Résolution d`une équation fonctionnelle

Devoir Libre no 3
MP 933 & 934
☞  octobre 
Résolution d’une équation fonctionnelle
Le but du problème est de résoudre, notamment, l’équation
Z π
x
f (x) − sin x
f (t) dt = sin
,
2
0
d’inconnue f , fonction continue de [ 0 ; π ] dans R. La résolution de cette équation passe essentiellement par des considérations d’algèbre linéaire en dimension quelconque.
Soit E un espace vectoriel réel (de dimension quelconque !) et a ∈ E un vecteur non nul. On considère une forme
linéaire ϕ ∈ L (E, R) non nulle.
Première partie
I.1. Déterminer Im ϕ. Soit S un sous-espace vectoriel de E supplémentaire de Ker ϕ dans E. Montrer que dim S = 1. (E est
de dimension quelconque a priori.)
I.2. On considère l’endomorphisme de E défini par
f : E −→ E,
x 7−→ ϕ(x) a.
Déterminer le noyau, l’image et le rang de f . Calculer f n = f ◦ · · · ◦ f en fonction de n ∈ N, ϕ et a.
déf. I.3. Soit λ ∈ R. On note F(λ) = x ∈ E ; f (x) = λx .
a) Montrer que F(λ) est un sous-espace vectoriel de E et que, si λ 6= λ′ , la somme F(λ) + F(λ′ ) est directe.
b) Quelles sont les valeurs de λ ∈ R telles que F(λ) 6= {0} ? Déterminer alors F(λ).
Indication : On procédera par analyse-synthèse et, dans l’analyse, on séparera les cas λ 6= 0 et λ = 0.
c) On suppose que E est de dimension finie. Montrer que
a∈
/ Ker ϕ ⇐⇒ E = F(0) ⊕ F ϕ(a) .
I.4. Soit g un endomorphisme de E. On suppose que g est de rang 1 et que E est de dimension finie.
a) Montrer qu’il y a équivalence entre les énoncés :
(a) E = Ker g ⊕ Im g ;
(b) il existe λ ∈ R∗ tel que g 2 = λg.
b) On suppose que g 2 = 0. Montrer qu’il existe une base (e1 , e2 , . . . , en ) de E telle que g(ek ) = 0 pour tout k ∈ [ 1 ; n − 1]]
et g(en ) = e1 .
Deuxième partie
On suppose, dans cette partie, que a est choisi de façon que ϕ(a) 6= 0, et on considère l’endomorphisme h de E
défini par h : x 7→ ϕ(a) x − ϕ(x) a.
II.1. Dans cette question uniquement, on suppose que l’espace E est R3 , muni de son produit scalaire canonique h·|·i, et de
sa base canonique (e1 , e2 , e3 ).
a) Montrer qu’il existe un unique vecteur b ∈ E r {0} tel que, pour tout x ∈ E, on ait ϕ(x) = hb|xi.
b) Notons P le plan vectoriel orthogonal au vecteur b. Soit a un vecteur de E vérifiant hb|ai 6= 0. Notons p la projection
vectorielle sur P, parallèlement à la droite vectorielle engendrée par a.
Calculer, pour tout x ∈ E, p(x) en fonction de a, b et x.
c) En déduire une interprétation géométrique de h.
II.2. Caractériser la restriction de h au noyau de ϕ.
II.3. Calculer hn au moyen de n ∈ N, de h, de ϕ et de a.
II.4. Déterminer le noyau et l’image de h. Il pourra être utile de calculer ϕ ◦ h.
II.5. Soient H et H′ des hyperplans de E tels que H ⊂ H′ . Montrer que H = H′ .
II.6. Pour tout λ ∈ R, on pose
H(λ) = {x ∈ E ; h(x) = λx}.
dimanche  septembre  —  vendémiaire 
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Quels sont les réels λ tels que H(λ) 6= {0} ? Déterminer alors H(λ). Montrer que E = H(0) ⊕ H ϕ(a) .
II.7. a) On considère l’équation βx − ϕ(x) a = 0, où β ∈ R. Résoudre et discuter cette équation où x est l’inconnue et où β
et ϕ sont donnés. On pourra notamment considérer les cas β = 0, β = ϕ(a) et β ∈
/ {0, ϕ(a)}.
b) On considère l’équation βx − ϕ(x) a = b, où β ∈ R et b ∈ E. Résoudre et discuter cette équation en fonction de β
et b.
II.8. Dans cette question, E est l’espace vectoriel des application continues de [ 0 ; π ] dans R. Résoudre dans E l’équation
d’inconnue f :
Z π
x
.
f (x) − sin x
f (t) dt = sin
2
0
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