Master en sciences mathématiques THÉORIE DE LA MESURE

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THÉORIE DE LA MESURE
Répétition 1, octobre 2010
Exercice 1. Soit X un ensemble. Déterminer si les systèmes suivants sont des algèbres ou
des σ-algèbres :
1. si X est infini, A := {A ⊆ X : A est fini} ;
2. si X est infini, B := {A ⊆ X : A est fini ou Ac est fini} ;
3. si X n’est pas dénombrable, C := {A ⊆ X : A est dénombrable } ;
4. D := {A ⊆ X : A est dénombrable ou Ac est dénombrable } ;
5. si X = Rd , E := {A ∈ Bd : A est dénombrable ou Ac est dénombrable },
6. si X = R, F := {A ⊆ R : A est un intervalle ou Ac est un intervalle}
A-t-on D = P(X) ? Pourquoi ?
Exercice 2. Soit X un ensemble et A1 ,...,An une partition finie de X. Décrire la σ-algèbre
engendrée par ce système.
Exercice 3. Soit X un ensemble infini. Décrire la σ-algèbre engendrée par la classe des
parties finies de X (resp. par les singletons de X). Qu’en est-il si X est fini ?
Exercice 4 (Sous-σ-algèbre). Soit (X, A) un espace mesurable et A un sous-ensemble non
vide de X. Démontrer que
A|A = {A ∩ B : B ∈ A}
est une σ-algèbre sur A.
Exercice 5.
a) Montrer, à l’aide d’un exemple, que la réunion de deux σ-algèbres n’est
en général pas une σ-algèbre.
b) Soient A et B deux σ-algèbres sur X. Démontrer que l’on a
σ(A ∪ B) = σ({A ∪ B : A ∈ A, B ∈ B})
= σ({A ∩ B : A ∈ A, B ∈ B}).
Exercice 6. Donner unTexemple de suite décroissante d’ensembles (An )n∈N telle que pour
tout n, An est infini et n∈N An = ∅.
Exercice 7. Soit X un ensemble. Démontrer qu’un système D ⊆ P(X) est une classe de
Dynkin si et seulement si
• X ∈ D,
• si A, B ∈ D et A ⊆ B, alors B\A ∈ D,
• si (An )n est une suite croissante d’ensembles de D, alors ∪n An ∈ D.
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THÉORIE DE LA MESURE
Répétition 2, octobre 2010
Exercice 1. Soit X un ensemble fini non vide. Démontrer que la loi
P : P(X) → [0, +∞[ A 7→ #A/#X
est une probabilité sur (X, P(X)) (appelée probabilité de Laplace).
Exercice 2. Soit(X, A) un espace mesurable et x0 ∈ X.
1. Démontrer que la loi
δx0 : A → {0, 1} A 7→ χA (x0 )
est une mesure sur (X, A) (appelée mesure de Dirac).
2. Démontrer que si µ est une mesure sur (X, A) telle que µ(A) = 0 pour tout A ∈ A
vérifiant x0 ∈
/ A, alors µ est un multiple (dans R) de δx0 .
Exercice 3. On considère sur R la σ-algèbre
A = {A ∈ P(R) : A est dénombrable ou Ac est dénombrable}.
Soit µ : A → [0, +∞] définie par
µ(A) =
➝0
si A est dénombrable,
1 sinon.
Montrer que µ est une probabilité sur (R, A).
Exercice 4. Nous considérons l’ensemble R2 et le système
A = {A ∈ P(R2 ) : A ou Ac est inclus dans une union dénombrable de droites}.
1. Montrer que (R2 , A) est un espace mesurable.
2. Soit µ : A → [0, +∞] définie par
µ(A) =
➝0
1
si A est inclus dans une union dénombrable de droites,
sinon.
L’application µ est-elle une probabilité sur (R2 , A) ?
Exercice 5.
1. Soit (X, A) un espace mesurable et (µn )n∈N0 une suite croissante de
mesures : pour tout A ∈ A et pour tout n ∈ N0 , on a µn (A) ≤ µn+1 (A). Démontrer
que µ(A) := limn→+∞ µn (A) définit une mesure sur (X, A).
2. Soit (µn )n∈N0 une suite arbitraire de mesures sur (X, A). Déterminer si l’application
µ(A) = +∞
n=1 µn (A) définit une mesure sur (X, A).
3. Sur l’espace mesurable (N, P(N)), on définit pour tout n ∈ N, νn (A) = #(A ∩
[n, +∞]). Montrer que (νn )∈N est une suite de mesures décroissante sur (N, P(N)).
4. Soit ν : P(N) → [0, +∞] définie par ν(A) = inf n∈N νn (A). S’agit-il d’une mesure
sur (N, P(N)) ? Déterminer ν(N) ainsi que ν({k}) pour tout k ∈ N. On demande de
caractériser complètement ν.
P
Exercice 6. Est-il correct d’affirmer qu’il existe des ouverts denses dans R de mesure de
Lebesgue non nulle aussi petite ou aussi grande que l’on veut ? Pourquoi ?
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THÉORIE DE LA MESURE
Répétition 3, octobre 2010
Nous pouvons définir la notion de mesurabilité pour des applications dont le domaine
et l’image sont des ensembles quelconques de la manière suivante.
Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables et A ∈ A. Une application f : A → Y
est une application mesurable par rapport à A et B si f −1 (B) ∈ A pour tout B ∈ B.
Exercice 1. Soient (X, A), (Y, B) et (Z, C) des espaces mesurables. Soient f : (Y, B) →
(Z, C) et g : (X, A) → (Y, B) des applications mesurables (au sens de la définition donnée
ci-dessus). Démontrer que la composition f ◦ g : (X, A) → (Z, C) est encore mesurable.
Exercice 2. Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables et C une collection de
sous-ensembles de Y telle que σ(C) = B. Montrer qu’une application f : X → Y est
mesurable par rapport à A et B si et seulement si f −1 (B) ∈ A pour tout B ∈ C (il suffit
donc de vérifier la mesurabilité sur un générateur pour démontrer qu’une application est
mesurable).
Exercice 3. En conclure que la continuité entraîne la mesurabilité, c’est-à-dire si (X, B(X))
et (Y, B(Y )) sont deux espaces mesurables et f : X → Y une application continue, alors
f est mesurable par rapport à B(X) et B(Y ).
Exercice 4. Soient (X, A) et (Y, B) des espaces mesurables et (fk )k une suite d’applications mesurables de (X, A) dans (Y, B). Si (Ak )k est une suite d’ensembles disjoints de A
tels que ∪k Ak = X, démontrer que l’application définie au cas par cas par
f : X → Y x 7→ fk (x) si x ∈ Ak
est encore mesurable.
Exercice 5. Soient (Y, d) un espace métrique et (X, A) un espace mesurable. Si (fk )k est
une suite d’applications de X dans Y mesurables par rapport à A et B(Y ) qui converge
ponctuellement vers une fonction f , démontrer que la limite f est encore mesurable.
Exercice 6. On définit une σ-algèbre particulière sur la droite étendue R par B = {B∪C :
B ∈ B, C ⊆ {−∞, +∞}}. Démontrer que l’on a
B = σ({[−∞, x] : x ∈ R}).
Soient (X, A) un espace mesurable, A ∈ A et f une application de A dans R. Montrer
que l’application f est A-mesurable (au sens vu au cours théorique) si et seulement si elle
est mesurable par rapport à A et B (au sens défini ci-dessus).
Exercice 7. Soient (X, A) un espace mesurable et f une application de X dans Rd . Si
(fk )dk=1 désignent les composantes de f , c’est-à-dire f = (f1 , ..., fd ), démontrer que f est
mesurable par rapport à A et Bd si et seulement si les applications fk sont A-mesurables.
Exercice 8. Soit ξ ⊆ P (X) un système quelconque. Démontrer que l’on a
❬
σ(ξ) =
F ⊆ξ
dénombrable
σ(F).
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❘é♣ét✐t✐♦♥ ✹✱ ♥♦✈❡♠❜r❡ ✷✵✶✵
❉é♠♦♥tr❡r q✉❡ t♦✉t ❡♥s❡♠❜❧❡ ♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡ ❞❡ Rd ❡st ❞✬✐♥tér✐❡✉r ✈✐❞❡✳ ❊♥
❞é❞✉✐r❡ q✉❡ t♦✉t ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝♦♠♣❧é♠❡♥t❛✐r❡ ♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡ ❡st ❞❡♥s❡✳
❊①❡r❝✐❝❡ ✶✳
❉♦♥♥❡r ❞❡✉① ❢♦♥❝t✐♦♥s ❇♦r❡❧✲♠❡s✉r❛❜❧❡s f ✱g : R → R q✉✐ s♦✐❡♥t é❣❛❧❡s s✉r
✉♥ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡♥s❡ ❞❡ R ♠❛✐s q✉✐ ❞✐✛èr❡♥t L✲♣r❡sq✉❡ ♣❛rt♦✉t s✉r R✳
❊①❡r❝✐❝❡ ✷✳
P+∞❙♦✐t (xn )n∈N ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ♥♦♠❜r❡s ré❡❧s✳ ❖♥ ❞é✜♥✐t ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ µ s✉r (R, B)
❊①❡r❝✐❝❡ ✸✳
0
♣❛r µ = n=1 δxn ✳ ▼♦♥tr❡r q✉❡ ❞❡✉① ❢♦♥❝t✐♦♥s f ✱g : R → R s♦♥t é❣❛❧❡s µ✲♣r❡sq✉❡ ♣❛rt♦✉t
s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ f (xn ) = g(xn ) ♣♦✉r t♦✉t n ∈ N0 ✳
❊①❡r❝✐❝❡ ✹✳
❉é♠♦♥tr❡r q✉❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ f : R → R ❞é✜♥✐❡ ♣❛r
➝
f (x) =
1
0
s✐ x ∈ Q
s✐ x ∈/ Q✳
♥✬❡st ❝♦♥t✐♥✉❡ ♥✉❧❧❡ ♣❛rt✱ ❡t q✉❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ g : [0, 1] → [0, 1] ❞é✜♥✐❡ ♣❛r
✭
g(x) =
s✐ x = pq ♦ù p ❡t q s♦♥t ♣r❡♠✐❡rs ❡♥tr❡ ❡✉① ❡t q > 0✱
s✐ x = 0 ♦ù x ∈/ Q
1
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0
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❛✮ ❙♦✐❡♥t (X, A, µ) ❡t (Y, B, ν) ❞❡✉① ❡s♣❛❝❡s ♠❡s✉rés✳ ❙♦✐t E ⊆ X ✉♥
❡♥s❡♠❜❧❡ µ✲♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡✳
❙ P♦✉r t♦✉t x ∈ E ✱ s♦✐t Ax ⊆ Y ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ν ✲♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡✳
P❡✉t✲♦♥ ❛✣r♠❡r q✉❡ x∈E Ax ❡st ❡♥❝♦r❡ ♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡ ❄ ❏✉st✐✜❡r✳
❜✮ ❙♦✐❡♥t E ❡t F ❞❡✉① s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡s ♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡s ❞❡ Rd ✭♣❛r r❛♣♣♦rt à ❧❛ ♠❡s✉r❡
❞❡ ▲❡❜❡s❣✉❡✮✳ ❊st✲❝❡ q✉❡ ❧❛ s♦♠♠❡ E + F = {x + y : x ∈ E, y ∈ F } ❡st ❡♥❝♦r❡
♥é❣❧✐❣❡❛❜❧❡ ❄ ❏✉st✐✜❡r✳
❊①❡r❝✐❝❡ ✺✳
❙♦✐❡♥t (X, A, µ) ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ♠❡s✉ré ❡t f ✱g ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞❡ L1 (X, A, µ, R)✳
❉é♠♦♥tr❡r q✉❡ ❧❡s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s f ∧ g ❡t f ∨ g ❛♣♣❛rt✐❡♥♥❡♥t ❡♥❝♦r❡ à L1 (X, A, µ, R)✳
❊①❡r❝✐❝❡ ✻✳
❙♦✐❡♥t (X, A, µ) ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ♠❡s✉ré ❡t (Am )m∈N0 ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞✬é❧é♠❡♥ts ❞❡ A
❞❡✉① à ❞❡✉①P
❞✐s❥♦✐♥ts✳ ❖♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ✉♥❡ s✉✐t❡ ♥✉♠ér✐q✉❡ (cm )m∈N0 ✳ ❉é♠♦♥tr❡r q✉❡
❛✮ fc := +∞
m=1 cm χAm ❡st ❞é✜♥✐❡ ♣❛rt♦✉t s✉r X ✱
P
❜✮ fc ❡st ✐♥té❣r❛❜❧❡ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ❧❛ s✉✐t❡ ♥✉♠ér✐q✉❡ +∞
m=1 |cm |µ(Am ) ❝♦♥✈❡r❣❡✱
❛✉q✉❡❧ ❝❛s ♦♥ ❛
❊①❡r❝✐❝❡ ✼✳
❩
❳
+∞
fc dµ =
m=1
cm µ(Am ) ❡t
❩
❳
+∞
|fc |dµ =
m=1
|cm |µ(Am ).
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THÉORIE DE LA MESURE
Répétition 5, novembre 2010
Exercice 1. Soit la fonction f définie sur ]0, 1]×]0, 1] par
f (x, y) =
x2 − y 2
(x2 + y 2 )2
Démontrer sur cet exemple que l’on ne peut impunément intervertir les intégrales.
Exercice 2. Soit (X, T ) un espace topologique. Considérons une mesure µ sur l’espace
mesurable (X, B(X)). On définit le support (ou spectre) de µ par
supp(µ) = {x ∈ X : ∀V ∈ Vx ∩ T , µ(V ) > 0}
où Vx désigne le système des voisinages de X. Démontrer que
1. tout ouvert non vide est de mesure µ strictement positive si et seulement si supp(µ) =
X,
2. le support de µ est un fermé de X,
3. si X est un espace métrique séparable et si A ∈ B(X) vérifie A ⊆ X\supp(µ), alors
µ(A) = 0,
4. si X est un espace métrique séparable, pour toute fonction f : X → R µ-intégrable,
on a
❩
❩
f dµ =
f dµ,
X
supp(µ)
5. si X est un espace métrique séparable, démontrer qu’une définition équivalente du
support de µ est donnée comme étant le plus grand fermé C de X vérifiant
Ω ∈ T et Ω ∩ C 6= 0 ⇒ µ(Ω ∩ C) > 0,
6. déterminer le support de la mesure de Lebesgue et de Dirac sur R,
7. déterminer si la réciproque du point 3. est correcte ou non (avec justifications),
8. caractériser l’ensemble des fonctions définies sur R qui sont δx -intégrables (x ∈ R)
ainsi que les valeurs des intégrales.
Exercice 3. Soit (X, A) un espace mesurable tel que {x} ∈ A pour tout x ∈ X. Une
mesure µ sur (X, A) est dite diffuse si µ({x}) = 0 ∀x ∈ X. Elle est dite purement atomique
si ∃S ∈ A : µ(S c ) = 0 et µ({x}) > 0 ∀x ∈ S.
1. Montrer qu’une mesure purement atomique et diffuse est nulle.
2. En considérant l’espace mesurable (R, B), donner un exemple de mesure purement
atomique et un exemple de mesure diffuse (non identiquement nulle).