PROPORTIONNALITE ET POURCENTAGE I) Reconnaître une situation de propotionnalité 1) cas de non proportionnalité A l’âge de 58 ans, le chinois Bao Xishun mesure 2,36 mètres et à 29 ans il mesurait déjà plus de 2 mètres ! Sa taille à 58 ans n’est pas deux fois plus grande qu’à l’âge de 29 ans. On dit que sa taille n’est pas proportionnelle à son âge. 2) cas de proportionnalité Au marché, les bananes sont vendues à 1,60 euros le kilogramme. Pour 1 kg, on paie 1.60 euros. Pour 5 kg, on paie 5 fois plus que pour 1 kg soit 8 euros 5 1, 60 8 . Pour 0,5 kg, on paie 2 fois moins que pour 1 kg soit 0,80 euros ou encore 10 fois moins que pour 5 kg. Masse (kg) Prix (euros) 1 1,60 5 8 0,5 0,80 On dit que le prix d’achat est proportionnel à la masse achetée et que 1,6 est le coefficient de proportionnalité entre la masse et le prix. II) Différents raisonnements Traitons un problème de proportionnalité de différentes façons… 10 kg de peinture permettent de recouvrir 18 m² de façade. Comment calculer l’aire que permet de recouvrir un pot de 25 kg. 1) Passage à l’unité Voir activité 3 p 108 : vitesse Avec 1 kg, on recouvre 10 fois moins de surface qu’avec 10 kg, donc on recouvre 1,8 m². Avec 25 kg, on recouvre 25 fois moins de surface qu’avec 1 kg, donc on recouvre 25 1,8m² 45m² . 2) Linéarité Voir activités 5 et 4 p 108 : addition de quantités et multiplication de quantités. 25 kg c’est 2.5 fois plus que 10 kg. 18m² 2,5 45m² donc avec 25 kg, on recouvre 45 m². Et avec 11 kg ? Avec 10 kg, on recouvre 18 m². Avec 1 kg, on recouvre 1,8 m². Donc avec 11 kg, on recouvre 19,8m². 3) Utilisation d’un coefficient de proportionnalité Masse Aire 10 18 25 45 18 c’est 1,8 fois plus que 10 25 1,8m² 45m² donc avec 25 kg, on recouvre 45m². On passe d’une ligne à l’autre en multipliant par 1,8. III) Pourcentage Voir activités 10 et 11 p 109 1) Exemple Dire qu’un certain yaourt aux fruits contient 15% de fruits, signifie que la masse de fruits est proportionnelle à la masse de yaourt et que pour 100 g de yaourt, il y a 15 g de fruits. Masse de yaourts (en g) Masse de fruits (en g) 100 15 200 30 50 7,5 500 75 1000 150 2) Application Calculer la masse de fruits dans un yaourt de 120 g 15 120 18 100 Ainsi ce yaourt de 120 g contient 18 g de fruits. Prendre 15% de 120, c’est calculer PROPORTIONNALITE I) Tableau de proportionnalité 1) Grandeurs proportionnelles Voir activité 1 p 114 : grandeurs proportionnelles Dire que deux grandeurs sont proportionnelles revient à dire que les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant (ou en divisant) les valeurs de l’autre par un même nombre non nul, appelé le coefficient de proportionnalité. Exemple : EXCEL Nombre de SMS Prix payé en euros 1 0,15 2 0,30 3 0,45 5 0,75 8 1,20 10 1,50 Le prix payé est proportionnel au nombre de SMS envoyés. Le coefficient de proportionnalité qui permet d’obtenir le prix payé à partir du nombre de SMS envoyés en égal à 0,15. Remarque : On peut retrouver le prix de 8 SMS par : - le coefficient de proportionnalité 8 0,15 1, 20 53 8 - par linéarité 0, 75 0, 45 1, 20 2) Quatrième proportionnelle Nombre de SMS 8 16 Prix payé en euros 1,20 P Le nombre P tel que ce tableau soit un tableau de proportionnalité est appelé quatrième proportionnelle Remarque : On peut retrouver le prix de 16 SMS par : 1, 20 : 8 0,15 - passage à l’unité 0,15 16 2, 40 3) Représentation graphique EXCEL Voir activité 2 p 114 : représentation graphique Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les points de la représentation graphique des valeurs d’une grandeur en fonction des valeurs de l’autre grandeur sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère. 4) Echelle Voir activité 4 p 116 : échelle Lorsqu’un plan est fait à une certaine échelle, cela signifie que les longueurs réelles L et les longueurs mesurées sur le plan l exprimées dans la même unité sont proportionnelles. distance sur le plan e l L distance réelle Exemple : 1 . Cela signifie que 1 cm sur la carte représente 600000 600 000 cm dans la réalité. Ainsi 3,5 cm mesuré sur la carte correspondent en réalité à 2 100 000 cm soit 21 km. L’échelle d’une carte de géographie est au 3,5 600000 2100000 5) Mouvement uniforme Voir activité 3 page 115 : mouvement uniforme On dit que le mouvement d’un objet est uniforme, lorsque les distances parcourues et les durées correspondantes sont proportionnelles. C’est le cas lorsque la vitesse de cet objet est constante. Exemple : Une voiture roule sur autoroute à 130 km/h, c'est-à-dire qu’elle parcourt 130 km en 1 heure. Durée du trajet (en h) Distance parcourue (en km) 1 130 2 P Remarque : Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est la vitesse de l’objet. II) Pourcentage 1) Utiliser un pourcentage Voir activité 5 p 116 : pourcentage Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité Pour prendre « t % » d’un nombre, on le multiplie par Error!. Exemple : 35% des élèves d’un collège de 560 élèves sont demi-pensionnaires. C’est à dire : 560 Error! = 196 élèves. 2) Calculer un pourcentage Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle à 100 Exemple : 9 élèves d’une classe de 25 sont demi-pensionnaires : Nombre d’élèves de la classe Nombre d’élèves demi pensionnaire 25 9 100 9 4 36 Donc il y a 36% de demi-pensionnaires dans cette classe. II) Pourcentage 1) Utiliser un pourcentage Voir activité 5 p 116 : pourcentage Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité Pour prendre « t % » d’un nombre, on le multiplie par Error!. Exemple : 35% des élèves d’un collège de 560 élèves sont demi-pensionnaires. C’est à dire : 560 Error! = 196 élèves. 2) Calculer un pourcentage Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle à 100 Exemple : 9 élèves d’une classe de 25 sont demi-pensionnaires : Nombre d’élèves de la classe Nombre d’élèves demi pensionnaire 25 9 9 4 36 Donc il y a 36% de demi-pensionnaires dans cette classe. 100