Arithmétique

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2007-2008
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Arithmétique
Sur le pgcd
Comment définir le pgcd de deux entiers ? Pouvez-vous donner des propriétés caractéristiques du pgcd ?
Quelle règle permet de calculer efficacement le pgcd de deux entiers ?
Calculer :
- pgcd(792, 318) ;
- pgcd(11a + 5b, 13a + 6b) pour a, b ∈ Z ;
- pgcd(n! + 1, (n + 1)! + 1) , n ∈ N.
Connaissez-vous le lemme de Gauss ? Sa démonstration ?
Montrer que tout entier n ∈ N s’écrit de manière unique comme le produit d’un
carré et d’un entier sans facteur carré (un entier est dit sans facteur carré si 1 est le
seul carré qui le divise).
Nombres premiers
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Quel est le théorème fondamental de l’arithmétique ?
Savez-vous montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers ?
Connaissez-vous une autre démonstration ? (cf. exercice 1)
Connaissez-vous une autre démonstration (encore) ? (cf. exercice 2)
Savez-vous montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6k − 1 ?
À propos de Z/mZ
Soit m ∈ Z, que savez-vous de Z/mZ ? Pouvez-vous le démontrer ?
Que dire de Z/mZ lorsque m est un nombre premier ?
Comment caractérisez-vous les éléments inversibles de l’anneau Z/mZ ?
Calculer l’inverse de 29 modulo 461.
Qu’est-ce que ϕ(m) ? Pouvez-vous donner une formule pour ϕ(m) ?
Pouvez-vous la démontrer ? (cf. exercice 3)
Connaissez-vous la preuve par 9 ? Sa justification ?
On pose A = 44444444 , B est la somme des chiffres de A, C est la somme des chiffres
de B, D est la somme des chiffres de C. Que vaut D ?
Théorème de Wilson
Que dit le théorème de Wilson ?
Savez-vous le démontrer ? (cf. exercice 4)
Que dire de la réciproque du théorème de Wilson ?
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(petit) théorème de Fermat
Que dit le théorème de Fermat ?
Savez-vous le démontrer ? (cf. exercice 5)
Que dire de la réciproque du théorème de Fermat ? (cf. exercice 6)
Pourquoi dit-on “petit” théorème de Fermat ? Pouvez-vous démontrer le “grand”
théorème de Fermat ?
Généralisations
Comment peut-on généraliser le théorème de Fermat ?
79
Trouver les deux derniers chiffres (en base 10) de 7979 ? De 7979 ?
Montrer que si n est impair alors n | 2n! − 1.
Soit m un entier impair non multiple de 5. Montrer qu’il existe un multiple de m
dont l’écriture en base 10 ne comporte que des 9 (que des 1).
Nombres de Mersenne
Qu’est-ce qu’un nombre de Mersenne ?
Que pouvez-vous dire sur les nombres de Mersenne ? (cf. exercice 7)
Que pouvez-vous dire sur les diviseurs premiers d’un nombre de Mersenne ? (cf.
exercice 7)
Nombres de Fermat
Qu’est-ce qu’un nombre de Fermat ?
Que pouvez-vous dire sur les nombres de Fermat ? (cf. exercice 8)
Diverses questions
Savez-vous résoudre les équations de la forme ax + by = c avec a, b et c entiers fixés ?
Résoudre l’équation 6x + 10y + 15z = 1.
Cryptographie et arithmétique
Quels sont les quatre principaux buts de la cryptographie ?
Connaissez-vous le sytème RSA ?
Pouvez-vous justifier la faisabilité des calculs dans l’élaboration et l’utilisation d’un
système RSA ? (cf. exercice 9)
Que pouvez-vous dire sur la sécurité du système RSA ? (cf. exercice 10)
Connaissez-vous le problème du logarithme discret ? (cf. exercice 11). À quoi peut-il
servir ?
Refaire l’exercice 11 en utilisant l’algorithme Baby-Steps/Giant Steps.
Exercice 1
On note π(x) le nombre des nombres premiers ≤ x.
Combien peut-on former d’entiers sans facteurs carrés à partir des nombres premiers ≤ x ?
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Combien existe-t-il de carrés ≤ x ?
En déduire que π(x) ≥ log x/(2 log 2).
Exercice 2
On considère un entier N > 2 et on pose h = π(N ). On note p1 , p2 , · · · , ph la suite
des nombres premiers ≤ N .
Soit p un nombre premier, montrer que la série 1 + 1/p + 1/p2 + · · · est une série
convergente.
Montrer que l’on a :
1
1
1 1
1
1
1
1
1+
+ 2 + ···
+ 2 + ··· ··· 1 +
+ · · · > 1+ + +· · ·+
1+
p1 p1
p2 p2
ph
2 3
N
En déduire que :
1
1 − 1/p1
1
1 − 1/p2
···
1
1 − 1/ph
> log N
Puis que :
− log(1 − 1/p1 ) − log(1 − 1/p2 ) − · · · − log(1 − 1/ph ) > log log N
Montrer que :
1
1
+
p2 − 1 p2
1
− log 1 −
p
Puis que :
1
1
+
p1 − 1 p1
+
1
1
<
= +
p−1
p
+ ··· +
1
1
−
p−1 p
1
1
+
ph − 1 ph
< 1 − 1/N
En déduire que :
1
1
1
+
+ ··· +
> (log log N ) − 1
p1 p2
ph
Conclure.
Exercice 3
Soit p un nombre premier. Que vaut ϕ(p) ? ϕ(pr ) ?
Soit m et n deux entiers premiers entre eux. Montrer que les anneaux Z/mnZ et
Z/mZ × Z/nZ sont isomorphes.
En déduire que ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) lorsque m et n sont deux entiers premiers entre
eux.
Conclure.
Exercice 4
Soit p un nombre premier. On note (Z/pZ)× les éléments inversibles de Z/pZ. Montrer que l’application :
σ : (Z/pZ)× −→ (Z/pZ)×
a
7−→
(a)−1
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est une involution. Quels sont les éléments a qui vérifient σ(a) = a ?
Conclure.
Exercice 5
Soit p un nombre premier. Montrer que le coefficient binomial kp est divisible par p
pour tout 1 ≤ k ≤ p − 1.
Montrer par récurrence sur n ∈ N que l’on a np ≡ n (mod p).
Conclure.
Exercice 6
Le nombre 341 est-il premier ? Montrer que 2340 ≡ 1 (mod 341) ?
Calculer 3340 (mod 341)
Soit m un entier, on dit que m est a-pseudo-premier si l’on a :
am−1 ≡ 1
(mod m)
Si m est premier alors m est a-pseudo-premier pour tout a premier avec m. La
réciproque est fausse (ex. m = 341 et a = 2). Si a est fixé, on va démontrer qu’il
existe une infinité de nombres m non premiers qui sont a-pseudo-premiers.
Soit p un nombre premier impair ne divisant ni a ni a2 − 1. On pose
mp = m =
a2p − 1
.
a2 − 1
1. Pourquoi existe-t-il une infinité de tels nombres mp ?
2. Montrer que a2 − 1 divise ap−1 − 1.
3. En déduire que 2p(a2 − 1) divise (ap−1 − 1)(ap + a) et que donc le nombre
2p(a2 − 1) divise a(ap−1 − 1)(ap + a).
4. En conclure que 2p|m − 1.
5. Montrer que am−1 ≡ 1 (mod m).
6. Montrer que
ap +1
a+1
∈ Z ; pourquoi m n’est-il pas un nombre premier ?
Déduire de ce qui précède qu’il existe une infinité de nombres composés m tels que
am−1 ≡ 1 (mod m).
Le nombre 561 est-il premier ? Soit a un entier premier avec 561, montrer que l’on
a a560 ≡ 1 (mod 561). Comment s’appelle un tel nombre ? On peut démontrer qu’il
existe une infinité de nombres de Carmichael
Exercice 7
Soit Mn = 2n − 1, le nombre de Mersenne d’indice n. Montrer que si Mn est premier
alors n est premier.
Soit n un nombre premier, montrer que les diviseurs premiers p du nombre de Mersenne Mn = 2n − 1 sont de la forme p = kn + 1.
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Exercice 8
Montrer que si 2m + 1 est premier, alors m est une puissance de 2.
n
On définit la suite des nombres de Fermat par Fn = 22 + 1.
1. Montrer que les Fn sont deux à deux premiers entre eux. Indication : si m < n
alors Fm divise Fn − 2.
2. En déduire qu’il existe une infinité de premiers.
3. Montrer que les diviseurs premiers de Fn sont de la forme 2n+1 k + 1.
Exercice 9
Soit G un groupe (multiplicatif de neutre 1) dans lequel on peut “calculer” efficacement (multiplier deux éléments et calculer l’inverse d’un élément). Pour g ∈ G et
n ∈ Z, on veut calculer g n efficacement.
Remarquer que l’on peut supposer que n > 0.
On considère l’algorithme suivant :
Étape 1 (initialisation) Faire p ← 1, N ← n et q ← g.
Étape 2 (N impair ?) Si N est impair, faire p ← p · q.
Étape 3 (boucle) Faire N ← bN/2c. Si N = 0 retourner p et finir l’algorithme.
Sinon, faire q ← q 2 et aller à l’étape 2.
Montrer que cet algorithme se termine. Montrer qu’à chaque fois que l’on ‘débute’
l’étape 2, on a l’égalité g n = p · q N . En déduire que l’algorithme retourne g n .
Montrer que la longueur de la boucle est inférieur à dlog2 (n)e + 1.
Exercice 10
La clé publique d’un système RSA est notée (N, e) (N = pq est le produit de deux
nombres premiers et e est un entier premier avec ϕ(N )).
Montrer qu’il est aussi difficile de factoriser N que de calculer ϕ(N ).
Alice envoie le même message M à trois destinataires différents ayant des modules
RSA (N1 , 3), (N2 , 3) et (N3 , 3). Montrer qu’une personne qui observe les trois communications peut retrouver le message M d’Alice.
Soit (N, 3) un module RSA, montrer que l’on peut factoriser N en connaissant la
clé secrète d du système.
Exercice 11
Soit G un groupe, g ∈ G et n ∈ Z. Connaissant g et n, on peut calculer g n en
O(log(n)) multiplications dans G. Le problème du logarithme discret est de retrouver n en connaissant g et g n .
Que pensez-vous de ce problème lorsque G = (Z/NZ, +) ?
Résoudre les équations suivantes :
2x ≡ 7
(mod 83) , 2x ≡ 3
(mod 83)