⋇ Morphismes ⋇ Généralités Définition – Morphisme (= Homomorphisme) Soit deux ensembles E et F munis respectivement des lois de composition interne * et ⊤. On appelle morphisme de (E,*) vers (F,⊤) toute application f de E dans F telle que : (∀(x1,x2) ∈ E²) f(x1*x2) = f(x1)⊤f(x2) Définition – Endomorphisme Morphisme de (E,*) vers lui-même Définition – Isomorphisme On appelle isomorphisme de (E,*) vers (F,⊤) tout morphisme bijective f de (E,*) vers (F,⊤) Définition – Automorphisme Un automorphisme de (E,*) est un isomorphisme de (E,*) Définition – Monomorphisme Un monomorphisme est un morphisme injectif Théorème – Morphisme surjectif S’il existe un morphisme surjectif f de (E,*) vers (F,⊤) on a les propriétés suivantes : a) Si * est associative alors ⊤ est associative b) Si * est commutative alors ⊤ est commutative c) Si * admet un élément neutre e alors f(e) est élément neutre pour la loi ⊤ d) Si x et x’ sont deux éléments de E symétriques pour la loi *, f(x) et f(x’) sont dans F symétriques pour la loi ⊤ Théorème – Isomorphisme réciproque S’il existe un isomorphisme f de (E,*) vers (F,⊤) alors l’application réciproque f-1 est un isomorphisme de (F,⊤) sur (E,*) E et F sont dits isomorphes. Théorème – Composé de morphisme Si f est un morphisme de (E,*) vers (F,⊤) et g un morphisme de (F,⊤) vers (G,⊥) alors gοf est un morphisme de (E,*) vers (G,⊥) Définition – Morphisme nilpotent On dit qu’un endomorphisme f est nilpotent s’il existe un entier k positif tel que fk = 0 Définition – Endomorphisme stable Soit f un endomorphisme de E et F un sous-ensemble de E. On dit que F et stable par f si f(F) ⊂ F 19/04/2017 Algèbre – Morphismes | 1 Morphismes de groupes Définition – Morphisme de groupes Etant donné deux groupes (G,*) et (𝛤,⦁), une application f de G dans 𝛤 est un morphisme de groupes ssi (∀(x1,x2) ∈ G²) f(x1*x2) = f(x1)⦁f(x2) Théorème Soit deux groupes (G,*) et (𝛤,⦁), d’éléments neutres respectifs e et 𝜀. Si f est un morphisme de (G,*) vers (𝛤,⦁) alors : 1) f(e) = 𝜀 2) Si un élément x de G a pour symétrique x-1 dans (G,*), f(x) a pour symétrique f(x-1) dans (𝛤,⦁) 3) Si H est sous-groupe de (G,*) son image f<H> est un sous-groupe de (𝛤,⦁) Définition – Noyau Si f est un morphisme du groupe (G,*) vers le groupe (𝛤,⦁) on appelle noyau de f et on note ker f l’ensemble des éléments de G dont l’image par f est le neutre 𝜀 de (𝛤,⦁) Ker f = {x ∈ G / f(x) = 𝜀} Théorème Si f est un morphisme du groupe (G,*) vers le groupe (𝛤,⦁) alors 1) son noyau ker f est un sous-groupe de (G,*) 2) f est une injection ⟺ ker f = {e} Théorème S’il existe un morphisme surjectif du groupe (G,*) vers l’ensemble F muni d’une loi de composition interne ⊤, alors (F,⊤) est un groupe. Si le groupe G est abélien alors F est abélien. 19/04/2017 Algèbre – Morphismes | 2 Morphismes d’anneaux et de corps Définition – Morphismes d’anneaux / de corps Soient deux anneaux (A,+,⦁) et (B,⊤,*) et f une application de A dans B. On dit que f est un morphisme d’anneaux ssi : 1) ∀(x1,x2) ∈ A² f(x1+x2) = f(x1) ⊤ f(x2) 2) ∀(x1,x2) ∈ A² f(x1⦁x2) = f(x1) * f(x2) 3) f(1A) = 1B même définition pour un morphisme de corps * Un morphisme de corps est injectif Théorème – Morphismes surjectifs d’anneaux / de corps S’il existe un morphisme surjectif f de l’anneau (A,+,⦁) et vers l’ensemble (F, +, ⦁) alors (F,+, ⦁) est un anneau Même théorème avec un corps 19/04/2017 Algèbre – Morphismes | 3 19/04/2017 Algèbre – Morphismes | 4