l`ensemble de mandelbrot

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Devoir à la maison à rendre le mardi 11 octobre 2016
L’ENSEMBLE
DE
MANDELBROT
Les deux parties de ce devoir sont indépendantes.
1
UNE INÉGALITÉ DE MODULES
∀z ∈ U,
On souhaite établir l’inégalité suivante :
Soit z ∈ U un nombre complexe de module 1. On pose :
1) Exprimer Re(z), puis Re z 2 en fonction de x.
2) En déduire que :
13
.
−1 ¶ 3|z − 1| − z 2 − z + 1 ¶
4
x = |z − 1|.
z 2 − z + 1 = x 2 − 1.
3) En déduire l’inégalité demandée.
4) Pour quelles valeurs de z les valeurs −1 et
2
13
sont-elles effectivement atteintes ?
4
L’ENSEMBLE DE MANDELBROT
Une suite de nombres complexes (un )n∈N est dite bornée si :
lim |un | = +∞, la suite (un )n∈N N’est PAS bornée.
∃ M ¾ 0/
∀n ∈ N,
|un | ¶ M .
En particulier, si :
n→+∞
Pour tout c ∈ C, on notera zn (c) n∈N la suite définie par : z0 (c) = 0 et pour tout n ∈ N : zn+1 (c) = zn (c)2 + c.
L’ensemble M des nombres complexes c ∈ C pour lesquels la suite zn (c) n∈N est bornée porte un nom depuis les années 80,
on l’appelle l’ensemble de Mandelbrot. Si vous avez déjà entendu parler des fractales, sachez que l’ensemble de Mandelbrot
en est une, mais nous n’avons pas les moyens de l’étudier en tant que fractale. Nous nous contenterons dans ce devoir de
démontrer quelques propriétés géométriques simples de l’ensemble M qui nous aideront à nous le représenter.
N’hésitez pas à vous servir de l’inégalité triangulaire, selon laquelle pour tous z, z ′ ∈ C :
1) a) Montrer par récurrence que pour tous c ∈ C et n ∈ N :
b) En déduire un axe de symétrie de M .
|z| − |z ′ | ¶ |z + z ′ | ¶ |z| + |z ′ |.
zn c = zn (c).
Dans chaque question désormais, le nombre complexe c étant fixé, on notera simplement (zn )n∈N la suite zn (c) n∈N . Il faut
tout de même bien garder en tête que la suite (zn )n∈N dépend de c.
2) Montrer que M contient le nombre i.
1
.
4
3) Soit c ∈ C pour lequel :
|c| ¶
4) Soit c ∈ C pour lequel :
|c| > 2.
a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ :
Montrer que pour tout n ∈ N :
|zn | ¶
1
.
2
Qu’en déduit-on sur M ?
|zn | ¾ |c|.
|zn+1 | ¾ 2 |zn | − 1 .
c) En déduire que pour tout n ∈ N∗ : |zn | ¾ 2n−1 |c| − 2 + 2.
b) En déduire que pour tout n ∈ N :
d) En déduire que :
c∈
/ M,
puis que M est inclus dans un disque dont on précisera le centre et le rayon.
5) a) Soit c ∈ R. Montrer que pour tout n ∈ N :
zn ∈ R.
1
b) Montrer que pour tout x ∈ R : x 2 ¾ x − .
4
˜
˜
1
, 2 . Montrer que pour tout n ∈ N :
c) Soit c ∈
4
d) Soit c ∈ [−2, 0]. Montrer que pour tout n ∈ N :
1
zn+1 ¾ zn + c − ,
4
|zn | ¶ |c|.
e) En déduire M ∩ R.
1
puis que :
‹
1
.
zn ¾ n c −
4

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6) Soit c ∈ M . Par définition de M , la suite (zn )n∈N est bornée, mais on ne sait pas par quoi. On va montrer dans cette
question qu’on peut toujours la borner par le réel 2.
a) Montrer que l’équation :
b) Montrer l’inégalité :
x 2 = x + |c|
d’inconnue x ∈ R∗+ possède une et une seule solution γ.
1 ¶ γ ¶ 2.
c) On pose pour tout n ∈ N :
δn = |zn | − γ.
Montrer que pour tout n ∈ N :
d) En déduire, en raisonnant par l’absurde, que pour tout n ∈ N :
δn+1 ¾ 2γδn .
|zn | ¶ γ.
Le résultat de la question 6) est très utile quand on veut représenter l’ensemble M par ordinateur.
Pour le représenter sur un rectangle [x min , x max ] × [ ymin , ymax ], on veut savoir quels points de ce
rectangle sont dans M et quels points n’y sont pas. Et comme on ne peut pas tester une infinité de
points avec un ordinateur, on ramène en fait le rectangle à une simple grille de points comme sur
la figure ci-contre.
ymax
ymin
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x min
x max
Pour chacun de ces points c, on calcule alors la suite (zn )n∈N correspondante pour savoir si elle est bornée. Le problème,
c’est qu’ici aussi, le calcul d’un nombre infini de termes n’est pas possible. Concrètement, on calcule donc un nombre fixé de
termes, par exemple 100. Si l’un des nombres z1 , . . . , z100 dépasse 2 en module, la question 6) montre que : c ∈
/ M . Si
au contraire chacun de ces nombres a un module inférieur à 2, on considère que : c ∈ M — peut-être à tort, mais ça
marche bien.
L’ensemble de Mandelbrot M est représenté en noir sur les figures ci-dessous. Les dégradés de bleu qui l’entourent représentent autre chose. Pour une valeur de c qui n’appartient pas à M , la suite (zn )n∈N dépasse 2 en module à partir d’un certain
rang. Ce rang peut être petit comme il peut être grand. Par convention, plus il est petit, plus la couleur du point c est foncée.
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