Solutions élémentaires des opérateurs et +

Séminaire Schwartz
L. S CHWARTZ
Solutions élémentaires des opérateurs ∆ et ∆ + λ
Séminaire Schwartz, tome 2 (1954-1955), exp. no 8, p. 1-8
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Faculté des Sciences de Paris
8-01
-:-:-:-
-Séminaire SCHWARTZ
aux dérivées partielles)
Année 1954/55
(Equations
Exposé n° 8
SOLUTIONS ÉLÉMENTAIRES DES
OPÉRATEURS
0394 et 0394 + 03BB .
(Exposé du 14.1.1955).
L’OPÉRATEUR
RR~
6. DANS
-20142014201420142014-
20142014
L’opérateur 0394
ET ~
2014
’RR~
est in-variant par
différentiel dans R
l’avons déjà calculé (exposé
lui
précédent) :
correspond
appeler 0394 .
que nous continuerons à
,
rateur
rotation, donc il
pour
opé-
un
Nous
~
"
+
part, l’opérateur A
D’autre
~
0~
dans
pond
aussi
un
core
0394 ,
et
pour
T ~
(autrement
dit
sur
est le
transpose
~T~>=T~?>) .
l’opérateur 0394
R ,
sur
de bien
distinguer l’opérateur /B
les distributions. Il est bon de
R+ , on peut étudier les opérateurs 0394
pour n réel ou complexe, quelconque ; c’est seulement
qu’ils auront l’interprétation initialement donnée.
ÉLÉMENTAIRES
élémentaire
rotation (car
DE
a
E
=
on
pour
1
entier
n
~
,
INVARIANTES PAR ROTATION.
exposé antérieur, ~1 possède sûrement
alors
re-
ci-dessus définis même
sur
un
en-
n
les fonctions et
D’après
Donc il lui corres-
:
importera donc toujours, dans
SOLUTIONS
l’opérateur
’R
(/)p
marquer que
de
opérateur différentiel dans
y que nous appellerons
qui est le transposé de celui qui est défini par (l). On a
+
Il
’Rn
dans
E déduit
~
est
une
au
moins
une
solution
solution élémentaire invariante par
0 ~ -. ~ ~ = ~ ) .
Alors
E
est solution
complémentaire de l’origine sur R+ ,
homogène (5=0) ~ on peut d’autre part
c’est
Dans le
rentielle
d2E dt2
que le coefficient de
soit
1
diviser
le caractère
alors,
;
équation diffépar 4 t de façon
une
analytique-ellipti-
dt
opérateur différentiel à coefficients analytiques sur R étant trilorsque le plus hrut coefficient est 1 (voir~Distributions~ tome 1~
que d’un
vial
p.128),
Il lui
E
fonction
une
Rn
correspond dans
[
dans
est
0
de sorte que
analytique de
est
démonstration subsiste
la
saire de faire
(3)
nous
dans
est donc
analytique
opérateur analytique-elliptique dans R ;
pour 6 + À et cela sans qu’il soit nécesélémentaire.
allons calculer cette solution par résolution
n
pour
réel
ou
E(t) .
soit
un
calcul effectif de la solution
aucun
Néanmoins
2 Sn E(2) n-2 , qui
la fonction
A
(0.
dans
t
complexe quelconque. Pour
+
n
complète
de
entier ~.1 ~
.
le calcul n’est pas
fond différent de celui
au
qui
a
été fait dans le
précédent
exposé.
0
Tout d’abord dans
les solutions de
l’équation homogène,
solutions usuelles de
(3)
sont nécessairement les
pour les raisons données
plus haut.
Ces solutions sont données par la formule :
Ce calcul est trivial si
~t
n-2
2
sur
’~
n
n
dans
R
est entier ~ 1 . Car alors la distribution
correspond à la distribution définie par la fonction constante
et alors son laplacien est nul. Mais ce résultat est valable pour
.
quelconque distinct
de tout entier
n-2
.
n
...
t
signifie Pf t
tout entier pair £§ 2
pour
:
pair ~,0
(à
condition de considérer que
.
Rn 0
).
On
a
alors,
pour
n
distinct de
2e nenbre étant
(la dérivée dans le
On a de mené, pour
Donc, pour
prise
distinct de tou t entier
n
pair £ 4 ,
distinct de tout entier
n
usuel, d’où
pair / 4 :
au sens
le
symbole {} ).
on a :
Rj~ pour
et n = 2 (ce que montrerait aussi un calcul direct sur les parties
n = 4
finies) , il est bien valable pour n distinct de tout entier pair .~ 0 .
Conne
B)
nous avons vu
que
était trivial par passage à
ce
dans
Calcul de
+
On
(Ne
a
toujours
oublier que
.
R
est
+
Y ).
la fonction d’Heaviside
Cela
,
pour
C)
n
nous
donne dans
quelconque /
Calcul de
une
pour
avec
bord, 1 n’est pas autre chose que
Alors
J~ ’ R
2 :
variété
une
.
solution élémentaire de
l~ ~
valable
~
.
n=2 .
t
(1)- Rappelons que f(3c)
veut dire la fonction f ou la distribution définie
est une variable muette~ ce que nous exprimerons par
par cette fonction ;
On
le symbole /B .
pourra aussi écrire T(x) pour une distribution qui n’est
veut dire S" . Mais fréquemment nous
pas une fonction ; par exemple
confusion n’est à craindre.
aucune
ce
symbole ~ quand
supprimerons
x
d’où 1~, solution
Cela
nous
C’est
ce
donneJdans Rn
que
nous
pour
n
entier i $ la solution
élémentaire :
l’exposé précèdent.
avions trouvé dans
C) La solution générale de (3) est nécessairement combinaison des solutions
déjà trouvées et d;- .ne distribution H ayant pour support l’origine.
Alors dans
AH
figure
qui n’est jamais nul si
Il
en
terne
avec un
est distinct de tout entier
n
résulte que toute solution de
distinct de tout entier
n
pour
un
(3)
pair £ 2 J
coefficient
pair $ 0 .
est donnée par
et
2 ~ A et B étant des constantes arbitraires. Si n est un entie
pair Ç 0 ~ (10) donne toujours une solution de (3), nais la solution générale
n
pour
de
(3)
En
.
=
n~est pas donnée par
particulier
nérale de
C étan u e consta s arbit a re. C résulta
pour
0394 , dans Rn,
n
(17)c
c
entier
qui
1,
la solution élémentaire la
soit invariante par
rotation,
plus gé-
est donnée par
pouvait d’ railleurs s’obtenir
s
calcul, car toute solution élémentaire diffère de l’une d’entre elles d’une
fonction harmonique ; une telle fonction est analytique, à cause du caractère
analytique-elliptique de 6 , résultant de la considération de l’une de ses
solutions élémentaires. Or il n’y ~, pas d’autres fonctions harmoniques (au sens
usuel, puisque fonctions analytiques) invariantes par rotation, que les constantes, d’après (4).
sans
au
le
En
ce
C
constante arbitraire.
concerne
RECHERCHE DES SOLUTIONS
Nous
cas
(R+)
et
(l’équation
est
équation
une
2
par
n
à
fonction
une
analytique entière
qu’on
tique
une
de Bessel
modifiée) :
fonction de
produit de
on
doit
t
par
remplacer
t
une
par
fonction
r
obtient
dans
[ (Rn)0 ,
une
Bessel,
et
par
donc
?
r2,
est le
t ’ /t
alors
analytique entière
multiplier
de
produit
S~
t ;
en passant
sorte
n r
donc une fonction analyanalytique entière de
laplacien est donc son laplacien usuel, calculé dans
fonction
son
Jn-2 2 (u)
u2 ;
de
.
.
J
On s..i t que
entier 1 .
n-2
est le
l’équation homogène.
solution de
une
fonction de
une
u
À c
+
étant des constantes arbitraires,
B
Supposons d’abord
de
DE 0394
de trouver
La solution est la suivante
A
un
l’équation
il
op
est
n
ÉLÉMENTAIRES
à résoudre
avons
Dans
N
où
entier .$ 0 pair, nous laissons
lecteur le soin de vérifier que la solution élémentaire la plus générale dans
qui
cette fonction .
est dans
Rn
une
solution de
l’équation homogène.
Ce résultat subsiste
pair $0 ;
.
on
sur
R
+
précédemment
le voit
dans le
cas 03BB
=
n
tions de Bessel :
Le terme
n-2
on
J
t~
.
ne nous
intéresse pas, puisque
est
solution de
une
de vo r dans
A)
Reste le terme
en
nous venons
l’équation homogène.
T*
nous avons
0 .
est distinct de tout entier pair.
s’exprime simplement comme combinaison de fonc-
Nous allons d’abord supposer que
Alors la fonction de Neumann
de tout entier
quelconque, distinct
n
pour
que
.
donc à calculer
n-2
alors
t~
J
p.
~/7"~)
est
une
fonction
" T*
Sor terne’ constant est:
Appelons al
~ ~ désignant
d’où finalement
son
coefficient de
t. On
la dérivée usuelle. Puis
a
analytique entière
de
t .
qui
été fait pour A
a
(au
solution
formule des
Nous
n’est pas nouveau, le calcul est le n$me
(4 - 2n)
Le facteur
=
usuel) de
compléments relative
,
à
calcul
pouvons pas laisser de côte le
de
n .
On sait
est
une
en
de
et v
u
0,
respondant à v
On
en
tout entier
=
sur
R
déni-plan
on en
D’R ,
qui, dans
il
nous ne
correspond à
un
sur
Oi ~>-0 ~ N~ (u)
on
considère la
entier
0 :.
déduit que
dépend
t ~N
continuement de v
pour
+
(29)
de
n
pour
n
reste exacte pour
quelconque,
n
on
peut
entier pair 2 ,
0 .
déduit la solution la plus
pair £
car
Dans tous les
et la formule
n-2 2
pair ~> 0 ~
=
ici. Mais
réel > 0 , Si maintenant
u
alors 6 dépend continuement
limite,
nouveau
varie dans le
~~~0.
passer à la
le montre à
Rv >
pour
u~O~~~~O.
Comme
À
différente
paires
0 , et pour
peut seulement dire que u N (u) est fonction contiu 0 ,
0 , et qu’elle est majorée par k log u
on
est une distribution
n
sont entières
qui
n
raisonnerons par passage à la limite
nous
fonction continue de v et
u
pour
Mais
effet que, si V
demi-droite
nue
R .
dans
r(~)
de la
obtient :
on
occuperons pas des valeurs de
cas
d’une
il est
0 , car elles donnent lieu à un
A quelconque dans A) ; le facteur
problème donné
celui
nul, puisqu’il s’agit
à
{}
,
l’équation homgène. Finalement, compte-tenu
0 . Quant
sens
ne nous
que
générale
de
(21)~
pour
n
distinct de
cor-
8-08
où A
est une constante arbitraire.
~
En
particulier,
Rn ,
dans
la solution élémentaire la
est
où
compte
tenu de
plus générale
ce
que
par rotatif
de
.
.
__
C
est
une
,
constante arbitraire ;
n
entier
1 .