Chapitre 10 : Proportionnalité-Vitesse-Pourcentage. I

Chapitre 10 :
Proportionnalité-Vitesse-Pourcentage.
I- Proportionnalité.
1) Rappels de 5ème.
Un tableau est un tableau de proportionnalité si on passe d’une ligne à l’autre en multipliant par un même
nombre.
Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Application :
Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
Poids des pêches (en kg)
1
3
5
Prix (en €)
2,50
7,50
12,50
= 2,5
= 2,5
et
= 2,5
On constate que :
Réponse : Ce tableau est un tableau de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la 1ère à la 2ème ligne est 2,5 et le coefficient
de proportionnalité qui permet de passer de la 2ème à la 1ère ligne est 0,4. (2,5 et 0,4 sont des inverses).
2) Calcul d’une quatrième proportionnelle.
Activité :
Partie A : Mise en évidence du produit en croix.
On considère le tableau:
Nombre de fleurs
Prix (en €)
Questions :
Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ?
3
5
8
4,2
7
11,2
= 1,4
= 1,4 et
= 1,5
Les trois quotients sont égaux. Donc, Le prix à payer est proportionnel au nombre de fleurs.
Quel est le prix d’une fleur ? Une fleur coûte 1,40 euros.
On choisit deux colonnes du tableau :
Calculer : 3×7 = 21
et 4,2×5 = 21
3
5
4,2
7
Que remarquez-vous ? On remarque que les produits en croix sont égaux.
Partie B : Généralisation du produit en croix.
On considère le tableau de proportionnalité ci-contre :
a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; c ≠ 0 et d ≠0.
Ce tableau étant un tableau de proportionnalité, on peut écrire :
a
c
b
d
On multiplie les deux membres par b :
On multiplie les deux membres par d :
donc a
a×d
donc a×d
Conclusion :
a
c
b
d
Si le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité alors :
Pour calculer une quatrième proportionnelle, on peut utiliser la propriété d’égalité des produits en croix.
Exemple 1 : 2,5 kg de pommes coûtent 3€. Combien coûtent 3,6 kg ?
prix :
3
x
poids :
2,5
3,6
L’égalité des produits en croix donne : 2,5×x = 3×3,6
= 4,32 €
donc x =
3,6 kg de pommes coûtent 4,32 €.
Remarque : Il n’est pas utile de calculer le coefficient de proportionnalité.
Exemple 2 : Résoudre les équations :
a)
x=
x=
La solution de l’équation est
.
b)
x=
La solution de l’équation est
x=
.
x = -22 La solution de l’équation est -22.
c)
-6(4x – 3) = 2(5 – 3x)
d)
-18x = - 8
-24x + 18 = 10 – 6x
x=
-24x + 6x = 10 – 18
La solution de l’équation est .
x=
3) Représentations graphiques.
Activité 1 : Partie A.
Ce tableau donne la consommation d’essence d’un automobiliste effectuant un trajet.
Distance parcourue (km) 150 300 600 900
Quantité d’essence
consommée (L)
1) Ce tableau décrit-il une situation
de proportionnalité ?
=15
=15
=15 et
=15
10
20
40
60
Distance (km)
900
800
Ces quotients sont égaux donc la
700
distance parcourue et la quantité
600
d’essence consommée sont
proportionnelles.
2) Construire dans ce repère le graphique
représentant la distance parcourue en km
en fonction de la quantité d’essence
consommée.
(La quantité d’essence en abscisse, la
distance en ordonnée).
500
400
300
200
100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Quantité (L)
Partie B :
Ce tableau donne le prix d’un forfait téléphonique en fonction de sa durée mensuelle :
15 21 33 45
Prix (en €)
Prix (€)
1
Durée (h)
2
4
6
42
1) Ce tableau décrit-il une situation
de proportionnalité ?
= 15 et
36
= 10,5
30
Ces quotients ne sont pas égaux
24
donc le prix et la durée ne sont
18
pas proportionnels.
2) Construire dans ce repère le graphique
représentant le prix (en €) en fonction de
la durée (en h).
(La durée en abscisse, le prix en ordonnée).
3) Décrire la représentation graphique
correspondant à la situation de proportionnalité.
12
6
0
1
2
3
4
5
6
Durée (h)
On peut conjecturer la propriété suivante :
Si on représente graphiquement une situation de proportionnalité, alors on obtient des points alignés
entre eux et avec l’origine du repère.
Tension (en V)
Activité 2 : Électricité.
Au cours d’une séance de TP, un groupe d’élèves mesure
la tension (en V) et l’intensité (en A) aux bornes
d’une résistance.
A la fin du TP, ils obtiennent le graphique ci-contre.
Les points A, B, C, D, E et F représentent les mesures
effectuées par les élèves.
On constate que les points sont alignés avec
l’origine du repère.
a) Compléter le tableau suivant en lisant les coordonnées
des points situés sur la droite :
A
B
C
D
E
F
13
11
10
8
Tension (en V)
5
4,5
7,5
9
12
b) Ce tableau décrit-il une situation de proportionnalité ?
= 30 ;
= 30 ;
= 30 ;
= 30 ;
= 30 ;
et
= 30
D
7
6
3
E
9
Intensité (en A) 0,05 0,1 0,15 0,25 0,30 0,40
1,5
F
12
C
4
B
3
2
A
Ces quotients sont égaux donc ce tableau est un tableau 1
de proportionnalité.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
La tension et l’intensité sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est la valeur de la
résistance R : R = 30 ohms
c) On peut conjecturer la propriété suivante :
Si les points d’un graphique sont alignés entre eux et avec l’origine d’un repère, alors ces points
représentent une situation de proportionnalité.
d) Les points G, H, I, J, K et L sont aussi des points de la droite. Retrouver dans chaque cas
la tension ou l’intensité manquante dans le tableau.
G
H
I
J
K
L
Intensité (en A)
0,5
0,6 0,75 1,1 1,52 1,76
Tension (en V)
15
18 22,5 33 45,6 52,8
II. Vitesse moyenne.
Dans un mouvement uniforme, la distance d est proportionnelle à la durée t du parcours.
Le coefficient de proportionnalité v est appelé vitesse moyenne.
Exemple : Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 120 km/h.
Traduction : A vitesse constante, il parcourt 120 km durant 1 heure.
Compléter alors le tableau :
Distance (en km)
240
600
60
30
180
2
270
Temps
2h
5h
½h
¼h
1h30 = 1,5h
1min
2h15 = 2,25h
Remarque : km/h se note également km.h-1
Vitesse moyenne (en km/h) =
ou
v =
En m
Conséquence :
En m/s
En s
=
donc :
d = v×t
et t =
Applications :
1) La vitesse du son est de 1 224 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s.
1 224 km = 1 224 000 m et 1 h = 3600 s (60×60 = 3600)
= 340
Donc 1 224 km.h-1 = 340 m.s-1
2) La vitesse du son dans l’acier est de 5 700 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s.
≈ 1583,3
Donc 5 700 km.h-1 représente environ 1 583,3 m.s-1
Tous ceux qui lisent Lucky Luke ont en tête l'image des Indiens collant leur oreille sur les rails pour vérifier si un train
approche : Le son va plus vite sur les rails que dans l’air…
3) La vitesse de la lumière dans le vide est de 300 000 km/s. Exprimer cette vitesse en km/h et en m/s.
300 000×3600 = 1 080 000 000
Donc 300 000 km/s représente 1,08×109 km.h-1.
300 000 km = 300 000 000 m
Donc 300 000 km/s représente 3×108 m.s-1.
Source Météo France : En comptant le nombre de secondes qui séparent la vision de l'éclair et le bruit du tonnerre et en
divisant ce nombre par 3, on aura la distance nous séparant de l'orage en kilomètres. (Par exemple, si 6 secondes
séparent l'éclair du tonnerre, alors on sait que l'orage est situé à 2 km de lieu où l'on est.)
4) La vitesse de la lumière dans l’eau est de 225 000 km/s. Exprimer cette vitesse en km/h et en m/s.
8
-1
225 000×3600 = 810 000 000
Donc 225 000 km/s représente 8,1×10 km.h .
225 000 km = 225 000 000 m
Donc 225 000 km/s représente 2,25×105 m.s-1.
5) Le Jamaïquain Usain Bolt a remporté le 100 m des championnats du monde, en établissant un nouveau record du
monde avec un temps de 9s58, le 16 août 2009 à Berlin. Calculer sa vitesse moyenne en m.s-1
v= =
≈ 10,4 m.s-1
Il a parcouru en moyenne 10,4 mètres par seconde !
III- Calcul d’un pourcentage.
Un collège compte 760 élèves dont 418 externes et 35% de demi-pensionnaires.
1ère question : Quel est le nombre de demi-pensionnaires ? 35 % =
760× = 266
Le collège compte 266 demi-pensionnaires.
nde
2 question : Quel est le pourcentage d’élèves externes ?
= 0,55 =
= 55%
Donc 55% des élèves sont externes.
Applications :
1) Un ordinateur portable vaut normalement 800 €. Il est vendu avec une réduction de 20%.
Quel est son prix après la réduction ?
800× = 160
et 800 – 160 = 640
Après le réduction l’ordinateur coûte 640 euros.
2)
Quel est le pourcentage de réduction sur le prix d’une imprimante qui vaut normalement 140 € et qui est
vendue 112 € ?
Etape 1 : On calcule le montant de la réduction : 140 – 112 = 28 euros.
Etape 2 : On calcule le pourcentage :
= 0,2 =
= 20% La réduction est de 20 %.
3)
Un téléviseur est vendu 192 € avec une réduction de 20 %.
Quel était le prix initial ?
Pour calculer le prix initial, il faut utiliser un tableau de proportionnalité :
Prix avant (en euros) :
x
100
Prix après (en euros) :
192
80
-20%
x=
= 240
Le prix initial était de 240 euros.
4) L’entreprise A emploie 2800 personnes dont 60 % de femmes. L’entreprise B emploie 2 200 personnes dont
70 % d’hommes. Calculer le pourcentage de femmes lorsque les deux entreprises sont réunies.
2800×
= 1 680
Dans l’entreprise A, il y a 1 680 femmes.
2200×
= 1 540
et
1680 + 660 = 2340
2800 + 2200 = 5000
2200 – 1540 = 660
Dans l’entreprise B, il y a 660 femmes.
= 0,468 = 46,8 %
Lorsque les deux entreprises sont réunies, les femmes représentent 46,8 % des
employés.