SÉRIE 9

Algèbre 2e année
SÉRIE 9
le 9 et le 10 avril 2005
Les exercices 4(a), (b), (d) et (f ) sont à rendre le 16 mai au début de la séance d’exercices.
1. On dit qu’un anneau commutatif est local s’il ne possède qu’un seul idéal maximal.
(a) Soit R un anneau commutatif. Supposons que M est un idéal maximal de
R. Montrer que R est local si et seulement si chaque élément de R − M est
inversible.
(b) Soit R un anneau local. Montrer que si x ∈ R alors x ∈ R∗ ou 1 − x ∈ R∗ .
Montrer que les seuls idempotents de R sont 0 et 1.
2. Soit
de R. On appelle radical de I l’ensemble
√ R un anneau commutatif et I un idéal
n
I = {x ∈ R | il existe
n ∈ N tel que x ∈ I}.
√
(a) Montrer que I est un idéal de R.
√
√
√
√
(b) Dans R = Z calculer 4Z, 18Z, 72Z et mZ où m = pα1 1 · · · pαr r , les pi
étant des premiers distincts.
√
√
√
√
(c) Montrer que I ∩ J = I ∩ J = IJ pour tous idéaux I, J de R.
3. Soit Z[i] l’anneau des entiers de Gauss.
∼
=
→ Z[i].
(a) Trouver un isomorphisme d’anneaux Z[x]/(x2 + 1) −
∗
(b) Calculer Z[i] et donner sa structure de groupe.
(c) Calculer le corps de fractions Q(Z[i]).
4. Soit R un anneau commutatif. Une partie non-vide S ⊂ R s’appelle multiplicativement stable si 0 6∈ S et s1 s2 ∈ S si s1 , s2 ∈ S. Dans R × S, on définit (r, s) ∼ (r0 , s0 )
s’il existe s00 ∈ S tel que s00 (rs0 − sr0 ) = 0.
(a) Montrer que ∼ définit une relation d’équivalence sur R × S.
(b) On note r/s la classe d’équivalence de (r, s). Notons S −1 R l’ensemble des classes
d’équivalences. On définit
(r1 /s1 ) + (r2 /s2 ) = (r1 s2 + r2 s1 )/(s1 s2 ) et (r1 /s1 ) · (r2 /s2 ) = (r1 r2 )/(s1 s2 ).
Montrer que ces opérations sont bien définies et que S −1 R est un anneau.
(c) Montrer que ι : R → S −1 R, r 7→ rs/s (pour n’importe quel s ∈ S !) est un
homomorphisme, et trouver le noyau de ι. Quand est-il injectif ?
(d) Si P est un idéal premier de R, montrer que R − P est multiplicativement
stable.
(e) Si R est intègre et S = R − {0}, montrer que S −1 R ∼
= Q(R), le corps de
fractions.
(f) Soient R = Z et P = pZ. Soit S = R−P . Décrire S −1 Z en tant que sous-anneau
de Q. Montrer que S −1 Z est un anneau local.
5. Soit R un anneau commutatif et S ⊂ R une partie multiplicativement stable. Soit
ϕ : R → T un homomorphisme d’anneaux tel que ϕ(S) ⊂ T ∗ . Montrer que ϕ
s’étend à un unique homomorphisme d’anneaux ϕ̂ : S −1 R → T tel que ϕ̂ ◦ ι = ϕ,
où ι : R → S −1 R est l’homomorphisme naturel de 4(c).
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