2 La fonction exponentielle

TES - Fonction exponentielle
Cours
LA FONCTION EXPONENTIELLE
1
Fonctions exponentielles de base q
Definition 1.1 : Soit la suite géométrique (q n ) avec q ∈ R∗+ .
La fonction exponentielle de base q est une fonction f définie et dérivable sur R tel que pour
tout n ∈ N, f (n) = q n .
On note alors f (x) = q x , pour tout x ∈ R.
Propriété 1.1 : Sens de variation
Soit q ∈ R∗+ .
— Si 0 < q < 1 alors la fonction x 7→ q x est strictement décroissante sur R.
— Si q = 1 alors la fonction x 7→ q x est constante sur R.
— Si q > 1 alors la fonction x 7→ q x est strictement croissante sur R.
Si q = 1
Si 0 < q < 1
−2
−1
Si q > 1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
2
−2
1
−1
2
−2
1
−1
Propriété 1.2 : Relation fonctionnelle
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = q x avec q ∈ R∗+ .
Alors pour tous réels x et y, on a f (x + y) = f (x)f (y) .
Autrement dit, la fonction exponentielle transforme les sommes en produits.
Propriété 1.3 : Propriétés algébriques
Soient (x, y) ∈ R2 et n ∈ N.
1
2. q −x = x
1. q x+y = q x q y
q
3. q x−y =
qx
qy
4. q nx = (q x )n
Exemple 1.1 :
— Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle ?
2−1 est égal à :
a) 1
b) −2
c) 0, 5
3x+2 est égal à :
a) 3x + 9
b) 9 × 3x
c) 27x
5−x (2 + 5x ) est égal à :
a) 1 +
b) 5−x × 7x
c) 10−x + 1
— Montrer que pour tout x ∈ R,
2
5x
0, 22x − 1
0, 2x − 0, 2−x
=
.
3 × 0, 2x
3
1
2
TES - Fonction exponentielle
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Cours
La fonction exponentielle
Theoreme 2.1 : Il existe une unique fonction x 7→ q x qui admet pour nombre dérivé 1 en 0.
Definition 2.1 : On note e la base de la fonction exponentielle du théorème précédent.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp.
Pour tout réel x, on a : exp : x 7→ ex et exp′ (0) = 1.
Propriété 2.1 : On a exp(1) = e et e ≃ 2, 718 .
3
Étude de la fonction exponentielle
Propriété 3.1 : (ex )′ = ex
Autrement dit, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.
Propriété 3.2 : Pour tout x ∈ R, ex > 0 .
Propriété 3.3 : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R .
Preuve : Pour tout x ∈ R, (ex )′ = ex et ex > 0.
Propriété 3.4 : Soient x et y deux réels : x < y ⇔ ex < ey et x = y ⇔ ex = ey
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2
Exemple 3.1 : Résoudre l’équation ex = (ex )2 et l’inéquation ex < (ex )2 .
Tableau de variation et représentation graphique :
x
−∞
exp(x)
+∞
4
+∞
3
0
y = ex
y =x+1
2
La droite d’équation y = x + 1 est tangente
en 0 à la courbe représentative de l’exponentielle.
1
−4
−3
−2
−1
Propriété 3.5 : Dérivée d’une fonction composée
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
′
Alors la fonction x 7→ eu(x) est dérivable sur I et eu(x) = u′ (x) × eu(x)
Exemple 3.2 : Calculer la dérivée des fonctions suivants.
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f (x) = e−x ; g(x) = e6x−4 et h(x) = e−3x .
Propriété 3.6 : Primitive
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction x 7→ u′ (x)eu(x) a pour primitive eu(x)
Exemple 3.3 : Déterminer une primitive des fonctions suivants.
2
f (x) = 5e5x ; g(x) = e6x−4 et h(x) = 4x e−3x .
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1
2