feuille - Université Nice Sophia Antipolis

UNIVERSITÉ NICE SOPHIA ANTIPOLIS
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
2016/2017
Préparation à l’agrégation
Anneaux
Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux sont supposés commutatifs unitaires et tous les
homomorphismes d’anneaux sont homomorphismes d’anneaux unitaires.
Exercice 1.
a) Quels sont les éléments inversibles de Z, Z/nZ, R[X] ?
b) Montrer que Z et R[X] n’ont pas de diviseurs de zéro.
c) Montrer qu’un élément non-nul de Z/nZ est soit inversible soit un diviseur de zéro.
d) Montrer qu’un anneau intègre avec un nombre fini d’éléments est un corps.
Exercice 2. Un élément x d’un anneau unitaire est dit nilpotent s’il existe un entier naturel n non
nul tel que xn = 0.
a) Quels sont les éléments nilpotents de Z, Z/6Z, Z/8Z et de Z/nZ en général ?
b) Montrer que si x ∈ A est nilpotent alors 1 + x est inversible. En déduire que la somme d’un
élément nilpotent et d’un inversible est inversible.
c) L’ensemble des éléments nilpotents d’un anneau A s’appelle le nilradical de A, on le note N (A)
ou nil(A). Montrer que le nilradical d’un anneau est un idéal.
Exercice 3.
a) Montrer que les idéaux de Z sont de la forme nZ, n ∈ Z. Quels sont les idéaux premiers,
maximaux ?
b) Considérons les idéaux de A = R[X].
(a) Pour x ∈ R définissons Ix = {P ∈ R[X]; P (x) = 0}. Montrer que Ix est un idéal de R[X].
Est-il premier ? maximal ? principal ?
(b) Même question pour I = {P ∈ R[X]; P (−1) = P (1) = 0}.
c) Dans l’anneau C[X, Y ], l’idéal engendré par X et Y est l’ensemble des polynômes dont le terme
constant est nul. Est-il principal ? Est-il maximal ?
Exercice 4.
a) Soit X un ensemble non-vide et soit A un anneau. Montrer que l’ensemble des applications
X → A, noté AX , est muni d’une structure d’anneau par les opérations suivantes :
– la somme f + g est définie comme l’application f + g : X → A qui à x associe f (x) + g(x) ;
– le produit f · g est défini comme l’application qui à x associe f (x)g(x) ;
– l’application qui à tout x ∈ X associe l’élément neutre 1 de A est élément neutre pour cette
multiplication.
b) Montrer que l’ensemble des parties de X, noté 2X , muni du produit X1 , X2 → X1 ∩ X2 et de la
somme X1 , X2 → X1 ÷ X2 = (X1 \ X2 ) ∪ (X2 \ X1 ) est un anneau. (indice : utiliser la question
précedente).
c) Montrer que 2X muni du produit X1 , X2 → X1 ∩ X2 et de la somme X1 , X2 → X1 ∪ X2 n’est
pas un anneau.
1
Exercice 5. ( Produit d’anneaux)
a) Montrer que ϕ : Z/6Z → Z/2Z × Z/3Z, définie par
ϕ(a) = (a mod 2,
a mod 3)
est un isomorphisme d’anneaux. Notons par (1, 1) l’élément neutre (l’unité) de Z/2Z × Z/3Z.
Calculer ϕ−1 (1, 1), ϕ−1 (1, 0), ϕ−1 (0, 1) ?
b) Soit A, B deux anneaux. Sous quelle condition A × B est un anneau intègre ? (Indice : calculer
le produit (1, 0) · (0, 1).)
c) Soit A, B deux anneaux. Montrer que les applications de projection pA : A × B → A et pB :
A × B → B sont des épimorphismes d’anneaux. Montrer que l’application A → A × B telle que
a → (a, 0) n’est pas un homomorphisme d’anneaux (si B est non nul).
d) (Propriété universelle du produit d’anneaux) Soit A, B deux anneaux. Montrer que pour tout
anneau C et tout couple d’homomorphismes d’anneaux α : C → A, β : C → B, il existe un
unique homomorphisme d’anneaux ϕ : C → A × B tel que pA ◦ ϕ = α et pB ◦ ϕ = β.
Supposons qu’un anneau D et des homomorphismes d’anneaux hA : D → A et hB : D → B
satisfont la même propriété : Pour tout anneau C et tout couple d’homomorphismes d’anneaux
α : C → A, β : C → B, il existe un unique homomorphisme d’anneaux ϕ : C → D tel que
hA ◦ ϕ = α et hB ◦ ϕ = β. Montrer que l’unique homomorphisme d’anneau f : D → A × B tel
que pA ◦ f = hA et pB ◦ f = hB , est un isomorphisme. (On dit que la propriété universelle définit
le produit d’anneaux à unique isomorphisme près.)
Exercice 6. Considérons l’anneau A = Z[X].
a) Montrer que f : Z[X] → Z, f (P ) = P (0), est un homomorphisme d’anneau.
b) Montrer que le noyau de f est un idéal premier de A qui n’est pas maximal. Est-il principal ?
c) Montrer que f −1 (2Z) est un idéal premier de A qui n’est pas principal. Est-il maximal ?
Exercice 7. Soit A un anneau intègre et noethérien. On suppose que tout idéal maximal de A est
principal.
a) Montrer que A est factoriel.
b) Montrer que A est principal.
Exercice 8. Soit A un anneau factoriel vérifiant le théorème de Bezout (i.e. pour tout a, b dans A,
(a, b) est principal). Montrer que A est principal.
√
Exercice 9. Soit A = Z[ −3] ⊂ C et K son corps de fractions. Montrer que x2 − x + 1 est irréductible
dans A[x] sans pour autant être irréductible dans K[X]. Explique la contradiction apparente avec un
résultat du cours.
Exercice 10. Soit A = C[X, Y ]/(Y 2 − X 3 ). Considérons l’homomorphisme d’anneaux
ϕ : C[X, Y ] → C[T ],
F (X, Y ) → F (T 2 , T 3 ).
a) Montrer que ker ϕ = (Y 2 − X 3 ). En déduire que A est isomorphe à un sous-anneau de C[T ].
b) L’anneau A, est-il intègre ?
c) Montrer que l’image de ϕ est isomorphe à C[T 2 , T 3 ].
d) En considérant T 6 = (T 2 )3 = (T 3 )2 montrer que C[T 2 , T 3 ] ' C[X, Y ]/(Y 2 − X 3 ) n’est pas
factoriel.
2
√
√
Exercice 11. Soit A = Z[i 5] = {m + ni 5; m, n ∈ Z}. .
a) Montrer que A est un anneau intègre isomorphe à Z[X]/(X 2 + 5).
b) Quels sont les éléments inversibles de A ?
√
√
c) Montrer que 9 = 3×3 = (2+i 5)(2−i 5) admet dans A deux décompositions non-équivalantes
en facteurs irréductibles.
√
√
d) Montrer que 3 et 2 + i 5 n’ont pas de ppcm dans A, et que 9 et 3(2 + i 5) n’ont pas de pgcd
dans A.
Exercice 12. Unicité dans l’algorithme de division.
Soit A un anneau euclidien et soit ν : A \ {0} → N un stathme de A.
a) Montrer que si a est un diviseur propre de b alors ν(a) < ν(b). Remarquer alors que si a est un
inversible alors ν(a) = ν(1).
b) Montrer que si le stathme ν satifait ν(a+b) ≤ max{ν(a), ν(b)}, pour tout a, b ∈ A\{0}, a+b 6= 0,
alors le quotient et le reste de la division euclidienne sont uniques. Montrer que la réciproque
est vraie aussi.
Supposons désormais que pour tout couple (a, b) ∈ A × (A \ {0}) le quotient et le reste dans la division
de a par b sont uniques. On note par A× le groupe multiplicative des inversibles de A.
c. Montrer que k = A× ∪ {0} est un corps.
d. Montrer que si A n’est pas réduit à k, alors A est isomorphe à k[X]. (Indice : Soit x ∈ A tel
que ν(x) = min{ν(y)|y ∈ A \ k}. Montrer que k[X] 3 P → P (x) ∈ A est un isomorphisme
d’anneaux.
Anneaux principaux
Exercice 1. (Autour de Bezout) Soit A un anneau principal.
a) Soit a, b ∈ A \ {0} et soit (a, b) = (d). Montrer que d = pgcd (a, b) et qu’il existe x, y ∈ A tels
que
d = xa + yb.
b) (Lemme de Gauss) Soit a, b, c trois éléments non-nuls de A. Si a et b sont premiers entre eux et
si a divise bc, alors a divise c.
c) Soit a, b ∈ A et soit (a) ∩ (b) = (m). Montrer que m = ppcm (a, b) et que (dans A/A× ) :
ab = ppcm (a, b) × pgcd (a, b).
d) (Théorème chinois) Calculer l’inverse de l’isomorphisme ϕ : Z/35Z → Z/5Z × Z/7Z, définie par
ϕ(a) = (a mod 5,
a mod 7).
Exercice 2.
a) S oit k un corps. Montrer que A = k[X] est principal.
b) Montrer que l’idéal (2, X) ⊂ Z[X] n’est pas principal.
c) Soit A un anneau quelconque. Montrer que A[X] est principal si et seulement si A est un corps.
Exercice 3. (Eléments irréductibles) Soit A un anneau principal.
a) (Lemme d’Euclide) Montrer que, si p ∈ A est irréductible et p divise ab alors p|a ou p|b.
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b) Montrer que pour a ∈ A \ {0} les condtions suivantes sont équivalentes
(i) a ∈ A est irréductible.
(ii) (a) est un idéal premier.
(iii) (a) est un idéal maximal.
Exercice 4. (Anneaux principaux sont noethériens)
Soit A un anneau principal. Montrer directement que toute suite croissante
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · ·
d’idéaux de A est stationnaire.
√
Exercice 5. (Anneau
Z[ 2])√
√
On pose A = Z[ 2] = {a + b 2; a, b ∈ Z}.
a) Montrer que√A est un sous-anneau de R isomorphe à Z[X]/(X 2 − 2) (considérer Z[X] → R,
P (X) → P ( 2)).
√
b) Soit N une application de A dans R qui à z = a + b 2 associe N (z) = |a2 − 2b2 |. Montrer que
pour tous z et z 0 de A on a : N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ), N (z) = 0 ⇔ z = 0, N (z/z 0 ) = N (z)/N (z 0 )
c) Montrer que pour tout x ∈ A et tout y ∈ A \ 0 il existe q, r ∈ A tels que
x = yq + r
avec N (r) < N (y).
(Indice : déterminer q ∈ A tel que N (x/y − q) < 1 )
A est donc un anneau euclidien . Le couple (q, r) est-il unique ?
Exercice 6.
a) Soit A un anneau euclidien. Alors il existe x ∈ A, x ∈
/ A× , tel que la restriction à A× ∪ {0} de
la projection canonique de A sur A/(x) soit surjective.
b) Montrer que R[X, Y ]/(X 2 + Y 2 + 1) n’est pas euclidien.
c) ∗ Montrer que R[X, Y ]/(X 2 + Y 2 + 1) est principal.
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