Exercice composition n1

Exercice de la composition : Spécialité maths TS
On se propose de déterminer les couples (n ; m) de nombres entiers naturels
non nuls vérifiant la relation :
(F)
7n - 3×2m = 1.
Partie 1
On suppose dans cette partie que m ≤ 4.
1- Montrer dans cette situation qu’il y a exactement deux couples de
solutions qu’on donnera.
Partie 2
On suppose ici que m ≥ 5.
1- En posant m = 5 + p, avec p entier naturel, montrer que si le couple (n ;
m) vérifie la relation (F), alors
7n ≡ 1 (modulo 32).
2- Etudier suivant les valeurs de n les restes de la division euclidienne de 7n
par 32.
3- Montrer alors que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F), alors n est
divisible par 4.
4- En déduire que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F), alors :
7n ≡ 1 (modulo 5).
5- Pour m ≥ 5, existe-t-il des couples (n ; m) de nombres entiers naturels non
nuls vérifiant la relation (F) ? Justifier.
1
Exercice de la composition : Spécialité maths TS
CORRECTION
Partie 1

Pour m = 1, (F)

7n = 1 + 321 = 1 + 6 = 7

7n =1 + 32² = 1 + 12 = 13
Donc n = 1

Pour m = 2, (F)
Pas de valeur possible pour n

Pour m = 3, (F)

7n =1 + 323 = 1 + 24 = 15
Pas de valeur possible pour n

Pour m = 4, (F)

7n =1 + 324 = 1 + 48 = 49
Donc n = 2

Donc pour m ≤ 4, les couples solutions sont (n ,m) = (1,1) et (n,m) = (2,4)
Partie 2
1) Si m ≥ 5, alors l’entier p tel que m = p + 5 est positif.
Alors 32m = 32p+5 = 32p25 = 3232p
Comme 32p est un entier, alors 32m  0 (modulo 32)
et donc comme 7n = 1 + 32m alors 7n  1 (modulo 32).
2) 71 = 7  7 (modulo 32)
72 = 49  17 (modulo 32)
73  717  119  23 (modulo 32)
74  723  161  1 (modulo 32)
Conjecture : pour k entier naturel non nul :

Si n = 4k alors 74k  1 (modulo 32) ;

Si n = 4k + 1 alors 74k+1  7 (modulo 32)

Si n = 4k + 2 alors 74k+2  17 (modulo 32)

Si n = 4k + 3 alors 74k+3  23 (modulo 32)
Démonstration :

74k = (74)k = 2401k
Or 2401  1 (modulo 32).
Donc 2401k  1k  1 (modulo 32)
Donc 74k  1 (modulo 32)

74k+1 = 74k7  1 7  7 (modulo 32)

74k+2 = 74k+17  77  49  17 (modulo 32)

74k+3 = 74k+27  497  343  23 (modulo 32)
2
Exercice de la composition : Spécialité maths TS
CORRECTION
3) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors 7n  1 (modulo 32) d’après la question 1).
Donc n est de la forme 4k avec k entier naturel non nul (d’après la question
2)).
Donc n est divisible par 4.
4) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors d’après la question précédente, il existe
un entier naturel k non nul tel que n = 4k.
Donc 2n = 24k = 16k.
Or, 16  1 (modulo 5)
Donc, 16k  1k  1 (modulo 5)
Donc 7n  1 (modulo 5)
5) Si (n,m) vérifie l’équation (F) alors d’après la question précédente 7n  1
(modulo 5), donc 32m  7n – 1  1 – 1  0 (modulo 5)
Etudions les restes dans la division euclidienne de 2m par 5.
21  2 (modulo 5)
22  4 (modulo 5)
23  8  3 (modulo 5)
24  16  1 (modulo 5)
Conjecture : pour k entier naturel non nul :

Si n = 4k alors 24k  1 (modulo 5) ;

Si n = 4k + 1 alors 24k+1  2 (modulo 5)

Si n = 4k + 2 alors 24k+2  4 (modulo 5)

Si n = 4k + 3 alors 24k+3  3 (modulo 5)
Démonstration :

24k = (24)k = 16k
Or 16  1 (modulo 5).
Donc 16k  1k  1 (modulo 5)
Donc 24k  1 (modulo 5)

24k+1 = 24k2  1 2  2 (modulo 5)

24k+2 = 24k+12  22  4 (modulo 5)

24k+3 = 24k+22  24  8  3 (modulo 5)
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Exercice de la composition : Spécialité maths TS
CORRECTION
Comme aucun reste n’est un multiple de 5, alors 32m n’est pas non plus un
multiple de 5.
Donc l’équation (F) n’a pas de solution pour m ≥ 5.
Autre argument (non encore vu en cours) :
Comme la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers est
unique et comme la décomposition 32m (2 et 3 sont premiers) ne contient
pas le facteur premier 5, alors 32m ne peut être un multiple de 5.
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