérivés dénis plus haut, pour une partie S
localement fermée au sens de Zariski.
2.2.3 Les faisceaux pervers
Un k -complexe K , S -constructible, est appelé S -faisceau pervers s'il vérie la propriété
suivante :
pour toute strate S , en notant d sa dimension, on a :
∀i ∈ Z
i > −d ⇒ Hi K|S = 0
i < −d ⇒ Hi (RγS K) = 0
Ce sera alors un faisceau pervers pour toute stratication de Whitney ranant S , ce qui
permet de dénir la catégorie M (X, k) des k -faisceaux pervers sur X sans référence à une
stratication.
Mais ce qui nous permettra toutes les constructions intéressantes, et aussi d'importants
résultats de structure, autour des faisceaux pervers, est la t-structure de perversité. Dans
une catégorie triangulée quelconque D, une t-structure ( le t signie troncature ) est la
donnée de deux sous-catégories strictement pleines D60 et D>0 de D vériant les propriétés
suivantes (pour n ∈ N, on a posé D6n = D60 [−n] et D>n = D>0 [−n]) :
(t 1) K ∈ D60 et L ∈ D>1 ⇒ hom (K, L) = 0 ;
(t 2) D60 ⊂ D61 et D>1 ⊂ D>0 ;
(t 3) Il existe deux foncteurs τ60 : D −→ D60 et τ>1 : D −→ D>1 donnant lieu,
pour tout K ∈ D, à un triangle distingué :
τ60 K
/K
!"#
/ τ>1 K '&%$
1 /
.
Ici, on pose, pour un complexe K S -constructible :
K ∈p D60 (X, k)
K ∈p D>0 (X, k)
⇔
⇔
∀S ∈ S ∀i > dim S Hi K|S = 0
∀S ∈ S ∀i < dim S Hi (RγS K) = 0
On montre que c'est une t-structure grâce à un théorème de recollement. La catégorie des
k -faisceaux pervers en est le c÷ur, c'est-à-dire l'intersection de p D60 (X, k) et p D>0 (X, k).
Elle est donc abélienne et stable par extensions. On a des foncteurs p Hi , i ∈ Z, qui découpent un k -complexe en k -faisceaux pervers.
On dit qu'un foncteur entre deux catégories triangulées D et D0 , munies chacune d'une
t-structure, est t-exact à droite s'il envoie D60 dans D060 , et t-exact à gauche s'il envoie D>0
dans D0>0 .
11
On prouve par exemple des théorèmes de t-exactitude pour les foncteurs dérivés dénis
plus haut. Ceci permet de dénir le foncteur de prolongement intermédiaire, qui est fondamental dans la théorie. C'est par exemple lui qui fournit les éléments simples de la catégories
de faisceaux pervers. On montre que tout faisceau pervers sur X se dévisse en une
extension successive nie de faisceaux pervers simples.
2.3
Les faisceaux pervers en cohomologie étale
Le cadre des espaces topologiques localement compacts est un cadre assez intuitif où on
élabore nombre des propriétés des faisceaux pervers.
Mais on les étudie aussi ( c'est l'objet de mon mémoire de DEA ) dans le cadre de la
topologie étale, qui est une topologie ( au sens de Grothendieck ) plus ne que la topologie
de Zariski. Les propriétés de cette topologie se rapprochent de celles des espaces localement
compacts, bien que les constructions soient souvent beaucoup plus diciles. Dans ce cadre,
on s'intéresse en particulier ( perspective d'avenir ) aux groupes algébriques sur un corps
ni, tensorisés éventuellement par une clôture algébrique de ce corps.
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Annexe A
Mémoire de DEA
Faisceaux pervers en cohomologie étale des
schémas
réalisé sous la direction d'Anne-Marie Aubert
soutenu le 23 septembre 2002
DEA de Mathématiques - Paris 7
Année 2001-2002
Annexe B
Notes d'exposé
Quelques applications des algèbres de matrices
à la théorie des corps non commutatifs
d'après un cours pour l'agrégation de Richard Antetomaso
exposé le 28 février 2002
Séminaire de professeurs du lycée Clemenceau ( Nantes )
Année 2001-2002
Annexe C
Mémoire de maîtrise
Z est simplement connexe
réalisé avec Xavier Caruso sous la direction de Yves Laszlo
soutenu en juin 2000
Université Paris 11 - Orsay
Année 1999-2000