TD1 - Algèbre linéaire - Université de Limoges

Université de Limoges
Licence de Mathématiques
4e
Configurations géométriques
2014-15
semestre
S. Vinatier - F. Nacry
TD1 - Algèbre linéaire
Exercice 1
On considère un ensemble E dont les éléments sont appelés points et qui contient des sousensembles appelés droites. On note D l’ensemble des droites. On dit que trois points sont alignés
lorsqu’ils appartiennent à une même droite. On suppose (uniquement) satisfaites les trois propriétés suivantes :
(P1) pour tous points A, B distincts, il existe une unique droite d telle que {A, B} ⊂ d ;
(P2) toute droite contient au moins deux points distincts ;
(P3) il existe trois points distincts deux à deux, non alignés.
Montrer que :
a) Les ensembles E et D sont non vides.
b) L’intersection de deux droites distinctes est vide ou réduite à un point.
c) Pour toute droite d, il existe un point P tel que P ∈
/ d.
d) Pour tout point P , il existe une droite d telle que P ∈
/ d.
Exercice 2
Le R-espace vectoriel R2 est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~) et de sa structure euclidienne usuelle. Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites
vectorielles de R2 , D1 , D2 et D3 dirigées respectivement par :
~u = 2~ı + ~ ,
1
~v = −~ı − ~ ,
2
w
~ = −~ı + 2~ .
Lesquelles sont orthogonales ?
Exercice 3
Le R-espace vectoriel R3 est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~, ~k) et de sa structure
euclidienne usuelle. On note ∧ le produit vectoriel de deux vecteurs de R3 .
a) Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites vectorielles de R3 ,
D1 , D2 et D3 , dirigées respectivement par :
~u = 2~ı + ~ ,
1
~v = −~ı − ~ + 3~k ,
2
w
~ = −~ı + 2~ .
Lesquelles sont orthogonales ?
b) Donner une équation cartésienne de l’hyperplan vectoriel de R3 orthogonal au vecteur ~v et
une équation cartésienne de la droite vectorielle de R3 orthogonale aux vecteurs ~u et w.
~
c) Calculer ~u ∧ ~v , ~v ∧ w
~ et w
~ ∧ ~u. Forment-ils une base de R3 ?
d) Soit θ ∈ R. Calculer ~u ∧ ~v , ~v ∧ w
~ et w
~ ∧ ~u où ~u = ~ı, ~v = cos θ~ı + sin θ ~, w
~ = ~k. Si θ ∈
/ πZ,
3
montrer que cette famille est une base de R .
1
Exercice 4
Le R-espace vectoriel R3 est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~, ~k). On considère les vecteurs
~v = ~ − ~k, ~v 0 = 3~ı + ~k, w
~ = ~ı + 2~k et w
~ 0 = −2~ı + ~.
a) Justifier que ~v et ~v 0 engendrent un hyperplan vectoriel P de R3 et que w
~ et w
~ 0 engendrent
3
un hyperplan vectoriel Q de R .
b) Montrer que P ∩ Q est une droite vectorielle de R3 et en donner une équation paramétrique.
Exercice 5
Le R-espace vectoriel R3 est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~, ~k) et de sa structure
euclidienne usuelle. Soient a, b, c, a0 , b0 , c0 ∈ R. On considère les vecteurs ~v = a~ı + b~ + c~k et
~v 0 = a0~ı + b0~ + c0~k.
a) Justifier par un argument d’algèbre linéaire que le sous-espace vectoriel de R3 , P = VectR {~v , ~v 0 }
vérifie :






x y z




3
P = (x, y, z) ∈ R : det  a b c  = 0 .




a0 b0 c0
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que P soit un hyperplan vectoriel de R3
et en donner une équation cartésienne.
On suppose désormais que P est un hyperplan vectoriel de R3 .
b) Donner une description de P à l’aide du produit vectoriel ~v ∧ ~v 0 .
c) Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne de la droite vectorielle de R3
orthogonale à P.
2