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Espaces préhilbertiens réels
I Espace préhilbertien réel
1
II Orthogonalité
4
III Bases orthonormées dans un espace euclidien
6
IV Projecteurs orthogonaux
8
I.A
I.B
I.C
I.D
Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distance associée à la norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.A Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Parties orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C Orthogonal d'une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.D Familles orthogonales, familles orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.E Un exemple important de famille orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.F Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
4
4
4
5
5
6
III.AExistence : méthode d'orthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.BCoordonnées d'un vecteur dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III.CExpressions du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.ASupplémentaire orthogonal d'un sous-espace vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.B Projecteur orthogonal sur un sous-espace vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.CDistance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel sur R, de dimension nie ou innie.
I Espace préhilbertien réel
Dans tout ce paragraphe I, E désigne un espace vectoriel sur R, de dimension nie ou innie. Un élément ~x de E
sera noté plus simplement x.
I.A Produit scalaire
Dénition 1.
Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique dénie positive.
Plus précisément, un produit scalaire est une application ϕ de E × E dans R, telle que :
chacune des applications x 7→ ϕ(x, y) et y 7→ ϕ(x, y) est linéaire (bilinéarité );
∀(x, y) ∈ E , ϕ(y, x) = ϕ(x, y) (symétrie );
∀x ∈ E, ϕ(x,
x) > 0 (positivité );
∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0 =⇒ x = 0 (caractère déni du produit scalaire).
Les notations usuelles pour un produit scalaire sont :
2
E
ϕ(x, y), (x | y), < x, y >, x.y
Nous utiliserons en général la notation (x | y), et le carré scalaire (x | x) pourra être noté x .
2
Dénition 2.
nie.
E
, muni d'un produit scalaire, s'appelle espace préhilbertien réel, ou euclidien lorsqu'il est de dimension
Si E = R , on a le produit scalaire ordinaire (dit canonique ) :
Si x = (x , . . . , x ) et y = (y , . . . , y ), alors :
Exemple 1.
1
m
m
1
m
(x | y) =
m
X
i=1
1
xi yi
Si E = C ([a, b], R) (espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans R), avec a < b, on dénit un
produit scalaire par :
Z
(f | g) =
f (t)g(t) dt
Exemple 3. Si E = R[X] (espace vectoriel des polynômes) et a < b, on dénit un produit scalaire par :
Z
(P | Q) =
P (t)Q(t) dt
Structure préhilbertienne induite : si E est préhilbertien réel, et si F est un sous-espace vectoriel de E, la restriction
à F du produit scalaire de E est encore un produit scalaire; F est alors un espace préhilbertien réel.
Exercice 1
Dans chacun des cas, l'application (· | ·) est-elle un produit scalaire sur l'espace vectoriel E?
1. E = R [X] avec (P | Q) = P (0)Q(0) + P (0)Q (0) + P (0)Q (0).
2. E = M (R) avec (A | B) = P a b .
3. E = M (R) avec (A | B) = tr(A B).
Z
4. C ([0, 1], R) avec (f | g) = f (0)g(0) + f (t)g (t) dt.
Exemple 2.
0
b
a
b
a
0
2
n
i=1
n
0
00
00
i,i i,i
T
n
1
0
1
0
0
[ep030]
I.B Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème 1.
Soit E un espace préhilbertien réel. Soient x, y ∈ E. On a :
p
p
(x | y) 6 (x | x) (y | y)
et l'égalité a lieu si et seulement si x et y sont colinéaires.
Si x = 0, il y a égalité, et x et y sont colinéaires.
On suppose maintenant x 6= 0. On a, à cause de la positivité du produit scalaire :
Démonstration.
∀λ ∈ R, (λx + y | λx + y) > 0
Après développement, cela donne :
∀λ ∈ R, λ (x | x) + 2λ(x | y) + (y | y) > 0
On a donc un trinôme en λ, qui est positif ou nul quel que soit λ. Il en résulte que son discriminant ∆ est 6 0, c'est-à-dire :
2
(x | y)2 − (x | x)(y | y) 6 0
ce qui est l'inégalité cherchée.
Si x et y sont colinéaires, on a par exemple y = αx avec α ∈ R, et alors :
(x | y) = α(x | x)
tandis que :
(x | x)(y | y) = (x | x)(αx | αx) = α (x | x)
d'où :
(x | y) = (x | x)(y | y)
et on a égalité dans Cauchy-Schwarz.
Inversement, s'il y a égalité dans Cauchy-Schwarz, cela signie que ∆ = 0, et donc qu'il existe λ ∈ R tel que λ (x | x)+2λ (x | y)+(y | y) = 0,
ou encore :
(λ x + y | λ x + y) = 0
Le caractère déni du produit scalaire montre alors que λ x + y = 0, ce qui prouve bien que x et y sont colinéaires.
2
2
2
0
0
2
0
0
0
0
Exercice 2
1. Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cadre du produit scalaire canonique (cf exemple 1).
2. Soient x , . . . , x > 0 tels que x + x + · · · + x = 1. Montrer que :
1
n
Préciser les cas d'égalité.
1
2
n
n
X
1
> n2
xk
k=1
2
[ep031]
Exercice 3
1. Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les fonctions réelles continues sur [a, b] dans le cadre du produit scalaire
déni par une intégrale (cf exemple 2).
2. Soit a > 0. A l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que :
Z
dt 6 x√− a
∀x > a,
x
a
t
ax
[ep033]
I.C Norme euclidienne
Dénition 3.
Soit Epun espace préhilbertien réel. On appellepnorme euclidienne (ou norme associée au produit scalaire) l'application :
(x | x). On la note en général : kxk = (x | x).
x 7→
Remarque 1.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz devient ici :
(x | y) 6 kxk.kyk
Proposition 1.
La norme euclidienne vérie les propriétés suivantes :
(N )
k.k est une application de E dans R
0
(N1 )
∀x ∈ E, kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
(N2 )
∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, kλxk = |λ|kxk
(N3 )
∀x, y ∈ E, kx + yk 6 kxk + kyk
+
La seule diculté est la démonstration de l'inégalité triangulaire, qui est en fait une conséquence de l'inégalité de CauchySchwarz :
Soient x, y ∈ E. On a, en remarquant que kx + yk = (x + y | x + y) :
Démonstration.
2
kx + yk2 = kxk2 + 2(x | y) + kyk2 6 kxk2 + 2|(x | y)| + kyk2
Or, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :
Donc kx + yk
2
kxk2 + 2|(x | y)| + kyk2 6 kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = [kxk + kyk]2
6 [kxk + kyk]2
, et par passage à la racine carrée, on retrouve l'inégalité triangulaire.
Il est bon de connaître le résultat de l'exercice suivant :
Soient x, y ∈ E, espace préhilbertien réel. Montrer que :
kx + yk = kxk + kyk ⇐⇒ x et y appartiennent à la même demi-droite vectorielle
(on dit aussi que x et y sont positivement liés)
Exercice 4
[ep022]
Exercice 5
Montrer qu'on a également :
∀x, y ∈ E, kxk − kyk 6 kx − yk
[ep023]
3
Théorème 2 (expression du produit scalaire à l'aide de la norme).
Soient x, y ∈ E, espace préhilbertien réel. On a :
(x | y) =
Démonstration.
1
1
kx + yk2 − kx − yk2 =
kx + yk2 − kxk2 − kyk2
4
2
C'est immédiat!
I.D Distance associée à la norme euclidienne
Dénition 4.
Soit E un espace préhilbertien. On dénit sur E × E l'application d, de la manière suivante :
∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = kx − yk
d
est appelée distance associée à la norme euclidienne.
Proposition 2.
d
vérie les quatre propriétés suivantes, qui en font une distance (ou une métrique ) sur E :
(D )
d est une application de E × E dans R
0
+
(D1 )
∀x, y ∈ E, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
(D2 )
∀x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x)
(D3 )
∀x, y, z ∈ E, d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z)
(séparation)
(symétrie)
(inégalité triangulaire)
II Orthogonalité
II.A Vecteurs orthogonaux
Dénition 5.
Soient x, y ∈ E, espace préhilbertien réel.
x et y sont orthogonaux
⇐⇒ (x | y) = 0
déf
II.B Parties orthogonales
Dénition 6.
Soient A, B deux parties non vides de E.
A et B sont orthogonales
⇐⇒ ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, (x | y) = 0
déf
II.C Orthogonal d'une partie
Dénition 7.
Soit A une partie non vide de E. On dénit l'orthogonal
de la partie A par :
A⊥ = y ∈ E / ∀x ∈ A, (x | y) = 0
déf
l'orthogonal d'une partie vérie les propriétés suivantes :
1. A est un sous-espace vectoriel de E.
2. Si A ⊂ B, alors B ⊂ A .
3. A = (Vect A) .
Proposition 3.
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
4
Exercice 6
Démontrer ces propriétés.
[epr201bis]
II.D Familles orthogonales, familles orthonormales
Dénition 8.
Soit (x ) une famille de vecteurs de E, espace préhilbertien réel. Cette famille est dite :
Orthogonale si : ∀i, j i 6= j =⇒ (x | x ) = 0.
Orthonormale (ou orthonormée) si :
∀i, j (x | x ) = δ
où δ , symbole de Kronecker, vaut 0 si i 6= j et vaut 1 si i = j.
i i∈I
i
j
i
j
i
j
j
i
Proposition 4.
normale est libre.
Une famille orthogonale constituée de vecteurs non nuls est libre. En particulier, une famille ortho-
Exercice 7
Montrer cette propriété.
[epr204]
II.E Un exemple important de famille orthogonale
Soit T > 0. On pose E = C
On pose si f, g ∈ E :
, espace vectoriel des fonctions continues, T -périodiques, de R dans R.
Z
Z
1
1
(f | g) =
f (t)g(t) dt =
f (t)g(t) dt
T
T
Il est clair qu'il s'agit d'un produit scalaire, et que (E, (. | .)) est ainsi un espace préhilbertien réel.
T (R)
T
T /2
−T /2
0
On pose ω = . La famille F de E constituée par les fonctions :
ϕ : t 7→ cos nωt pour n ∈ N et ψ : t 7→ sin nωt pour n ∈ N
est orthogonale. Plus précisément :
(ϕ | ϕ ) = 1, et pour p ∈ N : (ϕ | ϕ ) = (ψ | ψ ) =
et pour p 6= q : (ϕ | ϕ ) = 0 et (ψ | ψ ) = 0, et quels que soient p ∈ N et q ∈ N : (ϕ | ψ ) = 0.
Proposition 5.
2π
T
n
0
p
Démonstration.
q
∗
n
p
∗
0
p
p
p
p
∗
q
1
2
p
q
Voir l'exercice ci-dessous.
Exercice 8
1. Montrer que pour p ∈ N et q ∈ N , on a (ϕ | ψ ) = 0 (remarquer que ϕ ψ est impaire).
2. Soient p, q ∈ N tels que (p, q) 6= (0, 0). On pose :
Z
Z
1
1
C=
cos pωt cos qωt dt et S =
sin pωt sin qωt dt
T
T
p=q
Montrer que C + S = 10 sisinon
et C − S = 0.
3. En déduire tous les résultats annoncés concernant la famille F .
∗
p
q
p
T
q
T
0
0
[epr205]
5
II.F Théorème de Pythagore
Théorème 3.
Soient E un espace préhilbertien réel, et x, y ∈ E :
x est orthogonal à y
Démonstration.
kx + yk2 = kxk2 + kyk2
⇐⇒
C'est immédiat!
Exercice 9
Soient E un espace préhilbertien réel, et (x , x , . . . , x ) une famille de vecteurs de E.
1. On suppose n > 3. Montrer que :
X X
(x , x , . . . , x ) est une famille orthogonale =⇒ x =
kx k
2. En envisageant dans R muni de sa structure
euclidienne
canonique
les vecteurs
:
1
2
n
n
1
2
2
n
n
i
i=1
i
2
i=1
2
1
0
x=
1
1
y=
z=
−1
1
montrer que la réciproque est fausse en général.
[ep024]
III Bases orthonormées dans un espace euclidien
III.A Existence : méthode d'orthonormalisation de Schmidt
Théorème 4.
Soit E un espace euclidien de dimension n, et soit E = (e , e , . . . , e ) une base de E. Il existe une et une seule base
orthonormée U = (u , u , . . . , u ) telle que :
1
1
2
2
n
n
(
∀p 6 n
(a) Vect(u1 , . . . , up ) = Vect(e1 , . . . , ep )
(b) (ep | up ) > 0
On construit les vecteurs u , u , . . . , u , un à un, et à chaque fois, on n'a pas le choix, d'où l'unicité :
Nécessairement : u = .
Supposons u , . . . , u déjà construits : autrement dit, il s'agit de vecteurs unitaires, deux à deux orthogonaux, et qui vérient les
conditions (a) et (b) pour p 6 k.
Le vecteur u que l'on cherche appartient à Vect(e , . . . , e , e ), c'est-à-dire à Vect(u , . . . , u , e ) (d'après la condition (a)
du théorème). On cherche donc u sous la forme :
Démonstration.
1
1
e1
ke1 k
1
2
n
k
1
k+1
k
1
k+1
k
k+1
k+1
(1)
uk+1 = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λk uk + µek+1
Mais la base U est souhaitée orthonormée, donc :
ce qui donne :
On reporte cela dans (1), pour obtenir :
∀i ∈ {1, . . . , k}, (uk+1 | ui ) = 0
∀i ∈ {1, . . . , k}, λi = −µ(ek+1 | ui )
k
h
i
X
uk+1 = µ ek+1 −
(ek+1 | ui )ui
i=1
(2)
On fait le produit scalaire par u : 1 = µ(e | u ), d'où µ > 0 (d'après la condition imposée (b)).
Dans l'égalité (2), on prend les normes, et on obtient :
k+1
k+1
k+1
µ=
1
k
X
(ek+1 | ui )ui ek+1 −
i=1
ce qui, avec (2), dénit entièrement le vecteur u .
On vérie maintenant que le vecteur u remplit les conditions imposées :
u est unitaire d'après (2) et l'expression de µ.
k+1
k+1
k+1
6
(u | u ) = 0 pour 1 6 i 6 k, d'après (2).
(e | u ) > 0, toujours d'après (2), en faisant le produit scalaire par u .
Enn, (2) montre que u ∈ Vect(u , . . . , u , e ), d'où :
Vect(u , . . . , u , u
) = Vect(u , . . . , u , e
) = Vect(e , . . . , e , e
On applique ce qu'on vient de voir de k = 2 à k = n, et le théorème est démontré.
k+1
i
k+1
k+1
k+1
1
k+1
k
1
k
k+1
1
k+1
k
1
k+1
k
k+1 )
Dans R muni de sa structure euclidienne canonique (pour laquelle la base canonique est orthonormée),
on recherche la base "orthonormalisée de Schmidt"
de :     

Exemple 4.
3
−1
1
1
(e1 , e2 , e3 ) =  1  ,  −1  ,  1 
1
1
−1
Le principe de la construction reprend celui de la démonstration, à ceci près qu'on va chercher une famille orthogonale
vériant les conditions (a) et (b), et qu'on la rendra ensuite orthonormée : ce sera nécessairement la base "orthonormalisée
de Schmidt". Dansce cas précis, il nous faut une famille orthogonale (v , v , v ) telle que :
Vect{v } = Vect{e }

 (v | e ) > 0
Vect{v , v } = Vect{e , e } = Vect{v , e }
(v | e ) > 0
(a)
et
(b)


Vect{v , v , v } = Vect{e , e , e } = Vect{v , v , e }
(v | e ) > 0
La famille suivante peut convenir (vérier pourquoi) :
1
1
1
1
1
2
1
2
2
3
1
2
v1 = e 1
;
1
1
;
3
2
3
v2 = e2 + αv1
2
2
3
1
1
2
2
3
3
v3 = e3 + βv2 + γv1
où α, β, γ sont des réels tels que (v | v ) = (v | v ) = (v | v ) = 0. On obtient très facilement, en utilisant le fait que la
famille (u , u , u ) est orthonormée :
1
1
2
2
1
3
α=−
(e2 | v1 )
(v1 | v1 )
;
2
3
3
Enn, il restera à calculer :
u1 =
v1
kv1 k
β=−
;
(e3 | v2 )
(v2 | v2 )
u2 =
v2
kv2 k
;
;
γ=−
u3 =
(e3 | v1 )
(v1 | v1 )
v3
kv3 k
Après application de la méthode sur notre base, on obtient (calculs à détailler) α = γ = 31 , β = 12 , et :

−1
1
u1 = √  1 
3
1


1
1
u2 = √  −1 
6
2

;

1
1
u3 = √  1 
2
0

;
Exercice 10
On considère l'espace vectoriel préhilbertien réel E = R[X]Z , et l'application ϕ : E × E → R donnée par :
ϕ(P, Q) =
P (t)Q(t) dt
1. Montrer que ϕ dénit bien un produit scalaire sur E.
2. Orthonormaliser par le procédé de Schmidt la famille (1, X, X , X ).
1
−1
2
3
Correction H
III.B Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormale
Théorème 5.
Soient E euclidien, E = (e , e , . . . , e ) une base orthonormée, alors pour tout x ∈ E on a :
1
2
n
x=
n
X
(x | ei )ei
i=1
C'est presque immédiat. On pose x = X x e . Pour j xé, on calcule simplement :
n
Démonstration.
i i
i=1
(x | ej ) =
n
X
i=1
xi (ei | ej ) = xj
car (e | e ) = 0 si i 6= j, et (e
i
7
j
j
| ej ) = 1
[ep029]
III.C Expressions du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée
Théorème 6.
Soient E euclidien, E = (e , e , . . . , e ) une base orthonormée, x = X x e et y = X y e deux vecteurs de E. On a :
n
1
2
n
n
i i
i i
i=1
n
X
(x | y) =
Démonstration.
v
u n
uX 2
x
kxk = t
et
xi yi
i=1
i=1
i
i=1
C'est immédiat.
Si X et Y sont les matrices colonnes de x et y dans la base orthonormée E , on a :
Remarque 1.
(x | y) = X T Y = Y T X
(on identie ici une matrice 1 × 1 à son unique terme)
IV Projecteurs orthogonaux
Dans ce paragraphe, E est un espace préhilbertien réel, de dimension a priori innie.
IV.A Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace vectoriel de dimension nie
Théorème 7.
Soit E préhilbertien réel, et soit F un sous-espace vectoriel de E, de dimension nie k. On a :
E = F ⊕ F⊥
on introduit une base orthonormée de F : (u , . . . , u ).
Soit x ∈ F ∩ F . Comme x ∈ F , il existe des réels λ , λ , . . . , λ tels que :
Démonstration.
•
1
⊥
Par ailleurs, x ∈
1
F⊥
donc ∀i ∈ [[1, k]], (u | x) = λ
i
2
k
k
x = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λk uk
i
=0
, d'où x = 0.
F ∩ F ⊥ = {0}
•
Soit x ∈ E. On cherche à écrire x comme somme d'un élément de F et d'un élément de F , c'est à dire λ , λ , . . . , λ et y ∈ F tels que :
⊥
1
2
k
⊥
x = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λk uk + y
Nécessairement, on aura (u | x) = λ . La décomposition est donc, après avoir vérié qu'elle convient :
i
i
x=
k
X
(ui | x)ui +
x−
i=1
|
On vient de montrer que E = F ⊕ F .
k
X
!
(ui | x)ui
i=1
{z
∈F
}
|
{z
∈F ⊥
}
⊥
IV.B Projecteur orthogonal sur un sous-espace vectoriel de dimension nie
Si F est de dimension nie, on vient de voir que E = F ⊕F . Le projecteur orthogonal sur F est alors, par dénition,
le projecteur p tel que Im p = F et Ker p = F .
D'après la démonstration de IV.A on a :
⊥
⊥
Théorème 8.
Soient E un espace préhilbertien réel, et F un sous espace vectoriel de dimension nie k.
Si (u , . . . , u ) est une base orthonormée de F , la projection orthogonale d'un vecteur x de E sur F est donnée par :
1
k
p(x) =
k
X
(ui | x)ui
i=1
8
Remarque 2. L'expression du projeté orthogonal dans une base orthonormale peut être calculée en utilisant la formule
donnée par le théorème 8, mais cela suppose de connaître une base orthonormée de F . On peut trouver des méthodes
plus pratiques :
? À partir d'une simple base orthogonale : si (v , . . . , v ) est une base orthonormée de F , la projection orthogonale
d'un vecteur x de E sur F est donnée par :
1
k
p(x) =
k
X
(vi | x)
kvi k2
i=1
vi
C'est immédiat en considérant que u = kvv k .
? À partir d'une base quelconque de F (ou même une famille génératrice). En eet, on sait d'après IV.A que si x ∈ E ,
alors x − p(x) ∈ F .
Si (w , . . . , w ) est une base (resp. famille génératrice) de F , le projeté p(x) est obtenu par le système d'équations :
i
i
i
⊥
1
p
(wi | x − p(x)) = 0
(1 6 i 6 p)
C'est de loin la méthode la plus commode si l'on ne dispose pas d'une base orthogonale.
IV.C Distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension nie
x−y
x
p(x)
y
F
Les notations sont les mêmes que précédemment : E est un espace préhilbertien réel et F est un sous-espace de
dimension k, rapporté à une base orthonormée (u , . . . , u ). Soient x ∈ E et y ∈ F . On a :
1
y 6= p(x)
En eet, on peut écrire :
et on applique Pythagore. On a donc :
k
=⇒
kx − yk > kx − p(x)k
x − y = (x − p(x)) + (p(x) − y)
kx − p(x)k = inf kx − yk, y ∈ F
c'est-à-dire :
d(x, F ) = kx − p(x)k
Exercice 11
1. →−Soient E→−un espace euclidien,→−→−u un vecteur unitaire,
p le projecteur orthogonal sur l'hyperplan H orthogonal à
−
−
u . Soit x ∈ E . Exprimer p( x ) en fonction de →
u et →
x.
2. On suppose dans cette question que E est de dimension 4, rapporté à une base orthonormée E = (→−e , →−e , →−e , →−e ).
(a) Donner, par les deux méthodes suivantes, la matrice du projecteur orthogonal sur l'hyperplan P d'équation :
1
P : x1 − x2 + x3 − x4 = 0
En utilisant une base quelconque (−u→, −u→, −u→) de F .
À l'aide du résultat de la question 1.
(b) Donner la distance du vecteur →−x = →−e + →−e à l'hyperplan P .
1
1
2
3
3
9
2
3
4
Correction H
[ep034]
Exercice 12
Montrer que : d(x, F )
2
Remarque 3.
k
X
= kxk2 −
k
X
(ui | x)2
i=1
.
[epr212]
s'appelle inégalité de Bessel.
(ui | x)2 6 kxk2
i=1
Exercice 13
On cherche a, b, c, d ∈ R tels que (x − ax − bx − cx − d) dx soit minimum.
On pose F = Vect(1, X, X , X )
1. Vérier qu'il s'agit du carré de la distance du polynôme Q = X à un polynôme Q de F pour le produit
scalaire de l'exercice 10. À quoi correspond géométriquement le polynôme qui réalise le minimum de cette distance?
2. Déterminer ce polynôme à l'aide de la base orthogonale trouvée à l'exercice 10.
Z
1
4
3
2
2
−1
2
3
4
a,b,c,d
Correction H
[ep035]
Correction de l'exercice 10 N
1. Vérions que ϕ est bien un produit scalaire :
ϕ est symétrique :
Z
d
ϕ est linéaire à gauche (donc bilinéaire par symétrie) :
∀P , P , Q ∈ E et λ, µ ∈ R :
1
ϕ(P, Q) =
−1
1
d
1
Z
P (t)Q(t) t =
Q(t)P (t) t = ϕ(Q, P )
−1
2
Z
ϕ(λP1 + µP2 , Q)
d
1
=
−1
d
1
Z
=
λ
Z
Z
1
ϕ est positive :
Z
d
1
d
P 2 (t) t = 0
−1
=⇒
d
P2 (t)Q(t) t = λϕ(P1 , Q) + µϕ(P2 , Q)
P 2 (t) t > 0
−1
=⇒
(λP1 (t)Q(t) + µP2 (t)Q(t)) t
−1
−1
ϕ(P, P ) =
ϕ(P, P ) = 0
d
1
1
P1 (t)Q(t) t + µ
−1
ϕ est dénie :
Z
(λP1 + µP2 )(t)Q(t) t =
car t 7→ P (t) est continue et positive sur [−1, 1]
∀t ∈ [−1, 1], P 2 (t) = 0
2
Toutes les conditions sont vériées et en conclusion :
ϕ dénit un produit scalaire sur E .
2. On commence tout d'abord par construire une famille orthogonale (Q , Q , Q , Q ), avec :
0
1
Q0
=
1
Q1
=
X + αQ0
Q2
= X 2 + β1 Q1 + β0 Q0
Q3
= X 3 + γ2 Q2 + γ1 Q1 + γ0 Q0
Il reste à déterminer les coecients α, β , β , γ , γ , γ
0
1
0
1
2
∈R
3
, à l'aide des produits scalaires :
0 = (Q0 | Q1 ) = (Q0 | X) + α(Q0 | Q0 )
10
2
Ce qui donne :
Z
D'où Q
1
1
d
t t
(Q0 | X)
−1
α=−
=−
= 0,
(Q0 | Q0 )
(Q0 | Q0 )
=X
. Ensuite :
(intégrale d'une fonction impaire entre − 1 et 1.)
0 = (Q2 | Q0 ) = (X 2 | Q0 ) + β1 (Q1 | Q0 ) + β0 (Q0 | Q0 )
| {z }
=0
2
0 = (Q2 | Q1 ) = (X | Q1 ) + β1 (Q1 | Q1 ) + β0 (Q0 | Q1 )
| {z }
=0
Ce qui donne :
Z
1
(X 2 | Q0 )
β0 = −
= − Z−11
(Q0 | Q0 )
−1
D'où Q
2
= X2 −
1
3
d
dt
t2 t
1
Z
et
1
=−
3
d
t3 t
(X 2 | Q1 )
−1
β1 = −
=−
=0
(Q1 | Q1 )
(Q1 | Q1 )
. Enn :
0 = (Q3 | Q0 ) = (X 3 | Q0 ) + γ2 (Q2 | Q0 ) + γ1 (Q1 | Q0 ) + γ0 (Q0 | Q0 )
| {z }
| {z }
=0
=0
0 = (Q3 | Q1 ) = (X 3 | Q1 ) + γ2 (Q2 | Q1 ) + γ1 (Q1 | Q1 ) + γ0 (Q0 | Q1 )
| {z }
| {z }
=0
=0
3
0 = (Q3 | Q2 ) = (X | Q2 ) + γ2 (Q2 | Q2 ) + γ1 (Q1 | Q2 ) + γ0 (Q0 | Q2 )
| {z }
| {z }
=0
Ce qui donne :
Z
γ2 = γ0 = 0
et
=0
1
(X 3 | Q1 )
γ1 = −
= − Z−1
1
(Q1 | Q1 )
−1
D'où
d 3
=−
5
t dt
t4 t
2
. On en déduit une base orthonormale (P , P , P , P ) =
2
(Q | Q ) = 2, (Q | Q ) = , et :
3
0
3
Q3 = X − X
5
3
0
1
0
1
2
3
Q0
Q1
Q2
Q3
,
,
,
kQ0 k kQ1 k kQ2 k kQ3 k
1
d 25 − 92 = 458
Z
2
6
8
(Q | Q ) = (Q | X − 3/5Q ) = (Q | X ) =
(t − 3/5t ) dt = −
=
7 25
175
L'orthonormalisée de Schmidt de la famille (1, X, X , X ) est la famille :
(Q2 | Q2 )
(Q2 | X 2 − 1/3Q0 ) = (Q2 | X 2 ) =
=
Z
1
(t4 − 1/3t2 ) t =
−1
1
3
3
3
3
1
3
3
6
4
−1
2
(P0 , P1 , P2 , P3 ) =
1
√ ,
2
r
3
3
X,
2
2
3
r r !
5
1
5 7
3
2
3
X −
,
X − X
2
3
2 2
5
Correction de l'exercice 11 N
1. On sait que →−x − p(→−x ) ∈ H donc il existe λ ∈ R tel que →−x − p(→−x ) = λ→−u . Il reste à exprimer λ :
⊥
−
−
−
−
−
(→
x − p(→
x )|→
u ) = λ(→
u |→
u)=λ
| {z }
=1
11
, avec
D'où :
−
−
−
−
−
−
λ = (→
x |→
u ) − (p(→
x )|→
u ) = (→
x |→
u)
| {z }
En conclusion :
=0
−
−
−
−
−
p(→
x)=→
x − (→
x |→
u )→
u
Autrement dit, le projeté
orthogonal de→− →−x sur l'hyperplan H orthogonal à →−u est la diérence entre →−x et le
→
−
projeté orthogonal de x sur la droite R u .
2. (a) On va déterminer l'expression du projeté orthogonal p(→−x ) d'un vecteur →−x = x →−e + x →−e + x →−e + x →−e
sur l'hyperplan P par les deux méthodes suivantes :
À partir d'un vecteur unitaire orthogonal au plan P .
Il est clair
que le→−vecteur→−→−v = →−e →−− →−e + →−e − →−e est un vecteur normal au plan P , puisque si on note
→
−
→
−
x = x e + x e + x e + x e , alors :
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2
3
2
2
3
3
4
4
4
4
→
−
x ∈ P ⇐⇒ x1 − x2 + x3 − x4 = 0
→
−
v
1 −
→
−
−
−
−
u = →
= (→
e1−→
e2+→
e3−→
e 4)
2
k−
vk
On choisit alors
1
−
−
(→
v |→
x)=0
⇐⇒
. Alors :
1
−
−
−
−
−
−
−
p(→
x)=→
x − (→
x |→
u )→
u =→
x − (x1 − x2 + x3 − x4 )→
u
2
−
→
−
−
−
−
p(→
x)
e ,→
e ,→
e ,→
e )
On en déduit les coordonnées de

dans la base


x1
 x2  1 
→
−


p( x ) : 
 x3  − 4 
x4
Autrement, dit :
1
2

3
4

x1 − x2 + x3 − x4

−x1 + x2 − x3 + x4 
= 1

x1 − x2 + x3 − x4
4
−x1 + x2 − x3 + x4

3
1
1
Matε p = 
4  −1
1
1
3
1
−1
−1
1
3
1
:

3x1 + x2 − x3 + x4
x1 + 3x2 + x3 − x4 

−x1 + x2 + 3x3 + x4 
x1 − x2 + x3 + 3x4

1
−1 

1 
3
Correction de l'exercice 13 N
On sait que pour le produit scalaire de l'exercice 10, le carré de la distance euclidienne associée est donné par :
Z
kP − Qk =
P (x) − Q(x) dx
Il s'ensuit qu'on peut écrire : Z
(x − ax − bx − cx − d) dx = kP − Q
k
avec P = X , et Q = aX + bX + cX + d ∈ F .
Le minimum de cette distance est atteint lorsque Q est le projeté orthogonal de P sur F . En reprenant la base
orthonormée (P , P , P , P ), ce projeté est donné par :
1
2
2
−1
1
4
3
2
2
a,b,c,d
2
−1
4
3
a,b,c,d
2
a,b,c,d
0
1
2
p(P )
3
=
=
=
p(P )
=
(X 4 | P0 )P0 + (X 4 | P1 )P1 + (X 4 | P2 )P2 + (X 4 | P3 )P3
Z
Z
45 1 6 t4
1
1 1 4
2
t t+
(t − ) t X −
2 −1
8 −1
3
3
1 45 2
2
1
1 45
16
1 6
1
2
2
+
−
X −
= +
×
= +
X −
5
8 7 15
3
5
8
105
5 7
3
6 2
3
X −
7
35
d
d
Le minimum de l'intégrale est réalisé pour a = c = 0, b = 67 , et d = − 353 .
12