TS Nombres complexes I. Cours Le plan complexe 1. Définitions générales Théorème( admis ) Il existe un ensemble noté , appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : contient l’ensemble des nombres réels L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les calculs restent les même Il existe un nombre complexe noté i tel que i² = -1 Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique où Définition L’écriture . avec et réels , est appelée forme algébrique du nombre complexe est la partie réelle de , notée Re( ) est la partie imaginaire de , notée Im( ) Exemples : , Re( ) = …. et Im( ) = ….. = 2 i – 1 , Re( ) = ….. et Im( ) =….. z = 3i² + iRe( ) = ….. et Im( ) =….. Remarques : La notation sera réservée aux nombres positifsLes parties réelles et imaginaires sont des nombres réels Lorsque = 0 , z est un réel : Lorsque = 0 , z = i y ( y réel ) est un imaginaire pur 𝒛 I𝒎(𝒛) = 𝟎 𝒛 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒑𝒖𝒓 𝑹𝒆(𝒛) = 𝟎 Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire +i = ’+i ’ 1 = ’ et = ’ En particulier : , étant des réels : 2. Calculs algébriques dans Les règles connues dans +i = 0 x=0 et y = 0 : se prolongent à avec la condition Exemples : Ecrire sous forme algébrique II. Equation du second degré à coefficients réels 1. Racine carrée dans d’un nombre réel Définition Soit a un nombre réel Les solutions dans de l’équation sont appelées racine carrées de dans Exemple : Résolution de l’équation Démontrer que cette équation équivaut à En déduire les solutions de l’équation Propriété Tout nombre réel a admet 2 racines carrées non nuls dans Si a Si a < 0 : ce sont les nombres { i a ;i a } 0 : ce sont les nombres {- a ; a } Exemples : Résoudre dans ℂ 𝑧² + 2 = 0 2𝑧² + 3 = 0 2 2. Equation Propriété L’équation a pour discriminant Si Si : l’ équation admet une unique solution réelle : l’équation admet deux solutions réelles Si l’équation admet deux solutions complexes Remarque : Le trinôme se factorise : Exemple : Résoudre dans . III. Représentation géométrique des nombres complexes 1. Affixe d’un point , d’un vecteur (O ; u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan Définitions A tout nombre complexe = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑜ù 𝑥, 𝑦 , on associe le point M de coordonnées (𝑥 ; 𝑦 ) 𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑀 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝒑𝒐𝒊𝒏t image de 𝑧 et que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 est le vecteur image de 𝑧 Tout point (𝑥 ; 𝑦 ) est le point image d’un seul complexe 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 𝑦 . On dit que z est l’affixe du point M et du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀. On note : Le plan est alors un plan complexe Remarques : Si x=0 , alors z est imaginaire pur, le point image est sur l’axe des ordonnées Si y=0 , alors z est réel , le point image est sur l’axe des abscisses 3 Le point d’affixe i : 2. Propriétés Propriétés Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales Si et ont pour affixe 𝑒𝑡 𝑧 , alors : a pour affixe 𝑧 + 𝑧’ a pour affixe 𝑘𝑧 ( k réel ) Exercice : Conjecture avec Geogebra sur quelques exs Soit ) En utilisant l’écriture algébrique de [AB] , déterminer l’affixe du vecteur Propriété Soit Le vecteur Le milieu I de [AB] a pour affixe : 𝑧𝐼 = a pour affixe : 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 𝑧𝐴 +𝑧𝐵 2 Exemples : 24 , 25 , 27 page 241 4 et du milieu I de IV. Conjugué d’un nombre complexe 1. Définition : Soient réels et Le nombre complexe On le note est le conjugué de Exemple : le conjugué de ; z = 3i ; z = -4 Interprétation géométrique : Dans le plan complexe , le point M d’affixe z et le point M’ d’affixe z sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses 2.Inverse d’un nombre complexe Exemple : a. Ecrire sous forme algébrique Quel est l’inverse de 1 1 i ( tester à la calculatrice) 1 1 i b. Soient réels et Déterminer la forme algébrique de l’inverse de z Propriété : Tout nombre complexe non nul admet un inverse dans noté Exemples : Ecrire sous forme algébrique Méthode : on multiplie par le conjugué du dénominateur 3. Propriétés algébriques Opérations sur les nombres conjugués Pour tous réels et ’ et tout entier naturel n non nul 1. z + z’ = z + z’ 2. z × z’ = z 3. zn = z 4. Si z’ 0 : × z’ n ( 1 1 ) = z’ z’ et ( z z ) = z’ z’ 5 Preuve : Exemples : 30 page 243 Donner une forme algébrique du conjugué Ecrire en fonction de ; de le conjugué du nombre : : Propriétés : Pour tout nombre complexe 𝑧̿ = 𝑧 = 2 𝑅𝑒(𝑧) = 2𝑖 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑥² + 𝑦² Conséquence : est un réel équivaut à 𝑧 = 𝑧̅ est un imaginaire pur équivaut à 𝑧 = −𝑧̅ Exemple : Déterminer l’ensemble des points 𝑀 d’affixe 𝑧 tels que 𝑧² − 𝑧̅ soit réel 𝑧² − 𝑧̅ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle . On pose 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑧² − 𝑧̅ est réel si et seulement si il est égal à son conjugué 6