Quantité de mouvement et moment cinétique

v7
6
Quantité de mouvement
et
moment cinétique
p = mv
L=r×p
Impulsion et quantité de mouvement
Une force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Δt.
La vitesse du corps varie de
Δv = vf − vi
L'accélération (moyenne) vaut a = Δv / Δt = (vf − vi) / Δt
Par la deuxième loi de Newton:
F = ma = m( vf − vi ) / Δt
donc:
F Δt = mvf − mvi = pf − pi
avec la définition:
quantité de mouvement = p = mv
Le produit FΔt est appelé impulsion
(un vecteur)
(aussi un vecteur)
La variation de la quantité de mouvement est égale à l'impulsion
F Δt = pf − pi
F = 0 <=> Δp = 0
c. à d. p est constante
2
Impulsion et quantité de mouvement, bis
Variation infinitésimale de la vitesse
dv
L'accélération vaut
a = dv / dt
Deuxième loi de Newton:
donc:
F dt = mdv = dp
dv
F = ma = m
dt
€
La variation de la quantité de mouvement est égale à l'impulsion
€
et aussi:
F dt = mdv = dp
F = dp/dt
3
Conservation de la quantité de mouvement
Considérons deux corps qui effectuent un choc :
i) la quantité de mouvement totale vaut
p2
i)
p1
2
1
p i = p 1+ p 2
Supposons que la collision dure δt.
La force que 1 exerce sur 2 est égale
et opposée à celle que 2 exerce sur 1
F1 = −F2
L'impulsion sur 1 : F2 δt = p'1 − p1
=> p'1 = p1 + F2 δt = p1 − F1 δt
choc)
pour l'objet 2 :
f) la quantité de mvt totale est
p'2
f)
p'2 = p2 + F1 δt
p'1
pf = p'1+ p'2 = p1 − F1 δt+ p2 + F1 δt =
= p1 + p2 = pi
4
Exemple 1
m
L'objet de masse M est initialement
au repos.
L'objet de masse m a une vitesse v
M
v
i)
Dans le choc "mou" M se réunit à m
pour former un objet de masse M+m
v'
f)
M+m
pi = mv + 0 = pf = (M+m)v'
On applique le principe de la
conservation de la quantité de
mouvement:
v' = mv/(M+m)
! Si l'on utilise la conservation de l'énergie: mv2/2 = (M+m)v'2/2
ce qui donne v'2 = mv2/(M+m) différent du résultat précédent !
5
Exemple 2
Une bille qui se déplace sur une table sans frottement
N
p
w
La réaction de la table N est égale et opposée à w.
La force totale est donc nulle, l'impulsion est donc aussi nulle
et p est constant au cours du temps
Exemple 3
M
quantité de mvt total
ptot = 0
1)
m
2)
v
w
3)
ptot = 0 = mv + Mw
=> w = − mv/M
ptot = 0
le tout est immobile
7
Mouvement du Centre de Masse CM
Le CM (ou Centre de Gravité CG) d'un système non soumis à
des forces externes préserve son état de mouvement.
Exemple:
le CM du système
de l'Exemple 3 est
à tout instant immobile
dans le laboratoire.
En effet il est immobile dans l'état initial
et le système n'est pas
soumis à des forces externes.
v
w
Mouvement du CM .2
v1
m1
v2
r1
r2
m2
CM:
m1r1 + m2r2
R=
m1 + m2
calculons la vitesse du CM
€d " m r + m r %
d
1
d
1 1
2 2
vCM = R = $
(m1r1 + m2r2 ) =
'=
dt
dt # m1 + m2 & m1 + m2 dt
1 " d(m1r1 ) d(m2r2 ) %
1
=
+
$
'=
(m1v1 + m2 v2 ) =
m1 + m2 # dt
dt & m1 + m2
1
ptot
=
(p1 + p2 ) =
m1 + m2
mtot
ptot = mtot vCM
La quantité de mouvement totale est une constante,
donc vCM l'est aussi.
€
9
Collision élastique vs inélastique
Lors d'une collision la quantité de mouvement est conservée.
L'énergie mécanique ne l'est pas toujours, si la collision n'est
pas parfaitement "élastique".
Considérons la collision de deux objets isolés.
Dans le cas "totalement inélastique" il y aura un maximum de
perte d'énergie cinétique
i)
f)
10
Collision élastique
On peut utiliser la conservation de p et E pour calculer
l'évolution du système mécanique
m1, v1
m2, v2
m1, w1
m2, w2
p = p1 + p 2 = m1v1 + m2 v 2 = m1w1 + m2w 2
1
1
2
2
K i = (m1v1 + m2 v 2 ) = K f = (m1w12 + m2w 22 )
2
2
€ " m1v1 + m2 v 2 = m1w1 + m2w 2
€
#
2
2
2
2
$m1v1 + m2 v 2 = m1w1 + m2w 2
à résoudre pour
les inconnues w1 et w2
11
Collision élastique .2
" m1v1 + m2 v 2 = m1w1 + m2w 2
#
2
2
2
2
$m1v1 + m2 v 2 = m1w1 + m2w 2
cas particulier v2 = 0
€
1− R
w1 = v1
1+ R
cas particulier v2 = 0 et m1 = m2
€
⇒ w1=0
2
w 2 = v1
1+ R
et
w2= v1
m2
R=
m1
Collision inélastique
m1 , v1
m2 , v2
m=m1+m2 , v
x
p = p1 + p 2 = m1v1 + m2 v 2 = mv = (m1 + m2 )v
Conservation de p:
m1v1 + m2 v 2
v=
≡ v CM
m1 + m2
E cinétique:
1
K i = (m1v12 + m2 v 22 )
2
€
[m v
1 1
2
2
1 2 1 "m1v1 + m2 v 2 % 1 [m1v1 + m2 v 2 ]
K f = mv = m$
' =
2
2 # m1 + m2 & 2
m1 + m2
2
+ m2 v 2 ]
2
m1v1 + m2 v 2 ]
[
Kf
m1 + m2
=
=
2
2
Ki
m1v1 + m2 v 2
(m1 + m2 )(m1v12 + m2 v22 )
13
Collision inélastique .2
2
m1v1 + m2 v 2 ]
[
Kf
=
K i (m1 + m2 )(m1v12 + m2 v 22 )
2
m1v1 ]
[
Kf
m1
=
=
2
K i (m1 + m2 )m1v1 m1 + m2
Cas particulier:
v2=0
€
€
Cas particulier: v1=−v2 et m1=m2
Kf = 0
Relation énergie cinétique - quantité de
mouvement
2
1 2 11 2 2 1
p
2
K = mv =
mv =
(mv) =
2
2m
2m
2m
2
p
K=
2m
15
Moment cinétique
Le moment cinétique L joue un rôle analogue à la
quantité de mouvement, dans le cas de la rotation.
L
p
r
L=r×p
L = r p sinθ
On peut lier L à la vitesse angulaire ω et au moment
d'inertie I, dans le cas d'un mouvement circulaire de rayon r:
L = r p = r m v = mr ωr = mr2 ω = I ω
... analogue à
L=Iω
p=mv
Conservation du moment cinétique
Quand la résultante des forces agissant sur un corps est nulle,
la quantité de mouvement du corps est constante
F = ma = m (v2−v1)/Δt = (p2−p1)/Δt
F = 0 ⇒ p2 = p1
Si l'on fait de même dans le cas d'un mouvement circulaire:
τ = Iα = I (ω2−ω1)/ Δt = (L2 − L1)/ Δt
τ = 0 ⇒ L2 = L1
Quand la résultante des moments des forces agissant sur
un corps est nulle, le moment cinétique du corps est
constant au cours du temps.
Conservation du moment cinétique, bis
F = ma = m dv/dt = dp/dt
F = 0 ⇒ dp = 0
De même, dans le cas d'un mouvement circulaire:
τ = Iα = I dω/dt = dL/dt
τ = 0 ⇒ dL = 0
Quand la résultante des moments des forces agissant sur
un corps est nulle, le moment cinétique du corps est
constant au cours du temps.
Exercice
Dresser une table d’analogies
mvt linéaire ⇔ mvt circulaire
y
δd
(x,y)
(x,y) ou (r,φ)
δd
r
φ
x
vitesse δd/δt
…
vitesse δd/δt
vitesse angulaire ω=δφ/δt
…
Les vecteurs τ, L et ω ne sont pas toujours //
Ex: cylindre homogène de longueur d, rayon r et masse m.
Le moment d'inertie pour une rotation selon l'axe est Ia = mr2/2.
Pour une rotation autour d'un pivot central c'est
Ic = md2/12.
Si r < d/2 on a Ia< Ic.
Supposons que le cylindre tourne avec vitesses angulaires
ωa et ωc autour de l'axe et du pivot respectivement.
P. ex. prenons ωa = ωc en module et 2Ia= Ic
On obtient le résultat de la figure:
ωc
Lc=Icωc
ωa
ωc
L et ω ne sont pas //
L
ω
ω
ωa
La=Iaωa
La toupie
Ω
ω
pivot
r
w
La toupie a un moment
d'inertie I autour de son axe.
r position du CG, w poids
Avec une rotation rapide autour de l'axe, de vitesse angulaire ω,
la toupie ne tombe pas. Elle se stabilise par un mouvement
de rotation lent autour du pivot.
On cherche la valeur de Ω pour que le mouvement soit stable...
Toupie .2
Le poids w produit le moment
τ = r × w, en module: τ = rw.
A tout instant L et τ sont orthogonaux: 0 = L . τ.
Ω
De τ = dL/dt :
dL
d L2
0=L·
=
) L2 = cte
dt
dt 2
τ
La variation de L vaut
dL = τdt
donc dL est orthogonal
à L, donc le module
de L est constant
au cours du temps.
L L=Iω
r
w
τ
dL
Ω
vue d'en haut
w
L
Ω est égal à la vitesse de rotation du vecteur L...
22
Toupie .3
L(t+dt)
dL = τdt
dα
L(t)
Après dt, L (et ω) est déplacé de l'angle dα.
Cela doit correspondre au déplacement
angulaire de la toupie:
Ω
ω
r
w
23
Le modèle de Bohr pour l'H
On considère un électron de charge -e et masse m en orbite circulaire autour
du proton de masse M et charge +e. On a m ~ M/2000 donc le CG est proche
du proton. A l'équilibre: F centrifuge = F Coulomb:
ee
v2
k
E cinétique:
r
m
r
€
L'énergie potentielle est < 0 car le potentiel est attractif,
il faut fournir du travail pour éloigner le e− du p.
E totale:
=m
1 2 r mv 2 r e 2
e2
K = mv =
= k 2 =k
2
2 r
2 r
2r
−ee
e2
E potentielle: U(r)= k
= −k
r
r
€
€
r
2
e2 # 1 &
e2
E(r)= K + U = k % −1( = −k
r $2 '
2r
M
Le modèle de Bohr pour l'H .2
Hypothèse de Bohr: les électrons sont sur des orbites telles que le moment
cinétique L est un multiple de !=h/2π :
2
e2
v2
1
L
k 2 =m
ke 2 = mv 2r =
m2 v 2r 2 =
r
r
mr
mr
L2
[eV]
r=
mke 2
-1.51
Bohr ⇒ L n = mv n rn = n!
€
2
(n!)
rn =
mke 2
e2
k 2e 4 m 1
E(rn )= K n + U n = −k
=−
2rn
2! 2 n 2
L n ≡ p n rn = n!
-3.39
-13.6
h est la constante de Planck h=6.63 10-34 Js
25