GLMA403 - FICHE N 2A CPUS 2013

GLMA403 - FICHE N◦ 2A
CPUS 2013-2014
GROUPES - GÉNÉRALITÉS
EXERCICE 1.
Pour chacune des lois suivantes, dire si elle est associative, et/ou commutative et le démontrer.
x
1) Sur R∗ , (x, y) 7→ .
y
∗
2) Sur N , (a, b) 7→ a ∧ b.
3) Sur N, (n, m) 7→ max(n, m) + 3.
4) Sur N, (n, m) 7→ r où r est le reste de la division de n + m par 10.
p
5) Sur R, (x, y) 7→ x2 + y 2 .
EXERCICE 2.
Montrer que les couples (G, ?) suivants forment des groupes commutatifs.
1) G = R, et x ? y = x + y − 2.
x+y
2) G =] − 1, 1[ et x ? y =
.
xy + 1
3) G =] − 1, +∞[ et x ? y = x + y + xy.
p
4) G = R et x ? y = 3 x3 + y 3 .
EXERCICE 3.
Soit H = {M ∈ M2 (R) | det(M) = ±1}. Montrer que (H, ×) est un sous-groupe non commutatif de (GL2 (R), ×).
EXERCICE 4.
Soit G = {a, b} un goupe à deux éléments. Supposons que a est l’élément neutre du groupe. Trouver tous les produits
aa, ab, ba et bb.
EXERCICE 5.
Soit G = {e, g1 , g2 } un groupe à trois éléments, où on a noté e l’élément neutre. Montrer que g1 g2 = e et g2 g1 = e. En
déduire que g12 = g2 et g22 = g1 . Calculer g13 et g23 .
EXERCICE 6.
Soient H1 , . . . , Hk des sous-groupes d’un groupe G. Montrer que
k
\
Hi est un sous-groupe de G.
i=1
EXERCICE 7.
Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si
H ⊂ K ou K ⊂ H.
EXERCICE 8.
Montrer que si tous les éléments d’un groupe vérifient x2 = 1, alors ce groupe est abélien.
EXERCICE 9.
Soit A et B deux sous-groupes d’un groupe commutatif G. Montrer que AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} est un sous-groupe
de G.
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GLMA403 - FICHE N◦ 2B
CPUS 2013-2014
GROUPES - GROUPE ENGENDRÉ ET ORDRE
EXERCICE 10.
Soit G = {e, a, b, c} un groupe à quatre éléments, où on a noté e l’élément neutre.
1) Montrer que l’ordre de chacun des éléments a, b, c est soit 2 soit 4.
2) Si a est d’ordre 4, montrer que b = a2 et c = a3 , ou bien b = a3 et c = a2 .
3) Si a, b et c sont tous d’ordre 2, montrer que ab = ba = c, ac = ca = b et bc = cb = a.
4) En déduire que tous les groupes d’ordre 4 sont commutatifs.
EXERCICE 11.
Soit G un groupe à 5 éléments. Soit e l’élément neutre de G. Soit a ∈ G un élément différent de e. Montrer que l’ordre
de a est 5, et que G peut s’écrire G = {e, a, a2 , a3 , a4 }. Quel est l’inverse de a3 ? En déduire que tout groupe d’ordre 5
est commutatif.
EXERCICE 12.
Soit G l’ensemble des permutations de l’ensemble J1, 3K (autrement dit l’ensemble des application bijectives de J1, 3K
dans lui-même). Montrer que, muni de la loi de composition des applications, G est un groupe non-commutatif à 6
éléments.
EXERCICE 13.
Soit H l’ensemble formé des matrices :
!
!
!
1 0
1 0
−1 0
,
,
,
0 1
0 −1
0 −1
−1 0
0
!
1
,
0 i
i 0
!
,
0 −i
i
0
!
,
0
−i
−i
0
!
,
0
i
−i 0
!
.
Montrer que, pour la multiplication des matrices dans M2 (C), H est un sous-groupe non commutatif à 8 éléments.
EXERCICE 14.
Soient a et b deux éléments d’un groupe G d’ordres respectifs m et n et tels que m et n sont premiers entre eux.
Montrer que, si ab = ba, alors l’ordre de ab est mn.
EXERCICE 15.
Soient x et y deux éléments d’un groupe G. Montrer que xy et yx ont le même ordre.
Indication : Distinguer les cas des ordres finis et infinis.
EXERCICE 16.
Soient G un groupe et H une partie non vide finie de G. On suppose que HH ⊆ H.
1) Montrer que, si x ∈ H, alors pour tout n ∈ N∗ , xn ∈ H.
2) Utiliser le principe des tiroirs pour montrer que 1 ∈ H.
3) Montrer enfin que H est un sous-groupe de G.
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GLMA403 - FICHE N◦ 2C
CPUS 2013-2014
GROUPES - MORPHISMES
EXERCICE 17.
(
G → G
. Montrer que h est un morphisme de groupes et trouver son noyau.
x 7→ x2
(
G → G
. Montrer que h est un morphisme de groupes et déterminer l’ordre de son
x 7→ x6
Soit G = (R∗ , ×) et h :
EXERCICE 18.
Soit G = (C∗ , ×) et h :
noyau.
EXERCICE 19.
Soit G un groupe. Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que x 7→ x−1 soit un endomorphisme de G.
EXERCICE 20.
Soit a ∈ R. On définit sur R\{a} la loi de composition x ? y = xy − ax − ay + a2 + a = (x − a)(y − a) + a. Montrer que
(R\{a}, ?) est un groupe abélien isomorphe à (R∗ , ×).
EXERCICE 21. Déterminer tous les endomorphismes du groupe (Z, +).
EXERCICE 22.
Soient G un groupe abélien et H, K deux sous-groupes de G. Montrer que f : (h, k) 7→ hk est un morphisme de
H × K dans G. Décrire le noyau de f , et montrer qu’il est isomorphe au groupe H ∩ K.
EXERCICE 23.
Soit G un groupe.
1) Si g ∈ G, on pose fg : G → G définie par fg (x) = gxg −1 . Montrer que fg est un automorphisme de G. On appelle
un tel automorphisme un automorphisme intérieur de G, et on note Int(G) l’ensemble des automorphismes
intérieurs de G.
2) Montrer que fgg0 = fg ◦ fg0 , et en déduire que Int(G) est un sous-groupe de Aut(G).
(
G → Aut(G)
3) On pose F :
. Montrer que le noyau de F est le centre Z de G.
g 7→
fg
EXERCICE 24.
Montrer que les groupes (Q, +) est (Q∗+ , ×) ne sont pas isomorphes (indication : penser à
3
√
2).
GLMA403 - FICHE N◦ 2D
CPUS 2013-2014
GROUPES - GROUPE QUOTIENT
EXERCICE 25.
Soit A l’ensemble de toutes les droites affines du plan.
1) La relation “xRy si x est orthogonale à y” est-elle réflexive ? symétrique ? transitive ?
2) Montrer que la relation “xR0 y si x est soit orthogonale soit parallèle à y” est une relation d’équivalence.
3) Soit X une classe d’équivalence pour cette relation R0 . Sur X on définit une relation d’équivalence en posant
“xR00 y si x est parallèle ou égale à y”. Quel est le cardinal de X/R00 ?
EXERCICE 26.
Soient G, G0 deux groupes commutatifs, e l’élément neutre de G. Posons H = G × G0 et H 0 = {e} × G0 . Montrer que
H/H 0 est isomorphe à G.
EXERCICE 27.
Soit G un groupe, posons H = G × G.
1) Montrer que H 0 = {(g, g), g ∈ G} est un sous-groupe de H.
2) Montrer que H 0 est isomorphe à G.
3) Montrer que si G est commutatif, H/H 0 est isomorphe à G.
EXERCICE 28.
Soit G le sous-groupe des racines nèmes de l’unité de C∗ .
1) Montrer que G est isomorphe à Z/nZ.
2) Si H est un sous-groupe d’ordre n de C∗ , montrer que H = G.
3) Montrer que C∗ /G est isomorphe à C∗ .
EXERCICE 29.
Soit G un groupe commutatif et T (G) l’ensemble des éléments de G d’ordre fini.
1) Montrer que T (G) est un sous-groupe de G.
2) Montrer que le seul élément d’ordre fini de G/T (G) est l’élément neutre.
3) Montrer que si H est un sous-groupe de G tel que le seul élément d’ordre fini de G/H soit l’élément neutre, alors
T (G) ⊂ H.
4) Calculer T (R/Z).
EXERCICE 30.
Soit G un groupe commutatif, et soient H et K deux sous-groupes de G.
1) Montrer que HK est un sous-groupe de G.
2) Montrer que K est un sous-groupe de HK.
3) Montrer que H ∩ K est un sous-groupe de H.
4) Montrer que les groupes HK/K et H/H ∩ K sont isomorphes.
EXERCICE 31.
Soient G et G0 deux groupes commutatifs, H et H 0 des sous-groupes de G et G0 respectivement. Soit ϕ : G → G0 un
morphisme de groupes tel que ϕ(H) = H 0 . Si x ∈ G, notons x sa classe dans G/H, et si y ∈ G0 , notons ŷ sa classe
[ est bien défini, que φ est un morphisme de groupes, que son
dans G0 /H 0 . Montrer que φ : G/H → G0 /H 0 , x →
7 ϕ(x)
noyau est égal à ϕ−1 (H 0 )/H et son image à Im ϕ/H 0 .
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GLMA403 - FICHE N◦ 2E
CPUS 2013-2014
GROUPES - INDICATRICE D’EULER ET GROUPES CYCLIQUES
EXERCICE 32.
Calculer ϕ(24), ϕ(224), ϕ(256), ϕ(10!).
EXERCICE 33.
1) Trouver un n ∈ N∗ tel que ϕ(n + 1) < ϕ(n).
2) Trouver un n ∈ N∗ tel que ϕ(n + 1) > 2ϕ(n).
3) Trouver un n ∈ N∗ tel que ϕ(n + 1) + 12 6 ϕ(n).
EXERCICE 34.
Exprimer ϕ(2n) en fonction de ϕ(n).
EXERCICE 35.
Montrer que si n ∈ N∗ est pair, alors ϕ(n) 6
n
n
. Donner un exemple de nombre pair n > 40 tel que ϕ(n) = .
2
2
EXERCICE 36.
Soit n ∈ N∗ impair.
Soient

 Pn
une application f :
k


k
Pn = {k ∈ N∗ | k < n et k ∧ n = 1} et P2n = {k ∈ N∗ | k < 2n et k ∧ 2n = 1}. On définit
→ P2n
7→ k
si k est impair Montrer que f est bien définie et que c’est une bijection.
7→ n + k
si k est pair.
EXERCICE 37.
Montrer que pour tout entier n > 3, ϕ(n) est un nombre pair.
EXERCICE 38.
Soient n ∈ N∗ et G un groupe à n éléments. Soit f : G → C∗ un morphisme de groupe.
1) Montrer que f (G) ⊆ Un .
2) Montrer qu’il existe un diviseur d de n tel que f (G) = Ud .
EXERCICE 39.
Soit G le groupe (C∗ , ×).
1) Quel est le sous-groupe de G engendré par U6 ∪ U9 ?
2) Quel est le sous-groupe de G égal à U6 ∩ U9 ?
EXERCICE 40.
Soit G1 = Z/6Z × Z/2Z et G2 = Z/4Z × Z/3Z. G1 est-il cyclique ? G2 est-il cyclique ?
EXERCICE 41.
Soient m, n ∈ N∗ tels que m ∧ n = 1 et G un groupe cyclique d’ordre mn. Soient Gm = {x ∈ G, xm = 1} et
Gn = {x ∈ G, xn = 1}. Montrer que l’application ϕ : Gm × Gn → G qui à (x, y) associe xy est un isomorphisme de
groupes.
5
EXERCICE 42.
Soit G un groupe fini d’ordre n tel que pour tout diviseur positif d de n, l’ensemble Gd des éléments de G qui sont
d’ordre d soit de cardinal inférieur ou égal à ϕ(d). Montrer que |Gd | = ϕ(d) et que G est cyclique.
EXERCICE 43.
Soit G un groupe d’ordre n > 2. Pour g ∈ G, on note o(g) l’ordre de g. On suppose que pour tout diviseur d de n, G
possède au plus un sous-groupe d’ordre d.
1) Soit d un diviseur de n. Montrer que si l’ensemble Gd = {g ∈ G | o(g) = d} n’est pas vide, alors tout élément de Xd
engendre un sous-groupe d’ordre d. Quel est alors le cardinal de Gd ?
X
Card(Gd ). En déduire que pour tout diviseur d de n, Card(Gd ) = ϕ(d).
2) Pouver que n =
d|n
3) En déduire que G est cyclique.
EXERCICE 44.
Soient G1 et G2 deux groupes, d’ordre m et n respectivement. On suppose que m ∧ n = 1.
Montrer que G1 × G2 est cyclique si et seulement si G1 et G2 sont cycliques. En déduire que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
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