Décomposition en éléments simples

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Novembre 2010
Décomposition en éléments simples
Introduction
Thèmes d’étude : décomposition en éléments simples des fractions rationnelles.
Durée : 75 minutes.
Point cours
Une fraction rationnelle est un rapport de 2 polynômes P ,Q que l’on note
P
.
Q
• Supposons que P et Q n’ont pas de diviseur commun autre que les constantes (on dit qu’ils sont premiers
entre eux) et que la décomposition en produit de facteurs irréductibles de Q dans R [X ] soit :
2
3
Q = (X − 1) (X 2 + X + 1)(X 2 + 1) .
• Supposons enfin que le degré de P soit strictement plus petit que celui de Q .
Alors il existe (a, b, c, d , e, f , g, h, k ) ∈ R 9 tel que :
P
a
b
c
dX + e
fX + g
hX + k
=
+
+
+
+
+
Q
X − 1 (X − 1)2 (X − 1)3 X 2 + X + 1 X 2 + 1 (X 2 + 1)2
Voici les règles pour définir la forme de la décomposition. On regarde le polynôme au dénominateur sous forme
de produits de facteurs irréductibles. Plusieurs polynômes irréductibles interviennent avec des puissances
différentes. Dans l’exemple ci-dessus, les polynômes concernés sont (X − 1) , (X 2 + X + 1) et (X 2 + 1) .
On regarde les puissances intervenant sur ces facteurs.
Pour (X − 1) l’exposant est 3. Il y aura donc 3 termes et comme c’est un polynôme irréductible de degré 1 alors
on mettra une constante au numérateur dans la décomposition et il y a aura 3 termes.
Pour (X 2 + X + 1) , l’exposant est 1. Il y aura donc 1 terme et comme c’est un polynôme irréductible de degré
2, on mettra un polynôme de degré 1 au numérateur dans la décomposition en éléments simples.
Pour (X 2 + 1) , l’exposant est 2. Il y aura donc 2 termes et comme c’est un polynôme irréductible de degré 2, on
mettra un polynôme de degré 1 au numérateur dans la décomposition en éléments simples.
• Nous allons déjà essayer de décomposer des fractions rationnelles simples.
La technique la plus basique consiste à réduire au même dénominateur puis à identifier.
Il y a souvent mieux.
Exemple
X +1
F =
.
(X − 1)(X 2 + 1)
On est bien dans la situation décrite dans les 2 points au dessus.
a
bX + c
La forme de la décomposition est la suivante : F =
+
.
X −1 X2 +1
Les racines du dénominateur sont 1 pour le premier terme de la décomposition et ±i pour le deuxième terme.
X +1
bX + c
On multiplie par (X − 1) . On obtient 2
=a + 2
(X − 1) . En remplaçant X par 1 (on peut
X +1
X +1
désormais le faire…), on trouve directement a . On trouve a = 1 .
2
X + 1 a (X + 1)
On multiplie par (X 2 + 1) . On obtient :
=
+ bX + c . En remplaçant X par i (ou −i ,
X −1
X −1
comme on veut, il suffit de remplacer par l’une des 2 racines, cela donne la même chose), on trouve directement
2
(i + 1)
1+i
b et c . On trouve c + bi =
=−
= −i . Compte tenu de ce que l’on sait sur l’égalité de 2 nombres
i −1
2
complexes, on déduit : b = −1 et c = 0 .
1
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Conclusion : F =
Novembre 2010
1
X
−
.
X −1 X2 + 1
• Que se passe-t-il si le numérateur est de degré supérieur ou égal au dénominateur ? Dans ce cas, on effectue
une division euclidienne du numérateur par le dénominateur ce qui nous permettra de revenir au cas décrit au
dessus.
X4 +1
Exemple : F =
. On calcule la division euclidienne de X 4 + 1 par
(X − 1)(X 2 + 1)
(X − 1)(X 2 + 1) = X 3 − X 2 + X − 1 .
On a X 4 + 1 = (X 3 − X 2 + X − 1) (X + 1) + X + 2 .
Donc F = X + 1 +
X +2
.
(X − 1)(X 2 + 1)
Fraction rationnelle remplissant
les conditions des 2 premiers points
On décompose la fraction correspondant au deuxième terme dans l’égalité ci-dessus.
Exercice 1
Dire si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.
• La décomposition en éléments simples de la fraction
X +1
dans R (X ) (cette notation
2
(X − 1) (X 2 + X + 5)
désigne l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients réels) est du type :
a
bX + c
dX + e
+
2 +
2
X − 1 (X − 1)
X +X +5
2
parce que « comme il y a (X − 1) au dénominateur, on a un élément de deuxième espèce et donc on met un
polynôme de degré 1 au numérateur… ».
• Quelle est la forme (on dit bien la forme !) de la DES (décomposition en éléments simples) dans R (X ) de :
X 14
3
(X 2 + 2X + 7) (2X 2 + 5)(X − 1)3 (X 2 − 3X + 2)
?
Exercice 2
Question 1
Décomposer en éléments simples dans R (X ) la fraction suivante : F1 =
X 2 + 4X + 3
.
(X − 1)(X − 2)(X 2 + 1) (X + 1)
Question 2
Décomposer en éléments simples dans R (X ) la fractionnelle suivante : F2 =
Question 3
Calculer les primitives de la fonction f2 : x 1
.
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
■
2
1
(X − 1)(X − 2)(X − 3)(X − 4)