Pierre-Yves Gouiffes – Collège Joseph-Anglade (Lézignan-Corbières) 3AR01 – SIMPLIFIER DES FRACTIONS III Nombres et calculs Simplifier une fraction pour la rendre irréductible On se propose de simplifier les fractions suivantes : 42 25 84 1 224 637 ; ; ; ; 60 42 105 936 285 42 On simplifie à l’aide des critères de divisibilité. 60 42 est divisible par 6 car ……………………… 60 est divisible par 6 car ……………………… 42 6 × … … = = 60 6 × … … 25 On dresse la liste des diviseurs de 25 puis de 42. 42 Diviseurs de 25 : {… ; … ; …}. Diviseurs de 42 : {.. ; .. ; … ; … ; … ; … ; … ; …} Le seul diviseur commun de 25 et 42 est : … On dit que 25 et 42 sont ……………………………… 25 et que la fraction est ……………………………… 42 84 On dresse la liste des diviseurs de 84 et de 105. 105 Diviseurs de 84 : {. ; . ; . ; .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; }. Diviseurs de 105 : {.. ; .. ; .. ; … ; … ; … ; … ; …}. Diviseurs communs de 84 et 105 : {… ; … ; … ; …}. Le plus grand de ces diviseurs communs est : … On dit que … est le ……… de 84 et 105. 84 … × … … = = 105 … × … … 1224 L’algorithme1 des différences 936 Les nombres sont plus grands que les précédents. Dresser la liste des diviseurs serait fastidieux. On va donc utiliser une autre méthode. Si a > b alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b). 1 224 – 936 = … …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… Méthode de calcul dont le nom vient du mathématicien arabe Mohamed Al Khwarizmi (788-850). Son premier ouvrage Kitab al jabr est à l’origine du mot « algèbre ». 2 3 4 On applique le même algorithme. …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… …–…=… donc PGCD(637 ; 285) = … 637 et 285 sont donc ………………… 637 La fraction est ………………… 285 1224 L’algorithme d’Euclide2 936 On va tester une troisième méthode. Si r est le reste de la division euclidienne de a par b et si a > b alors PGCD(a ; b) = PGCD (b ; r). 1 224 = 1 × 936 + 288 936 = … × 288 + … … = … × … + … donc PGCD(1 224 ; 936) = … On voit que cet algorithme est beaucoup plus rapide. 637 285 On applique l’algorithme d’Euclide. …=… ×…+… …=… ×…+… …=… ×…+… donc PGCD(637 ; 285) = … …=… ×…+… …=… ×…+… AFRIQUE DE L’OUEST, 2005 1. 2. …–…=… …–…=… donc PGCD (1 224 ; 936) = … 1 224 … × … … = = 936 … × … … 1 637 285 1 3. 2 288 et 224 sont-ils premiers entre eux ? ………………………………………………… Déterminer le PGCD de 288 et 224. On applique l’algorithme d’Euclide. … = … × … + … …. = … × … + … …=… ×…+… donc PGCD(… ; …) = … 224 Ecrire la fraction sous forme irréductible. 288 224 … × … … = = 288 … × … … Mathématicien grec (330-275 avant J.-C.) considéré comme le « père de la géométrie ».