Nombres — Calculs numériques 1 Les ensembles de nombres

Nombres — Calculs numériques
1
Les ensembles de nombres
1.1
Définitions
N est l’ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, . . .
On écrit N = {0; 1; 2; 3; . . .}.
Remarque. — Notation :
1
∈
|{z}
N.
appartient à
——————————————
Z est l’ensemble des entiers relatifs : 0, 1, 2, 3, . . . mais aussi −1, −2, −3, . . .
On écrit Z = {. . . ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . .}.
Remarque. — Notation :
N
⊂
|{z}
Z.
inclus dans
——————————————
(
D est l’ensemble des nombres décimaux, i. e. les nombres possédant un
développement décimal fini
(nombre fini de chiffres après la virgule)
.
Exemple. — 2, 2 ∈ D ; 0, 000 000 03 ∈ D, ou encore −3 ∈ D (0 chiffre après la virgule). Z ⊂ D .
√
1
∈
/
D, ni .
Mais 2
|{z}
3
n’appartient pas à
——————————————
Q est l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire les nombres pouvant s’écrire comme quotient de deux entiers.
11
−2
∈ Q;
= 2, 2 ∈ Q.
Exemple. —
3
5
D ⊂ Q : en effet, tout nombre décimal peut s’écrire comme une fraction avec une puissance de 10 au dénominateur.
3
11
22
11
Exemple. — 0, 000 000 03 = 8 ∈ Q, ou encore
= 2, 2 =
∈ Q (mais
est la fraction irréductible).
10
5
10
5
√
Question — π, 2, cos 17˚sont-ils dans N, Z, D, Q ? Non. Ces nombres ne sont pas rationnels. Ils sont dits irrationnels.
——————————————
√
√
1+ 5
R est l’ensemble des nombres réels. Ce sont tous les nombres connus : 2, π,
etc.
2
(
la droite réelle
R est représenté sous la forme d’une droite graduée :
.
l’axe des réels
Tout nombre réel correspond à un unique point sur cette droite. Et réciproquement tout point de la droite correspond à un unique nombre réel, qui est son ...abscisse... sur l’axe.
Note. — Toutes les opérations élémentaires marchent : on peut additionner, soustraire, multiplier, diviser les
nombres réels.
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
Définition Trouver la nature d’un nombre, c’est donner le plus petit ensemble (parmi N, Z, D, Q, R) auquel il appartient.
1.2
Développement décimal d’un nombre
Note. — Important : L’expression « nombre à virgule » désigne aussi bien les nombres décimaux que les rationnels
ou les réels. C’est donc une dénomination à éviter absolument, car trop imprécise.
Propriété
Les nombres décimaux sont les nombres possédant un développement décimal fini.
Les nombres rationnels non décimaux sont les nombres possédant un développpement décimal infini et périodique.
Les nombres irrationnels sont les nombres possédant un développement décimal infini et non périodique.
2
Calculs sur les puissances
2.1
Définition
a est un nombre réel non nul, n est un entier naturel.
an = a × a × . . . . . . × a
{z
}
|
et
a−n =
n facteurs
1
(a 6= 0)
an
Par convention, a0 = 1 pour tout nombre réel a 6= 0.
Exemples.
105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = . . .
10−5 =
1
= ...
105
5−3 =
(−5)3 = . . . . . . . . .
53 = 5 × 5 × 5 = . . .
1
= ...
...
2−4 = . . . = . . .
(−2)−4 = . . . . . . . . .
Remarques
1. 10n = 1 |00 . .{z
. . . . 0}
n zéros
10−n = 0, 00 . . . . . . 0 1
|
{z
}
n zéros
2. Lorsque a est négatif, a est positif si n est . . . . . . . . . , négatif si n est . . . . . . . . . (d’après la règle des signes).
2.2
n
Propriétés sur les puissances
Pour toutes ces formules, a et b désignent des nombres réels non nuls et m et n deux entiers relatifs.
am × an = . . . . . .
Exemples.
53 × 57 = . . . . . .
3−6 × 34 = . . . . . .
8−13 × 8−8 = . . . . . .
am
= ......
an
Exemples.
35
= ......
32
(−6)3
= ......
(−6)−7
4, 7−5
= ......
4, 73
5−3
= ......
5−6
5−1 × 57 × 5−10
= .........
5−6 × 52
(am )n = . . . . . .
10−1 × 105 × 10−7 = . . . . . . . . .
Exemples.
(33 )4 = . . . . . .
(10−2 )5 = . . . . . .
100006 = (. . .)6 = . . . . . .
(5−2 )−10 = . . . . . .
0, 00014 = . . . . . . . . .
an × bn = (a × b)n
1000−3 = . . . . . . . . .
et
a n
an
=
bn
b
Exemples.
24 × 54 = . . . . . .
3
57
2 × 3−1 × 74 × (32 )3
=
.
.
.
.
.
.
107
7−2 × 2−1 × 76
Racines carrées
Fiche A5 distribuée en module (cf. Déclic p 20).
4
Écriture scientifique et ordre de grandeur
Définition L’écriture scientifique d’un nombre décimal est de la forme b × 10n ou −b × 10n , avec n ∈ Z et b ∈ D tel
que 1 6 b < 10.
Exemple. — 1327, 51 a pour écriture scientifique 1, 32751 × 103 .
Remarque. — L’écriture scientifique d’un nombre n’est pas une valeur approchée.
Définition L’ordre de grandeur d’un nombre est la valeur approchée de la forme c × 10n ou −c × 10n , avec n ∈ Z et
c ∈ N tel que 1 6 c < 10.
Propriété Pour obtenir l’ordre de grandeur d’un nombre dont l’écriture scientifique est b × 10n , on arrondit b à l’unité
dans cette écriture.
Récapitulatif des compétences
Simplification d’écriture
Conventions de priorité : addition, multiplication, puissances
Opérations sur les fractions
Calcul sur les puissances
Reconnaître la nature d’un nombre
√
Mettre une expression sous la forme a b
Puissances de dix
Calculer à l’aide de l’écriture scientifique
Déterminer et utiliser un ordre de grandeur
Valeurs approchées
Distinguer un nombre d’une de ses valeurs approchées
Interpréter un résultat donné par une calculatrice
Expressions algébriques
Reconnaître la forme d’une expression algébrique (somme, produit, carré, différence de deux carrés...)
Développer une expression algébrique
Factoriser une expression algébrique
Modules
Opérations sur les fractions
Développement décimal d’un nombre
Valeur exacte, valeurs approchées
Révisions de 3e : Factorisation et développement, égalités remarquables
Forme d’une expression algébrique — Factorisation