Classe de terminale S Mathématiques Thème abordé : équations

Classe de terminale S
Mathématiques
Thème abordé : équations différentielles
Exercice 1
1) Résoudre sur l’équation différentielle ( E ) : y '  3 y  6 .
2) Déterminer la solution de ( E ) telle que f (2)  1 .
Exercice 2
Soit ( E ) l’équation différentielle y '   y  x et f la solution de ( E ) sur [0 ;2] telle que f (0)  1 .
1) En utilisant la méthode d’Euler, écrire un algorithme permettant de déterminer une approximation
de f (a) avec un pas de h fixé lorsque le réel a est donné.
2) En appliquant cet algorithme, tracer une approximation de la courbe représentative de la fonction f
sur [0 ;2] avec un pas de 0,5.
Exercice 3
Soit ( E ) l’équation différentielle y '   y  x .
1) Déterminer deux réels a et b tels que la fonction g : x
ax  b soit une solution de ( E ) .
2) Démontrer que f est solution de ( E ) si, et seulement si, f  g est solution de ( E ') : y ' y  0 .
3) Résoudre l’équation ( E ') , puis ( E ) .
Exercice 4
On considère l’équation différentielle ( E ) : y '  2 y( y  3) .
On cherche les solutions de ( E ) qui ne s’annulent pas ; pour cela, on pose z 
1
.
y
1) Démontrer que z est solution de l’équation ( E ') : z '  6 z  2 .
2) Résoudre l’équation ( E ') , puis ( E ) .
3) Déterminer la solution f de ( E ) telle que f (0)  1 .
Exercice 5
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1) La fonction u : x
ex
x 1 x
e est solution de l’équation y  y '  2 .
x
x
2) Si f est une fonction positive sur
décroissante sur .
et solution de l’équation différentielle y ' 2 y  e 2 x , alors f est
Exercice 6
On désigne par f une fonction dérivable sur R et par
Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :
f ' sa fonction dérivée.
[ f '( x)]2  [ f ( x)]2  1 ;
(2) f ′(0) = 1
1) a.Démontrer que, pour tout nombre réel x , f '( x)  0 .
(1) pour tout nombre réel x,
;
(3) la fonction f ′ est dérivable sur
b. Calculer f (0).
2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que :
(4) pour tout nombre réel x , f ''( x)  f ( x) , où f '' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction
3. On pose :
a. Calculer
f
u  f ' f et v  f ' f
u (0) et v(0) .
b. Démontrer que u '  u et v '  v .
c. En déduire les fonctions u et v .
d. En déduire que, pour tout réel
x , f ( x) 
e x  e x
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