MP 1 DM Thermodynamique DEVOIR MAISON n°14 Pour le

MP 1
DM Thermodynamique
DEVOIR MAISON n°14
Pour le vendredi 3 mars 2017
A) ÉTUDE D’UN CALORIMÈTRE
I
Un calorimètre est constitué par une enceinte dans laquelle sont
placés des accessoires comme un agitateur (A) et une résistance
électrique R reliée à un circuit extérieur, permettant d’y faire
circuler un courant électrique. On désigne par C la capacité
thermique totale de ces accessoires. L’agitateur permet
d’homogénéiser la température du contenu de l’enceinte qui sera
R
notée θ (en °C).
Toutes les phases condensées seront supposées idéales. On
néglige la capacité thermique de l’air enfermé dans le calorimètre Agitateur Calorimètre
devant celle de l’eau et des accessoires. On donne la capacité
thermique massique de l’eau liquide, supposée constante : ceau = 4,18.103 J.K-1.kg-1
I
Le calorimètre contient initialement une masse m1 = 95 g d’eau et le dispositif est en équilibre
thermique à la température θ1 = 20°C.
1) On suppose dans un premier temps que le calorimètre est parfait, c’est à dire que ses parois sont
adiabatiques. Aucun courant ne circule dans la résistance. Après avoir ajouté une masse m2 = 71 g
d’eau à la température θ2 = 50°C, on constate que la température finale du dispositif se stabilise à
θF = 31,3°C.
À l’aide du premier principe, déterminer C en fonction m1, m2, θ1, θ2, θF et ceau. En déduire la
« valeur en eau » µ du calorimètre, définie par : C = µ ceau. Application numérique : calculer µ.
Le calorimètre est entièrement vidé de l’eau qu’il contient et on y introduit une masse m0 = 83 g
d’éthanol de capacité thermique massique c0.
2) À partir de t = 0, on fait circuler un courant I constant dans la résistance R dont la valeur est
indépendante de la température.
a) Faire un bilan énergétique pendant l’intervalle de temps dt et en déduire l’équation différentielle
vérifiée par θ(t).
b) On constate que la température s’est élevée de 9,2°C au bout de τ = 120 s. En déduire la capacité
thermique massique c0 de l’éthanol, sachant que I = 1,40 A et R = 5,0 Ω.
c) En fait, le calorimètre n’est pas parfait et il faut tenir compte des « fuites thermiques ». Entre les
instants t et t + dt le contenu du calorimètre échange avec le milieu extérieur une chaleur δQ pouvant
s’écrire : δQ = - K (θ - θa) dt, où K est une constante, θ la température dans l’enceinte à l’instant t et
θa la température de l’atmosphère extérieure, supposée constante. On suppose qu’à t = 0, θ(0) = θ1 =
20°C.
Comment est modifiée l’équation différentielle du 2) ?
d) En déduire θ(t) et en donner une représentation schématique en fonction du temps. Quelle est la
température limite atteinte par le contenu de l’enceinte ? Application numérique : K = 0,48 J.K-1.s-1 et
θa = 20°C.
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B) ÉTUDE D’UNE TRANSFORMATION IRRÉVERSIBLE
De l’air est stocké dans un réservoir (A) de
volume VA sous la pression PA et la température TA.
Ce réservoir est mis en communication avec un
compartiment (B) de volume VB par l’intermédiaire
d’une paroi (P) rigide, munie d’un robinet (R). Un
piston peut coulisser horizontalement et sans
frottements dans (B) : sa face externe est au contact
de l’atmosphère dont la pression Patm est
rigoureusement constante. Les parois de (A), (B),
ainsi que le piston sont adiabatiques. En revanche, la
paroi (P) qui sépare les compartiments (A) et (B) est
diathermane.
Données :
(P) (B)
(A)
PA
Piston
(R)
TA
Patm
x
O
PA = 6,0 bar ; Patm = 1,0 bar ; R = 8,31 J.K-1.mol-1 ;
VA = 5,0 L ; TA = 298 K ;
L’air est assimilé à un gaz parfait de coefficient : γ = 1,40
1)
a) Rappeler la relation de Mayer pour n moles de gaz parfait et en déduire les expressions de CV et CP
en fonction de n, R et du coefficient γ = CP/CV.
b) Déterminer la variation d’entropie de ces n moles, S(T2, P2) – S(T1, P1) lorsque le gaz passe de
l’état (T1, P1) à l’état (T2, P2).
Dans l’état initial I, le robinet (R) est fermé et il y a nA moles d’air dans (A) et le compartiment (B)
est vide : VB = 0.
2) Déterminer nA. Application numérique.
3) On ouvre le robinet (R) et de l’air se répand dans le compartiment (B). Il finit par atteindre un état
d’équilibre thermodynamique final F, pour lequel la pression est uniforme dans (A) et (B).
a) Déterminer la pression finale PF.
b) On note T1 la température dans l’état final F. Déterminer le nombre de moles nBF de gaz dans (B)
en fonction de Patm, PA, TA, T1, R et VA.
c) On suppose que la capacité thermique de la paroi (P) est négligeable. En appliquant le premier
principe à un système judicieusement choisi, montrer que la température finale T1 du gaz vaut :
T1 =
TA ⎛
Patm ⎞
⎜1+ (γ −1)
⎟
γ ⎝
PA ⎠
Calculer T1.
c) Déterminer l’entropie créée SC au cours de cette transformation et commenter le résultat.
€
4) Afin de refouler l’air dans le réservoir (A), un opérateur exerce une force F = −F u x (F > 0)
constante sur la face externe du piston. On appellera A la section de celui-ci.
a) Quelle valeur minimale Fmin faut-il donner à F pour refouler tout le gaz dans (A) ? Application
€
numérique : calculer Fmin avec A = 1,0.10-3 m2.
b) On suppose que l’opérateur exerce F = 2 Fmin. Déterminer à l’aide du premier principe la
température T2 atteinte lorsque l’équilibre thermodynamique est de nouveau atteint. Faire
l’AN.
c) Calculer l’entropie créée SC au cours de cette transformation et commenter.
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C) MOTEUR THERMIQUE
Une mole d’air (gaz parfait diatomique) décrit un cycle moteur 1-2-3-4-5-1 totalement réversible.
Dans l’état 1 : T1 = 300 K et P1 = 1,0 bar.
1 ! 2 : compression adiabatique avec V2 = V1 / 10 ;
2 ! 3 : échauffement isochore avec T3 = 1 190 K ;
3 ! 4 : échauffement isobare et T4 = 1 500 K ;
4 ! 5 : détente adiabatique ; 5 ! 1 : refroidissement isochore.
On supposera que l’air est un gaz parfait d’exposant adiabatique γ = 1,40 constant. On donne
R = 8,31 J.K-1.mol-1.
1) Déterminer en les justifiant les températures, volumes et pressions en chaque point du cycle. Pour
chaque grandeur d’état, on fera un calcul littéral et on rangera les valeurs numériques dans un tableau
de la forme :
État
T (en K)
P (en bar)
V (en L)
1
300
1,0
2
3
1 190
4
1 500
5
2) Représenter ce cycle dans un diagramme de Clapeyron.
3) On appelle :
Q1 la chaleur reçue par le gaz au cours d'un cycle : Q1 > 0.
Q2 la chaleur cédée par ce gaz au cours d'un cycle : Q2 < 0.
Déterminer Q1 et Q2. On fera un calcul littéral puis on en donnera les valeurs numériques.
4) Quel est le rendement r de ce moteur ? Application numérique : calculer r. Comparer au rendement
d’un moteur ditherme réversible fonctionnant entre deux sources de chaleur de température T1 et T4.
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