n - anneaux euclidiens

N - ANNEAUX EUCLIDIENS
Dans ce qui suit A est un anneau unitaire, muni de deux opérations notées additivement et multiplicativement. Le neutre de l’addition est noté 0, celui de la multiplication est noté e. On pose A∗ = A\{0},
et on désigne par I l’ensemble des éléments inversibles de A. L’inverse d’un élément a de I est noté a−1 .
Donnons tout d’abord une propriété générale dans les anneaux commutatifs.
Proposition 1 On définit une relation d’équivalence R dans A∗ par
a B b si et seulement si a ∈ bI .
La classe de a est aI. L’ensemble A+ = A∗ /I peut être muni canoniquement d’une multiplication
associative, commutative, de neutre I, sans autre élément inversible que I.
• On a
a = ae
avec e inversible. La relation est donc réflexive.
Si, l’on a
a = bu
avec u inversible, alors
b = au−1
avec u−1 inversible. La relation est symétrique.
Si l’on a
b = au
et c = bv
avec u et v inversibles, alors
c = a(uv)
avec uv inversible. La relation est transitive. C’est donc une relation d’équivalence. La classe d’un
élément a est alors
ȧ = aI .
• Si l’on a
a R a′
et b R b′
on a donc
a = a′ u et
b = b′ v
avec u et v inversibles, donc
ab = a′ b′ (uv)
N 2
avec uv inversible. Donc
ab R a′ b′ .
On peut donc poser
⌢
˙
ab = ȧ · ḃ .
Toutes les propriétés de la multiplcation dans A passent alors aux classes d’équivalences. L’élément
neutre est alors
ė = I .
• Cherchons les éléments inversibles de A+ . Si ȧ est inversible, il existe ḃ tel que
ȧ · ḃ = ė ,
soit
⌢
˙
ab = ė .
cela signifie que ab est inversible dans A. Il existe c tel que
(ab)c = e
soit
a(bc) = e .
Donc a est inversible, et
ȧ = I .
Le seul élément inversible de A+ est donc I.
Définition 1 Un anneau euclidien est un anneaux commutatif intègre unitaire A, muni d’une
application d de A∗ dans N telle que
i) pour tout couple (a, b) d’éléments de A∗
d(ab) ≥ max(d(a), d(b))
ii) pour tout couple (a, b) d’éléments de A tels que b soit non nul, il existe un couple (q, r) d’éléments
de A tels que
a = bq + r
avec r = 0, ou r 6= 0 et d(r) < d(b).
Les éléments q et r sont appelés quotient et reste de la division euclidienne de a par b.
Proposition 2 On peut remplacer dans la définition précédente i) par
i’) pour tout couple (a, b) d’éléments de A∗ , si b divise a, alors d(b) est inférieur ou égal à d(a).
N 3
Si l’on a i) et si b divise a, alors il existe c dans A tel que
a = bc
et donc
d(b) ≤ max(d(b), d(c)) ≤ d(a) .
Réciproquement, si l’on a i’), comme a et b divise ab, on a
d(a) ≤ d(ab)
et d(b) ≤ d(ab)
et donc
max(d(a), d(b)) ≤ d(ab) .
Proposition 3 On a
min d(x) = d(e) .
x∈A∗
Puisque e divise tout élément de A, on a, pour tout a dans A
d(e) ≤ d(a)
et donc
min d(x) = d(e) .
x∈A∗
Proposition 4 Un élément u de A est inversible si et seulement si
d(u) = d(e) .
Soit u tel que
d(u) = d(e) .
Il existe q et r tels que
e = uq + r
avec r = 0, ou r 6= 0 et d(r) < d(u).
Si l’on supposait r non nul, alors
d(r) < d(e) .
Mais puisque d(e) est minimal, ceci n’est pas possible. Donc
e = uq
N 4
et u est inversible.
Réciproquement, si u est inversible, soit q sont inverse. On a donc
e = uq
et il résulte de i’) que
d(u) ≤ d(e) ,
et puisque d(e) est minimal, on a
d(u) = d(e) .
L’application d est donc constante sur I.
Proposition 5 Soit a un élément non nul de A. Si l’on a
a = bc
alors c est inversible si et seulement si
d(a) = d(b) .
Si c est inversible, on a d’une part
a = bc
donc
d(a) ≥ d(b) ,
et d’autre part
b = c−1 a
et donc
d(b) ≤ d(a) .
On a bien
d(a) = d(b) .
Réciproquement, si
d(a) = d(b) ,
il existe u et v tels que
b = ua + v
avec v = 0, ou v 6= 0 et d(v) < d(a) = d(b).
Si l’on suppose v non nul
b = ua + v = ubc + v
donc
v = b(e − uc) ,
N 5
et b divise v. On a alors
d(b) ≤ d(v)
d’où une contradiction. C’est donc que v est nul. Alors
b(e − uc) = 0 ,
et comme l’anneau est intègre et b non nul, on en déduit que
e = uc ,
donc que c est inversible.
Proposition 6 Tout idéal I de A non réduit à {0} est monogène.
Soit I un tel idéal. Comme d est à valeurs entières positives, elle atteint son minimum sur I \ {0} en
un élément u. Soit alors a non nul dans I . On a
d(u) ≤ d(a) .
Il existe a et r tels que
a = uq + r
avec r = 0, ou r 6= 0 et d(r) < d(u). Supposons r non nul. Alors
r = a − uq
est un élément non nul de I et donc
d(r) ≥ d(u) .
On a donc une contradiction, et l’on a
a = uq .
Donc I est engendré par u.
Remarque : dans un anneau intègre A, si δ et δ′ engendrent le même idéal, alors, il existe u inversible
tel que
δ = uδ′ .
En effet, on a à la fois
δ = uδ′
et
δ ′ = u′ δ
donc
δ = uu′ δ ,
et, puisque A est intègre, on en déduit
e = uu′ ,
ce qui montre que u est inversible.
N 6
Proposition 7 Soit B une partie non vide de A∗ . On suppose que pour tout couple (a, b) de B 2 ,
le couple (q, r) de la division euclidienne est aussi dans B 2 . Si d vérifie la propriété
iii) pour tout couple (a, b) d’éléments distincts de B, on a
d(a − b) ≤ max(d(a), d(b)) ,
alors le couple (q, r) de la division euclidienne est unique.
Soit
a = bq + r = bq ′ + r ′
deux décompositions de a dans la division euclidienne de a par b. Si r est nul,
r ′ = b(q − q ′ ) ,
donc, si r ′ est non nul
d(r ′ ) ≥ d(b)
ce qui est en contradiction avec la définition de la division euclidienne. Donc r ′ est nul également et
l’on a
bq = bq ′
ce qui, puisque A est intègre, implique l’égalité de q et q ′ . Il y a donc unicité dans ce cas. (On remarquera que cela est vrai sans l’hypothèse iii)).
Supposons maintenant que ni r, ni r ′ ne sont nuls, et supposons les distincts. Alors
r − r ′ = b(q ′ − q) ,
d’où
d(b) ≤ d(r − r ′ ) .
Mais d’autre part
d(r − r ′ ) ≤ max(d(r), d(r ′ )) < d(b) ,
d’où une contradiction. On en déduit que r = r ′ , puis que q = q ′ .
Exemple : si A = Z et d(n) = |n|, on montre que A est un anneau euclidien. On n’a pas unicité des
couples (p, q) sur Z. Par exemple, en divisant 3 par 2, on a
3 = 2 × 1 + 1 = 2 × 2 − 1.
Par contre sur N, on a
|r − r ′ | ≤ max(r, r ′ )
et il y a unicité.
N 7
Définition 2 On dit que deux éléments de A sont premiers entre eux ou étrangers, si les
seuls éléments de A qui les divisent l’un et l’autre sont les éléments inversibles de l’anneau.
Proposition 8 Théorème de Bézout.
Deux éléments a et b de A sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux éléments x et y
de A tels que
ax + by = e .
Soit a et b premiers entre eux. L’idéal qu’ils engendrent est formé des éléments de la forme xa + yb où
x et y décrivent A. Comme les idéaux de A sont monogènes, cet idéal est engendré par un élément δ.
Alors a et b sont divisibles par δ, donc δ est inversible. Alors e = δδ−1 est aussi dans l’idéal, et l’idéal
est A tout entier. Il en résulte qu’il existe x et y dans A tels que
ax + by = e .
Réciproquement, soit a et b liés par une relation de la forme
ax + by = e .
Si δ est un diviseur commun à a et à b, on a
a = δa′
et b = δb′
donc
δ(a′ x + b′ y) = e ,
ce qui prouve que δ est inversible, et donc que a et b sont premiers entre eux.
Proposition 9 Soit a et b deux éléments de A∗ . Il existe δ dans A∗ tel que
1) δ divise a et b.
2) Si δ′ divise a et b, alors
d(δ′ ) ≤ d(δ) .
Si δ′ divise a et b, on a à la fois
d(δ′ ) ≤ d(a) et d(δ′ ) ≤ d(b) .
Donc d est bornée sur l’ensemble des diviseurs communs de a et b, et il existe un élément δ tel que
d(δ) soit maximum.
Définition 3
a et b.
Un élément tel que celui défini par la proposition précédente est appelé PGCD de
N 8
Proposition 10 Soit a et b deux éléments de A∗ et δ un diviseur de a et b. On la les propriétés
équivalentes suivantes
i) δ est un PGCD de a et b.
ii) il existe a1 et b1 premiers entre eux tels que
a = δa1
et b = δb1
iii) il existe x et y premiers entre eux tels que
ax + by = δ
iv) il existe x et y tels que
ax + by = δ
v) tout diviseur commun de a et b divise δ.
i) → ii) Si l’on a
a = δa1
et b = δb1
Soit δ′ un diviseur de a1 et b1 . Alors δδ′ est un diviseur de a et b, et puisque δ est un PGCD de a et b,
d(δδ′ ) ≤ d(δ) .
Mais comme l’inégalité inverse a toujours lieu, on a égalité et cela implique que δ′ est inversible. Les
seuls diviseurs de a1 et b1 sont les éléments inversibles, ce qui prouve que a1 et b1 sont premiers entre
eux.
ii) → iii) Si a1 et b1 sont premiers entre eux, il existe x et y tels que
a1 x + b1 y = e
et x et y sont aussi premiers entre eux. En multipliant par δ, on trouve
ax + by = δ
avec x et y premiers entre eux.
iii) → iv) est évident.
iv) → v) Si δ′ divise a et b, il divise ax + by donc δ.
v) → i) Si δ′ divise a et b, il divise δ et donc d(δ′ ) est inférieur ou égal à d(δ), ce qui prouve que δ
est un PGCD de a et b.
N 9
Proposition 11 Soit δ un PGCD de deux éléments a et b de A∗ . L’ensemble des PGCD de a et b
est constitué des éléments de la forme uδ, où u parcourt I.
D’après les propriétés équivalentes i) et v) de la proposition précédente, si δ et δ′ sont deux PGCD de
a et b, ils se divisent mutuellement. Ils engendrent donc le même idéal, et donc, il existe u inversible
tel que
δ′ = uδ .
Réciproquement, si u est inversible et si δ est un PGCD de a et b, il est clair que uδ divise a et b et
l’on a
d(uδ) = d(δ)
donc uδ est aussi un PGCD de a et b.
Proposition 12 Si a divise bc, et si a est premier avec b, alors a divise c.
Il existe k tel que
ak = bc ,
et il existe x et y tels que
ax + by = e .
On a alors
aky = bcy = c(e − ax) ,
d’où
a(ky + cx) = c .
On en déduit bien que a divise c.
Proposition 13 Si a et b sont premiers entre eux et si a et b divisent c, alors ab divise c.
Si l’on a
c = aa′ = bb′ ,
il en résulte que b divise aa′ , mais comme b est premier avec a, il divise a′ , par suite ab divise aa′ donc c.
Proposition 14 L’algorithme d’Euclide est valable dans un anneau euclidien. Il permet de
déterminer un PGCD δ de deux éléments a et b, ainsi que les éléments x et y tels que
ax + by = δ .
N 10
Soit R0 et R1 deux éléments de A∗ . On construit par récurrence une suite (Rn ) de la façon suivante :
si Rn−2 et Rn−1 sont construits et non nuls, on appelle Rn un élément tel que
Rn−2 = Qn−1 Rn−1 + Rn ,
avec Rn = 0, ou Rn 6= 0 et d(Rn ) < d(Rn−1 ).
La suite (d(Rn )) est une suite strictement décroissante d’entiers positifs et ne peut comporter qu’un
nombre fini de termes distincts. Soit Rp+1 le premier élément nul de la suite (Rn ). Montrons par une
récurrence décroissante que, pour tout n compris entre 0 et p, l’élément Rp divise Rn .
On a
Rp−1 = Qp Rp
et donc Rp divise Rp−1 .
Supposons que pour tout n tel que m ≤ n ≤ p, l’élément Rp divise Rn . On a
Rm−1 = Qm Rm + Rm+1 .
Comme Rp divise Rm et Rm+1 il divise aussi Rm−1 . Par suite Rp divise R0 et R1 , donc leur P GCD δ.
Montrons alors par récurrence que δ divise Rn , pour tout n compris entre 0 et p. C’est vrai pour les
ordres 0 et 1. Supposons que cela soit vrai jusqu’à l’ordre m. On a
Rm+1 = −Qm Rm + Rm−1
et comme δ divise Rm et Rm−1 , il divise Rm+1 . En particulier il divise Rp .
Par suite Rp est un PGCD de R0 et R1 .
Le dernier reste Rp non nul est un PGCD de R0 et R1 .
Soit la suite (Sp−n )0≤n≤p définie par
S0 = e ,
S1 = Qp−1
et la relation de récurrence, pour 0 ≤ n ≤ p − 2,
Sp−n = Sp−n−2 + Qn Sp−n−1 .
Montrons par une récurrence décroissante que
Sp−n−2 Rn = Sp−n−1 Rn+1 + (−e)p−n Rp .
N 11
Pour n = p − 2, on obtient
S0 Rp−2 = S1 Rp−1 + Rp ,
ce qui, compte tenu des valeurs de S0 et de S1 , est vrai d’après ce qui précède.
Supposons la relation vraie jusqu’à l’ordre m. On a
Rm−1 = Qm Rm + Rm+1
et, en multipliant par Sp−m−1 , on tire, grâce à l’hypothèse de récurrence,
Sp−m−1 Rm−1 = Qm Rm Sp−m−1 + (Sp−m−2 Rm − (−e)p−m Rp ) ,
d’où
Sp−m−1 Rm−1 = Rm (Qm Sp−m−1 + Sp−m−2 ) + (−e)p−m+1 Rp ,
et finalement
Sp−m−1 Rm−1 = Rm Sp−m + (−e)p−m+1 Rp ,
ce qui donne la formule à l’ordre m − 1.
En particulier, pour n = 0,
Sp−2 R0 = Sp−1 R1 + (−e)p Rp ,
et donc, si l’on pose
x = (−e)p Sp−2
et y = (−e)p+1 Sp−1 ,
on obtient
xR0 + yR1 = δ .
Proposition 15 Les éléments a et b de A∗ sont premiers entre eux si et seulement si e est un
PGCD de ces éléments.
Les seuls éléments divisant a et b sont les éléments inversibles.
Proposition 16
euclidien.
Tout anneau euclidien fini est un corps. Tout corps commutatif est un anneau
Si A est un anneau euclidien fini (ou si d ne prend qu’un nombre fini de valeurs sur A∗ ), soit a un
élément de A∗ . Aucune puissance de A n’est nulle, et la suite (d(an )) est une suite croissante d’entiers.
Comme cette suite ne contient qu’un nombre fini d’éléments distincts, elle est constante à partir d’un
certain rang. Il existe n tel que
d(an ) = d(an+1 ) .
Mais cette égalité implique que a est inversible. Donc A est un corps.
N 12
Si A est un corps commutatif, on a I = A∗ . Si c’est de plus un anneau euclidien, alors, d est constante
sur I donc sur A∗ . Inversement, sur un corps commutatif, n’importe quelle application constante d
définit une structure d’anneau euclidien, puisque de toute façon, on aura
a = bq + r
avec r = 0 et q = ab−1 .
Proposition 17 Si A est un anneau euclidien, on a alors
a R b si et seulement si d(a) = d(b) ,
et on peut définir sur A+ une application d˙ en posant
˙ ȧ) = d(a) .
d(
Si a et b sont dans la même classe, on a
a = bu
avec u inversible, donc
d(a) = d(b) .
˙ Réciproquement, on a vu que l’égalité
Donc d est constante sur les classes. Cela permet de définir d.
d(a) = d(b)
équivaut à
a = bu
avec u inversible.
Définition 4 Un élément a non inversible de A∗ est premier si les seuls diviseurs de a sont les
éléments de I ∩ aI.
Proposition 18 Si a est premier, tout élément de aI est premier
Evident.
Proposition 19
eux.
Si a et b sont premiers, ou bien d(a) = d(b), ou bien a et b sont premiers entre
N 13
Si δ est un PGCD de a et b, ou bien δ est dans I et a et b sont premiers entre eux, ou bien δ est dans
aI, alors il n’est pas inversible et se trouve aussi dans bI, d’où
d(a) = d(δ) = d(b) .
Proposition 20 Tout élément de A∗ non inversible possède un diviseur premier.
Soit p la borne inférieure des nombres d(b) lorsque b parcourt l’ensemble des diviseurs non inversibles
de a. Comme l’ensemble des valeurs prises par d est discret, il existe c tel que
d(c) = p .
et c est un diviseur non inversible de a.
Si f est un diviseur non inversible de c, on a nécessairement
d(f ) ≤ d(c) .
Mais d’autre part f est un diviseur non inversible de a donc
p = d(c) ≤ d(f ) .
Il en résulte que
d(c) = d(f ) ,
ce qui prouve que f est dans cI. Donc c est premier.
Définition 5 On dit que ȧ est premier dans A+ si a est premier dans A.
Proposition 21 Décomposition en facteurs premiers.
1) Tout élément ȧ de A+ s’écrit de manière unique sous la forme
Y nj
ȧ =
ȧj ,
j∈J
où J désigne l’ensemble des éléments premiers de A+ et les nj sont des entiers positifs tous nuls
sauf un nombre fini d’entre eux.
2) Si A = {aj | j ∈ J} est un système de représentants des classes de nombres premiers, alors, tout
élément de A∗ s’écrit de manière unique sous la forme
Y n
a=u
aj j ,
j∈J
où u est dans I et les nj sont des entiers positifs tous nuls sauf un nombre fini d’entre eux.
N 14
Le premier résultat se déduit du second par passage aux classes.
• Le nombre de diviseurs premiers de ȧ est fini.
Supposons le contraire. Soit an une famille dénombrable extraite de la famille des représentants des
nombres premiers dont tous les éléments divisent a. Posons
bn+1 = an bn = a1 a2 · · · an .
D’après la proposition 13 tous les bn divisent a. Mais la suite (d(bn )) est une suite d’entiers croissante
majorée par d(a). Elle est donc stationnaire. Si l’on a
d(bn ) = d(bn+1 )
on en déduit que an est inversible ce qui donne une contradiction, puisqu’un nombre premier n’est pas
inversible.
• Si b est un nombre premier divisant a, il existe un entier m tel que bm divise a sans que bm+1 ne le fasse.
La suite (d(bm )) est une suite croissante. Si, pour tout entier m, le nombre bm divise a, cette suite est
une suite d’entiers croissante majorée par d(a). Elle est donc stationnaire. Si l’on a
d(bm ) = d(bm+1 )
alors b est inversible et n’est pas premier, ce qui n’est pas possible. Il existe donc un entier m′ tel que
′
bm ne divise pas a. Appelons m + 1 le plus petit de ces entiers. Alors bm divise a sans que bm+1 ne le
fasse.
• L’élément a étant donné, appelons ȧ1 , . . . , ȧm les diviseurs premiers de ȧ, et, pour tout i, soit ni
l’entier trouvé dans le paragraphe précédent. Posons alors
b=
m
Y
ani i .
i=1
On montre facilement par récurrence que b divise a. Soit alors u tel que
a = bu .
Si u n’était pas inversible, il existerait un diviseur premier c de u. Ce diviseur diviserait aussi a, donc
n +1
figurerait dans la liste {a1 , · · · , am }. Mais, si c = aj, alors aj j diviserait a ce qui n’est pas possible.
Donc u est inversible. On obtiendra bien la décomposition cherchée.
Il est facile de voir par ailleurs que cette décomposition est la seule possible.
N 15
Proposition 22 Si A = {aj | i ∈ J} est un système de nombres premiers, et si l’on a
Y nj
a=u
aj ,
j∈J
avec u inversible, alors les diviseurs de a sont les éléments de la forme
Y m
d=v
aj j ,
j∈J
où v est inversible et, pour tout j de J
0 ≤ mj ≤ n j .
Evident.
Proposition 23 Le nombre de diviseurs d’un élément de A+ est fini.
En effet, si
ȧ =
m
Y
ȧni i ,
i=1
les diviseurs de ȧ s’obtiennent en choisissant pour chaque ȧi une puissance comprise entre 0 et ni . le
nombre de diviseurs est donc
m
Y
(ni + 1) .
i=1
Proposition 24 On suppose choisi un système de représentants A = {aj | j = J} de nombres
premiers. Pour tout élément de A non nul, soit Φ(a) l’élément de I intervenant dans la décomposition
de a en facteurs premiers.
L’application Φ est une application multiplicative et surjective de A sur I.
L’application Φ est surjective, car sa restriction à I est l’identité de I. On a donc en particulier
Φ ◦Φ = Φ.
Si a et b sont dans A, on a
a = Φ(a)
Y
ani i
et b = Φ(b)
j∈J
et donc
ab = Φ(a)Φ(b)
Y
j∈J
Y
j∈J
ani i +mi .
i
am
i ,
N 16
On en déduit que
Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) .
Proposition 25 L’ensemble Φ−1 (e) est isomorphe à A+ .
Soit a dans Φ−1 (e). Posons
Ψ(a) = ȧ .
• L’ensemble Φ−1 (e) est stable par multiplication. En effet, si
Φ(a) = Φ(b) = e
on a
Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) = e .
Alors Ψ est une application multiplicative de Φ−1 (e) dans A+ .
• Si l’on a
Ψ(a) = Ψ(b) ,
alors
a = ub
avec u inversible, mais, comme Φ est multiplicative,
Φ(a) = Φ(u)Φ(b) .
On en déduit que
Φ(u) = e .
Mais u étant inversible, on a
Φ(u) = u .
Donc
u = e,
et, par suite,
a = b,
ce qui montre que Ψ est injective.
• Soit ȧ dans A+ . Posons
b = Φ(a)−1 a .
Comme Φ(a)−1 est dans I, on a
ȧ = ḃ .
On a aussi
Φ(b) = Φ(Φ(a)−1 )Φ(a) = Φ(a)−1 Φ(a) = e .
N 17
Ceci montre que b est dans Φ−1 (e). Alors
Ψ(b) = ȧ
et Ψ est surjective.
Définition 6 On dit qu’un élément de A est positif relativement au système A , si Φ(a) = e.
L’ensemble des éléments positifs est donc isomorphe à A+ .
Cette notion de positivité dépend du système de représentants choisis. On le suppose fixé dans ce qui
suit.
Proposition 26 Si l’on a
a=u
Y
n
aj j
et b = v
j∈J
Y
mj
aj
j∈J
alors le PGCD positif de a et b est
δ=
Y
min(nj ,mj )
aj
.
j∈J
On le notera PGCD(a, b).
Ce nombre δ divise a et b. D’autre part si api divise à la fois a et b, on a nécessairement
p ≤ ni
et
p ≤ mi
donc
p ≤ min(ni , nj ) .
Il en résulte que tout diviseur de a et b divise δ. C’est donc bien un PGCD de a et b.
Proposition 27 Soit a et b premiers entre eux. Si d est un diviseur positif de ab, alors,
d = PGCD(a, d) PGCD(b, d) .
Cela résulte immédiatement de la proposition précédente. En écrivant
a=u
p
Y
i=1
ani i
et b = v
q
Y
mj
bj
j=1
où on n’a fait apparaître que les nombres premiers figurant avec une puissance non nulle, avec
{a1 , . . . , ap } ∩ {b1 , . . . , bq } = ∅ .
N 18
On a également
d=
p
Y
aui i
q
Y
v
bj j
j=1
i=1
avec
ui ≤ ni
donc
PGCD(d, a) =
p
Y
et vj ≤ mj ,
aui i
et
PGCD(d, b) =
q
Y
v
bj j
j=1
i=1
ce qui donne bien
d = PGCD(a, d) PGCD(b, d) .
Proposition 28 Pour tout a non nul de A, soit S(a) la somme des diviseurs positifs de a. Alors
a) Pour tout nombre premier positif a
S(an ) = e + a + · · · + an .
b) Si x et y sont premiers entre eux
S(xy) = S(x)S(y) .
c) Si a admet comme décomposition en facteurs premiers
a=
m
Y
ani i ,
i=1
alors
S(a) =
m
Y
(e + ai + · · · + ani i ) .
i=1
Remarquons que le nombre de diviseurs positifs de a est fini car c’est le nombre de diviseurs de ȧ.
a) La démonstration est immédiate par récurrence en remarquant que
S(e) = e et S(an+1 ) = S(an ) + an+1 .
b) Soit x et y premiers entre eux. Le seul diviseur positif commun de x et y vaut e. Si d divise xy
d’après la proposition précédente il peut s’écrire sous la forme d = d1 d2 avec d1 divisant x et d2 divisant
y et ceci de manière unique.
Réciproquement, tout diviseur d1 de x multiplié par un diviseur d2 de y donne un diviseur de xy. Il
en résulte que S(xy) est obtenu en faisant la somme de tous les termes de la forme xi yj , où xi et un
diviseur positif de x et yj un diviseur positif de y. Mais cette somme n’est autre que le produit S(x)S(y).
c) est une conséquence de a et b et de la décomposition en facteurs premiers.