TS_12_Loi_Unif_Expo_Exos

TS 2016
Exercices
Ch12. Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle
Loi Uniforme :
1. On modélise le choix d’un réel x dans l’intervalle [−1; 5] par une variable aléatoire X suivant la loi uniforme. Quelle est la
probabilité d’avoir
(a) 0 ≤ X ≤ 3 ?
(b) X ∈ [−0, 5; 1, 5] ?
2. Le temps d’attente (en minutes) pour accéder à des données suit une loi uniforme sur [1; 6].
(a) Calculer la probabilité d’attendre au moins 4 minutes.
(b) Quel est le temps d’attente moyen ?
3. Lors d’une étude du comportement animal, on relâche des oiseaux qui, désorientés, choisissent leur direction totalement au
hasard. On modélise la direction que prend un oiseau par une variable aléatoire X qui mesure l’angle (en degrés) entre le
nord et la direction prise (selon le sens des aiguilles d’une montre). On considère que la variable aléatoire X suit une loi
uniforme sur l’intervalle [0; 360]. Traduire chaque événement avec la variable X et calculer sa probabilité
(a) L’oiseau part plein Ouest.
(b) L’oiseau prend une direction entre SE et SSE.
(c) L’oiseau prend une direction entre OSO et ONO sachant que sa direction se
situe entre SO et N.
4. Paolo vient tous les matins entre 7 heures et 7 heures 45 chez Lisa pour prendre un café. Il peut arriver à tout instant dans
cette palge horaire avec les mêmes chances.
• Proposer une loi de probabilité pour la variable aléatoire modélisant l’heure d’arrivée de Paolo.
• Calculer la probabilité que Paolo sonne chez Lisa
(a) après 7 heures 30
(b) avant 7 heures 10
(c) Entre 7 heures 20 et 7 heures 22
(d) à 7 heures pile
5. On choisit un point M au hasard sur le segment [AB]. Quelle est la probabilité que M soit
A
B
b
0
b
0.2
0.4
C
0.6
b
0.8
1.0
(a) à égale distance de C et D ?
D
1.2
b
1.4
1.6
1.8
2.0
(b) plus près de C que de D ?
6. On choisit un point au hasard sur le segment [AB] ci-dessous. Quelle est l a probabilité que M soit plus près d’un point
marqué d’une croix que d’un point marqué d’un carré ?
0
0.5
B
D
×
r
C
×
r
A
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
7. Dans un parc national, un guide accompagne chaque soir un groupe pour observer les zébus venant s’abreuver dans un lac
au couché du soleil. On suppose que le temps d’attente du groupe avant l’arrivée des animaux est compris entre 0 et 2 heures
30 ; on le modélise, en minutes, par une variable aléatoire T de loi uniforme sur [0; 150].
• Calculer les probabilités suivantes
(a) P (T = 20)
(b) P (T < 45)
1/ 3
(c) P (45 ≤ T ≤ 60)
(d) P (T > 90)
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Exercices
Ch12. Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle
Loi Exponentielle :
1. Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ = 2, 5.
• Construire la courbe de la fonction de densité de la loi de X et hachurer les domaines représentant les événements
(a) X ≤ 1, 2
(b) 3, 5 ≤ X ≤ 5
• Calculer leur probabilité à 0,01 près.
2. Une variable aléatoire Y suit la loi exponentielle de paramètre λ = 2.
• Calculer t tel que P (Y > t) = 0, 95
• Calculer t′ tel que P (Y ≤ t′ ) = P (Y ≥ t′ ). Comment s’appelle le nombre t′ ?
3. Une variable aléatoire Z suit une loi exponentielle de paramètre λ.
• Déterminer λ sachant que P (Z ≤ 50) = 0, 05
• Calculer P (Z > 25).
4. On considère que la durée de vie, en années, d’un élément radioactif est modélisé par une variable aléatoire D qui suit une
loi exponentielle de paramètre λ. On appelle demi-durée de vie de cet élément radioactif, le réel T tel que P (D ≤ T ) = 0, 5
ln 2
• Démontrer que T =
λ
• La demi-vie du Césium 137 est de 30 années. Calculer la probabilité que la durée de vie D d’un élément radioactif Césium
137 dépasse 50 ans.
5. Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un tel
oscilloscope est modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Toutes les
probabilités seront données à 10−3 près.
• Sachant que P (X > 10) = 0, 286, déterminer une valeur approchée à 10−3 près de λ.
On prend λ = 0, 125 dans la suite de l’exercice.
• Déterminer m tel que P (X ≤ m) = 0, 5. Interpréter le résultat obtenu.
• Calculer la probabilité qu’un oscilloscope ait une durée de vie inférieur à 6 mois.
• Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieur à dix
ans ?
6. Soit f la fonction de densité d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ > 0 et Cf sa courbe
représentative dans un repère orthogonal.
• Parmi les équations ci-dessous, quelle est celle de la tangente en x = 0 à la courbe Cf ?
(a) y = λx + λ
(b) y = λ2 x + λ
(c) y = −λ2 x + λ
(d) y = −λx − λ
• Déterminer l’abscisse du point d’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses. Interpréter.
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Exercices
Ch12. Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle
D’après BAC :
Partie A : La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire
notée X suivant la loi exponentielle de paramètre λ > 0.
La courbe de la fonction de densité associée est représentée ci-contre.
1. Représenter la probabilité P (X ≤ 1), indiquer où se lit la valeur de λ.
0.6
2. On suppose que E(X) = 2,
(a) Que représente dans le cadre de cet exercice la valeur de l’espérance
mathématique de la variable aléatoire X ?
0.5
(b) Calculer la valeur de λ.
0.3
(c) Calculer P (X ≤ 2). On donne la valeur exacte, puis une valeur
approchée à 0,01 près. Interpréter ce résultat.
0.2
(d) Sachant que que le composant a déjà fonctionné une année, quelle
est la probabilité que sa durée de vie totale soit d’au moins trois
années ? On donne la valeur exacte.
0.4
0.1
−1
−0.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Partie B : Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On note D1 l’événement "le
composant 1 est défaillant avant un an" et on note D2 l’événement "le composant 2 est défaillant avant un an".
On suppose que les deux événements D1 et D2 sont indépendants et que P (D1 ) = P (D2 ) = 0, 39.
Deux montages possibles sont envisagés
1
1
2
2
Circuit en parallèle A
Circuit en série B
1. Lorsque les deux composants sont montés "en parallèle", le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont
défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.
2. Lorsque les deux composants sont montés "en série", le circuit B est défaillant dès que l’un au moins des deux composants
est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.
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