Lycée Jean Perrin Classe de TSI2 Révisions d'oral (4) Sujet 1 Exercice 1 Soit I = Z +∞ 0 dt . t2 + 4t + 3 1. Quelle est la nature de I ? 2. Déterminer (a, b) ∈ R2 tel que 3. Calculer I . a b 1 = + . t2 + 4t + 3 t+1 t+3 4. Question supplémentaire : Calculer J = Exercice2 3 1 1 1 Soit A = .. .. . . 1 1 1. 2. 3. 4. 5. Z 0 ... ... .. . ... +∞ dt . t2 + t + 1 1 1 .. ∈ Mn (R) (avec n > 3). . 1 Dire sans calculs pourquoi A est diagonalisable dans Mn (R). Déterminer le rang de A. Démontrer que 0 est valeur propre d'ordre n − 2. Soient α et β les deux autres valeurs propres de A (éventuellement confondues). Montrer que α + β = n + 2. En prenant en compte Tr(A2 ), déterminer α et β . [1] Sujet 2 Exercice 1 → R . 7 → P (−1)Q(−1) + P 0 (0)Q0 (0) + P 00 (0)Q00 (0) 1. Montrer que φ est un produit scalaire de E . On note E = R2 [X] et φ : E×E (P, Q) 2. Déterminer une base orthonormée de E pour ce produit scalaire. 3. Calculer la distance de X 2 à R1 [X]. Exercice 2 Un train comporte quatre wagons. Un voyageur monte dans le wagon numéro 1 à l'instant 0. À chaque instant n, il change de wagon et va au hasard dans un wagon contigu. On note pi,n la probabilité qu'à l'instant n, il soit dans la wagon i et on note πn le vecteur πn = (p1,n , p2,n , p3,n , p4,n ). 1. Exprimer à l'aide de matrices πn+1 en fonction de πn . En déduire πn+2 en fonction de πn . 2. Que peut-on remarquer pour les suites (p2,2n )n∈N et (p4,2n )n∈N ? Calculer p1,2n et p3,2n . 3. Quand n tend vers +∞, quelles sont les limites des pi,2n et des pi,2n+1 ? [2] 1/2 Lycée Jean Perrin Classe de TSI2 Révisions d'oral (4) Sujet 3 Exercice 1 On lance indéniment une pièce équilibrée. On note An l'événement on obtient au moins une fois la séquence PPF avant le n-ième lancer , et Bn l'événement on obtient pour la première fois la séquence PPF au n-ième lancer . 1. Soit n > 3. Déterminer P (An+1 ∩ An ) en fonction de P (An ) et P (An+1 ∩ An ) en fonction de P (An−2 ). On pourra observer que la suite (An ) est croissante au sens de l'inclusion. 1 8 2. En déduire que pour tout n > 3, P (An+1 ) = P (An ) + (1 − P (An−2 ). 3. Justier la convergence de la suite P (An ) n∈N et déterminer sa limite. 4. Exprimer An en fonction des Bk . Quelle est la probabilité d'obtenir la séquence PPF au cours de l'expérience ? Exercice 2 On pose : ∀n > 2, un = n X ln k k=2 k . ln t . t Z k+1 Z k ln t ln t ln k En déduire que : ∀k > 4, dt 6 6 dt. t k k k−1 t 2. Déduire de la question précédente un encadrement de un , puis un équivalent de un quand n tend vers l'inni. X un . 3. Déterminer la nature de la série n2 1. Étudier le sens de variation de la fonction : t 7→ [3] 2/2