Théorie algébrique des nombres Feuille d`exercices n 5

Université Bordeaux I
Master de Mathématiques 1ère année
Second semestre
Théorie algébrique des nombres
Feuille d’exercices n◦ 5
Exercice 1. La fonction z 7→ ezz−1 est développable en série entière au voisinage de 0 : il
existe (Bn )n∈N ∈ QN et R ∈ R>0 tels que
z
ez −1
=
+∞
X
Bn z n
n!
n=0
pour |z| < R. Le nombre Bn s’appelle le n-ième nombre de Bernoulli.
(1) Montrer que B2n+1 = 0 pour tout n ∈ N>0 .
n+1
(2) Montrer que pour tout n ∈ N, on a ζ(−n) = (−1)n Bn+1
(on utilisera la formule du
R
s−1
z
2iπs
cours (e
− 1)Γ(s)ζ(s) = I(s) := Hr,ε es −1 dz, où Hr,ε est le contour habituel de la
demi-doite [0, +∞[).
(3) En utilisant l’équation fonctionnelle, montrer que pour tout n ∈ N>0 , on a
2n
ζ(2n) = − (2iπ)
B2n
2(2n)!
Exercice 2. Une preuve élémentaire des formules d’Euler sur les valeurs de ζ(2n), d’après
Calabi et Zagier.
(1) Soit S =]0, 1[2 ⊂ R2 . En développant la fonction (x, y) 7→ 1−x12 y2 en série sur S,
R dx dy
2
3ζ(2)
montrer que I := S 1−x
. Montrer que I = π8 (on utilisera le changement
2 y2 =
4
sin(u) sin(v) , cos(u) , qui induit une bijection T := u, v ∈
de variables (u, v) 7→ (x, y) = cos(v)
2
R>0 , u + v < π2 → S). En déduire que ζ(2) = π6 .
(2) Soit k ≥ 4 un entier pair. Pour m, n ∈ N>0 , on pose
k−2
f (m, n) =
1X
1
1
1
+
+
mnk−1 2 r=2 mr nk−r mk−1 n
Montrer que
f (m, n) − f (m + n, n) − f (m, m + n) =
X
0<j<k
2|j
et en déduire que
X
0<j<k
2|j
ζ(j)ζ(k − j) =
puis que ζ(2n) ∈ π 2n Q× pour tout n ∈ N>0 .
1
k+1
ζ(k)
2
1
mj nk−j
2
P (ln(x))n
est une primitive
Exercice 3. Montrer que la fonction f : x 7→ ln |ln(x)|+ ln(x) +
nn!
n≥2
R
x dt
1
x
de x 7→ ln(x)
sur ]0, +∞[. En déduire que 2 ln(t)
=: Li(x) ∼ ln(x)
.
Exercice 4. On note P l’ensemble des nombres premiers. Si p ∈ P et n ∈ N>0 , on note
vp (n) = max{r ∈ N, pr | n} la valuation p-adique de n. Si x ∈ R, on note ⌊x⌋ ∈ Z la
partie entière de x, i.e. le plus grand entier ≤ x, et
X
X
ln(p)
1 = #{p ∈ P, p ≤ x}
et
φ(x) =
π(x) =
p∈P
p≤x
p∈P
p≤x
φ(x)
(1) Montrer que pour tout α ∈]0, 1[, et tout x > 1, on a ln(x)
≤ π(x) ≤ αφ(x)
+ xα
ln(x)
(pour la majoration, on séparera les p premiers ≤ xα et ceux appartenant à l’intervalle
]xα , x]).
Q
(2) On veut montrer que (∀x ∈ [2, +∞[)
p ≤ 4x−1 . On peut bien sûr supposer x enp∈P
p≤x
tier. On procède par récurrence sur x, le cas x = 2 étant trivial. Expliquer
Q
Qpourquoi
Q on
peut supposer x = 2n + 1 premier impair. Conclure en écrivant
p=
p
p
et en comparant le deuxième facteur au coefficient binômial
(3) En déduire que lim sup π(x)xln(x) ≤ 2 ln(2).
p∈P
p≤x
2n+1
.
n
p∈P
p≤n
p∈P
n+1<p≤x
π(x) ln(x)
x
≥ ln(2).
x→∞
(4) Soient m ∈ N>0 et p premier. Montrer que vp (m!) =
(5)
(6)
(7)
(8)
+∞
P
k=1
m
pk
.
Montrer que (∀x ∈ R) θ(x) := ⌊2x⌋ − 2⌊x⌋ ∈ {0, 1}.
Soit n ∈ N>0 . Montrer
que pr | 2n
⇒ pr ≤ 2n.
n
En déduire que 2n
≤ (2n)π(2n) .
n
n
Montrer que n > 1 ⇒ 2n
> 24√n (on procédera par récurrence).
n
x
(9) En déduire que ln(2) ln(x)
− 2 < π(x) pour x ≥ 3, puis que lim inf
x→∞
Exercice 5. Pour n ∈ N>0 , on note pn le n-ième nombre premier. Sachant que π(x) ∼
montrer que pn ∼ n ln(n).
x
,
ln(x)
(1) Soient (an )n∈N>0 et (bn )n∈N>0 deux suites à valeurs complexes. Pour
+∞
P
P an
n ∈ N>0 , on pose cn =
ad bn/d ∈ C. On suppose que les séries de Dirichelet f (s) =
ns
Exercice 6.
n=1
d|n
et g(s) =
+∞
P
n=1
bn
ns
sont absolument convergentes pour Re(s) > r. Montrer qu’il en est de
même de la série de Dirchelet
+∞
P
n=1
cn
,
ns
et qu’elle vaut f (s)g(s).
3
(2) Supposons l’application n 7→ an non nulle et multiplicative 1. Soit s ∈ C tel que la
+∞
P an
soit absolument convergente. Montrer que pour tout p premier, la
série f (s) =
ns
série Up (s) :=
n=1
+∞
P apk
k=1
pks
est absolument convergente, que le produit
Q
(1 + Up (s)) converge
p∈P
absolument et vaut f (s) (où P désigne l’ensemble des nombres premiers).
(3) Montrer :
+∞
P µ(n)
1
=
;
(i) si Re(s) > 1, on a ζ(s)
ns
n=1
(ii) si α ∈ R et Re(s) > max(1, 1 + α), on a ζ(s)ζ(s − α) =
(iii) si Re(s) > 2, on a
ζ(s−1)
ζ(s)
(iv) si Re(s) > 1, on a
P+∞
2 m
m=0 (m + 1) z ).
=
ζ(s)4
ζ(2s)
+∞
P
ϕ(n)
ns
=
+∞
P
n=1
n=1
+∞
P
n=1
σα (n)
,
ns
avec σα (n) =
P
dα ;
1+z
(1−z)3
=
d|n
;
σ0 (n)2
ns
(on montrera que (∀z ∈ D(0, 1))
Exercice 7. On tire au hasard deux entiers a, b ∈ N>0 . Montrer que la probabilité qu’il
soient premiers entre eux vaut π62 .
√
Exercice 8. Soient d ∈ Z \{0, 1} sans facteur carré, K = Q( d) et dK son discriminant
absolu.
(1) Pour p premier, décrire soigneusement la façon dont p se décompose
dans OK (at
dK
tention au cas p = 2...), en fonction du symbole de Legendre p .
(2) Pour simplifier, on suppose d impair 2. Écrivons |d|= p1 · · · pr avecp1 , . . . , pr premiers
n
(distincts par hypothèse). Pour n ∈ Z on pose |d|
= pn1 · · · pnr , ce qui définit un
caractère de Dirichelet modulo |d|
(appelé symbole de Jacobi ). Si d ≡ 1 mod 4 Z, on
n
a dK = d, et on pose χ(n) = |d| . Si d ≡ 3 mod 4 Z, on a dK = 4d : on dispose donc
du composé
(Z /dK Z)× ≃ (Z /d Z)× × (Z /4 Z)× ։ (Z /4 Z)× ≃ {±1}
n
c’est un caractère de Dirichelet modulo dK qu’on note η, et on pose χ(n) = η(n) |d|
.
Dans tous les cas, χ : Z → {−1, 0, 1} est un caractère de Dirichelet modulo dK . Dans
chacun des cas considérés en (1), calculer χ(p) (pour p ∤ 4d, on l’exprimera comme
un symbole de Legendre, en utilisant la formule de réciprocité quadratique : pour p, q
(p−1)(q−1)
4
).
premiers impairs, on a pq pq = (−1)
Q
1
1
(3) En déduire que pour tout p premier, on a
= 1−p1 −s 1−χ(p)p
−s , puis que
1−NK/ Q (p)−s
p|p
ζK (s) = ζ(s)L(s, χ) (où L(s, χ) est la fonction L de Dirichelet associée au caractère
χ).
1. Ie telle que pgcd(m, n) = 1 ⇒ amn = an am .
2. Il faut se fatiguer un peu plus sinon.
4
Exercice 9. Soit a ∈ N>0 . On veut montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers
de la forme an + 1 avec n ∈ N>0 .
(1) Soit p un nombre premier ne divisant pas a. Montrer que p ≡ 1 mod a Z ⇔ Φa (X)
a une racine dans Fp .
(2) Procéder par l’absurde en supposant qu’il n’y a qu’un nombre fini p1 , . . . , pr d’entiers
premiers congrus à 1 modulo a, et en considérant Φa (ap1 · · · pr ).