Fonctions exponentielles - Classe de TES 1 Document réalisé par S. Bignon I - Fonction exponentielle de base q Définition : Soit q un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base q la fonction : f : IR −→ IR x 7−→ q x Remarque : Cette fonction est le prolongement de la suite (u n ) telle que u n = q n pour tout entier naturel n. Sur le graphique ci-contre, les croix représentent le nuage de point associé à la suite géométrique de terme général u n = 1,5n . On observe bien que la fonction définie sur IR par f (x) = 1,5x prolonge cette suite. 1 0 1 Propriété : La fonction exponentielle de base q est une fonction dérivable sur IR donc également continue sur IR. Cette fonction est également positive sur IR. 2 Document réalisé par S. Bignon Propriété : Variations Une fonction exponentielle de base q (q > 0) sera : • croissante sur IR si q > 1 • décroissante sur IR si 0 < q < 1 • constante égale à 1 sur IR si q = 1 Exemple : Ci-contre, sont tracés les représentations graphiques des fonctions f et g telles que : f (x) = 1,5x et g (x) = 0,7x Cg Cf 1 0 1 Propriété : Relation fonctionnelle Pour tout nombre réel q > 0 et tous réels x et y : q x × q y = q x+y Remarque : On en déduit alors les relations suivantes pour q réel strictement positif, x et y réels et n entier naturel : qx 1 x−y •q = y et q −x = x q q n×x x n •q = (q ) 3 Document réalisé par S. Bignon II - La fonction exponentielle 1) Définition Définition : Parmi les fonctions exponentielles de base q, une seule admet 1 pour nombre dérivé en 0. Il s’agit de la fonction exponentielle de base e notée exp et appelée fonction exponentielle exp : IR −→ IR x 7−→ e x Remarques : On en déduit immédiatement les résultats suivants • exp(0) = e 0 = 1 • e 1 = e ≈ 2,72 • toutes les propriétés des fonctions exponentielles de base q sont également valables pour la fonction exponentielle et pour x et y nombres réels : . ex > 0 . e x+y = e x e y 1 . e −x = x e x n . (e ) = e nx pour n entier relatif 4 Document réalisé par S. Bignon 2) Étude de la fonction exponentielle Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur IR. La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même : (expx)0 = e x Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR. Preuve : Pour tout x dans IR, e x > 0 et (expx)0 = e x donc la fonction exponentielle est bien strictement croissante sur IR. On en déduit alors le tableau de variation et la représentation graphique de la fonction exponentielle x −∞ 0 exp 0 (x) exp(x) 1 +∞ + e 1 1 0 1 Propriété : La fonction exponentielle est une fonction convexe sur IR. 5 Document réalisé par S. Bignon 3) Équations et inéquations Propriété : Soient a et b deux nombres réels. • ea = eb ⇔ a = b • ea < eb ⇔ a < b 1) Résolvons l’équation e 2x+1 = 1. On a : −1 e 2x+1 = 1 ⇔ e 2x+1 = e 0 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x = 2 2) Résolvons l’inéquation e 3x−2 < e 2x+1 : Exemple : e 3x−2 < e 2x+1 ⇔ 3x − 2 < 2x + 1 ⇔ x < 3 donc S =] − ∞; 3[ 4) Fonctions composées exp(u) Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , la fonction f : x 7−→ e u(x) est dérivable sur I et, pour tout x de I : f 0 (x) = u 0 (x) × e u(x) Exemple : La fonction f : x 7−→ e −3x+5 définie sur IR a pour dérivée la fonction f 0 telle que : f 0 (x) = −3 × e −3x+5 6 Document réalisé par S. Bignon