Intégration Propriétés Cours Remarq ues Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I. Soit F une primitive de f sur I. On appelle intégrale de f entre a et b le réel noté b a f(x)dx F(x)a F(b) F(a). b On lit : "l'int égrale de a à b de f(x)dx". Remarque : b a b f(x)dx f(t)dt a b a f(u)du,...,etc. x, s, u,...,etc sont des variables muettes. Interprétation graphique : Soit f une fonction continue et positive sur a,b. b a f(x)dx désigne l'aire de la partie du plan limitée par la courbe de f les droites d'équations x a, x b et l'axe des abscisses. Soit f une fonction continue sur a,b. l'aire de la partie du plan limitée par la courbe de f, les droites d'équations x a, x b et l'axe des abscisses est b a f(x) dx. Théorème : Propriétés algébriques a f(x)dx 0. f(x)dx f(x)dx. (inversion desbornes). f(x)dx f(x)dx f(x)dx. (Relation de Chasles) a b a a b b c b a a c Théorème :Linéarité Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 1 sur 6 Intégration Cours Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux éléments de I. et sont deux nombres réels . On a: f(x) g(x) dx b b a a b f(x)dx g(x)dx . a Théorème :Positivité Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I. a et b deux éléments de I tels que a b. On a: b a f(x)dx 0 . Corollaire 1 : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I tels que f(x) g(x) sur I.. a et b deux élements de I tels que a b . On a : b a b f(x)dx g(x)dx . a Corollaire 2 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. a et b deux éléments de I tels que a b. On a: b a b f(x)dx f(x) dx . a Intégration par partie : Soit U et V deux fonctions dérivables sur un intervalle I de dérivées U’ et V’ continues sur I. a et b deux éléments de I. On a b a b U '(x)V(x)dx U(x)V(x) a b a U(x)V '(x)dx . Exemple : Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 2 sur 6 Intégration Calculer I Définition Interprétation graphique 2 0 Cours x.cos x.dx . On pose U(x) x V '(x) cos x U '(x) 1 V(x) sin x U, V, U ' et V ' sont continues sur 0, . On a : 2 2 0 2 x cos xdx x.sin x 0 2 0 sin x.dx cos x 02 1. 2 2 Valeur moyenne : Soit f une fonction continue sur a, b , (a b). On appelle valeur moyenne de f le réel noté b 1 f f (x)dx ba a En fait, l’aire de la partie de du plan limitée par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b n’est autre f que l’aire du rectangle colorié en jaune sur la figure ci-contre. a b Fonctions définies par une intégrale : Théoreme1 : Soit I un intervalle de IR , f une fonction continue sur I et a I. Soit g la fonction définie sur I par x f (t )dt x a . g est dérivable sur I et on a g’(x)=f(x) En fait g est la primitive de f qui s’annule en a. Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 3 sur 6 Intégration Cours Exemple : g est la fonction définie sur I= , 2 2 par g(x)= 0 x 1 dt . 1 tan 4 t La fonction f : t 1 est continue sur I= , et 0 I 4 1 tan t 2 2 alors g est dérivable sur I et on a g’(x)=f(x)= 1 1 tan 4 x Théoreme2 : Soit I un intervalle de IR Soit I un intervalle de . f est une fonction continue sur un intervalle J de Si on a: a J u est une fonction dérivable sur I à valeurs dans J ALORS : la fonction F définie sur I par :x u( x) a f (t )dt est dérivable sur I et on a F’(x)=u’(x).f’(u(x)) Application : Soit F la fonction définie par : F : 0, IR x cos x 0 1 t 2 dt 1/ Montrons que F est dérivable sur I 0, et calculons F’ x . 1 1 2 / En déduireque F(x) x sin 2x 4 2 4 2 3 / Calculer alors l'int égrale 0 2 1 t 2 dt Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 4 sur 6 Intégration Cours 1/ f:t 1 t2 est une fonction continue sur J= 1,1 On a: 0 J u:x cosx est une fonction dérivable sur I= 0, à valeurs dans J Conclusion : F est dérivable sur I et on a : F’ x sinxF’ cosx sin x 1 cos 2 x sin x sin 2 x sin x sin x sin car, x 0, 1 1 1 2 / F'(x) sin 2 x (cos 2x 1) donc F(x) x sin 2x 2 4 2 4 et comme F( ) 0 alors 2 c et par suite 3/ 0 F(x) 1 1 x sin 2x 4 2 2 1 1 t 2 dt F ( ) 4 8 4. 2 2 Théorème 1: Soit f une fonction continue sur I et a I. Si f est impaire alors a a f (x )dx 0. Théorème 2: Soit f une fonction continue sur I et a I. Si f est paire alors a a f (x)dx 2 f (x)dx. a 0 Théorème 3: Soit f une fonction continue sur alors Cours En Ligne a T a et T périodique. a f (x)dx f (x)dx. T 0 Pour s’inscrire : www.tunischool.com Page 5 sur 6 Intégration Cours Calcul de volumes : Théorème : On sup pose que l'espace est muni d 'un repère orthonormé (O,i, j, k). Soit f une fonction continue et positive sur a, b . Le volume V du slide de révolution engendré par la rotation de l'arc AB M (x,y) ; a x b et y f (x) autour de l'axe des abscisses est le réel Cf V f 2 (x)dx b a a Cours En Ligne Pour s’inscrire : www.tunischool.com b Page 6 sur 6