Cosinus d`un angle aigu

Cosinus d’un angle aigu
Un triangle rectangle a un angle droit et deux angles aigus complémentaires.
Un angle aigu d’un triangle rectangle est déterminé par deux côtés :
L’hypoténuse et le côté appelé côté adjacent à l’angle (c’est un des côté de
l’angle droit).
Par exemple :
Dans le triangle ABC rectangle en B,
a
BAC et a
ACB sont les deux angles aigus du triangle rectangle
Côté adjacent à l’angle a
BAC
Côté adjacent à l’angle a
ACB
Définition :
Dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est le quotient
longueur du côté adjacent
.
longueur de l’hypoténuse
Exemple : dans le triangle ABC rectangle en B, le cosinus de l’angle a
BAC se note
cos a
BAC :
longueur du côté adjacent
Cos a
BAC =
longueur de l’hypoténuse
donc
cos a
BAC =
AB
AC
Remarque : Comme la longueur du côté adjacent est toujours plus petite que
celle de l’hypoténuse, le cosinus d’un angle aigu est toujours un nombre positif
inférieur à 1.
Ci-contre, quelques exemples d’utilisation du cosinus d’un angle aigus.
Attention : les différents calculs nécessitent l’utilisation de la calculatrice,
qu’il faudra configurer en mode degré.
Exemple d’utilisation du cosinus pour calculer la longueur d’un côté de l’angle droit :
VAL est un triangle
rectangle en A.
Trouver la longueur
VA
arrondie
au
millimètre
Solution :
VAL est un triangle rectangle en A.
AVL
On cherche la longueur du côté [VA] qui est le côté adjacent à l’angle a
VA
AVL ) cos a
(On utilise la définition de cos a
AVL =
VL
(On remplace par les valeurs connues) cos 34° =
?
VA
8
cos 34°
VA
=
1
8
D’après l’égalité des produits en croix on a :
VA = 8 × cos 34°
c’est en cm, la valeur exacte de VA
On tape sur la calculatrice : 8
VA ≈ 6,6cm
× cos 34
EXE
Valeur arrondie au millimètre obtenue avec la calculatrice.
Exemple d’utilisation du cosinus pour calculer la longueur de l’hypoténuse :
PIT est un triangle
rectangle en P.
Trouver la longueur
IT
arrondie
au
millimètre
Solution :
PIT est un triangle rectangle en P.
On cherche la longueur de l’hypoténuse [IT]
PIT et la longueur du côté [IP]
On connaît la mesure de l’angle a
IP
PIT ) cos a
(On utilise la définition de cos a
PIT =
IT
(On remplace par les valeurs connues) cos 30° =
3
IT
cos 30°
3
=
1
IT
D’après l’égalité des produits en croix on a :
IT × cos 30° = 3
3
D’où IT =
c’est en cm, la valeur exacte de IT
cos 30°
IT ≈ 3,5cm
Valeur arrondie au millimètre obtenue avec la calculatrice.
Exemple d’utilisation du cosinus pour déterminer la mesure d’un l’angle :
ROB est un triangle Solution :
rectangle en R.
ROB est un triangle rectangle en R.
Calculer la mesure de On connait la longueur du côté [RO] qui est le côté adjacent à l’angle a
ROB et on
a
connaît la longueur de l’hypoténuse [OB].
l’angle ROB arrondie
RO
au degré.
ROB ) cos a
ROB =
(On utilise la définition de cos a
OB
5
(On remplace par les valeurs connues) cos a
ROB° =
7
En utilisant la calculatrice on trouve la mesure de l’angle.
On tape sur 2nde cos ( 5 ÷ 7) EXE
La mesure de a
ROB est de 44° arrondie au degré.