La chute

Cours n°4 : La chute
1) Le champ de pesanteur terrestre
Il est possible de caractériser en tout point de l’espace la capacité d’attraction de la terre sur un objet
par la définition de la notion de champ de pesanteur.
Cette définition se fait par l’utilisation de la notion de vecteur champ qui permet d’indiquer de
manière unique la direction, le sens et l’intensité de cette capacité d’attraction en un point de
l’espace.
Ce vecteur champ permet de déduire la force agissant sur l’objet en ce même point de l’espace.
L’ensemble de ces vecteurs champ constitue la notion de champ de pesanteur.
La variation de la valeur de ce champ de pesanteur terrestre en fonction de l’altitude étant très
faible, il est possible de le considérer comme constant jusqu’à des altitudes de quelques kilomètres.
La valeur du champ de pesanteur est ainsi le vecteur constant
pesanteur et qui est défini par :
, que l’on appelle accélération de la
avec
Un corps de masse situé au voisinage de la terre va subir l’attraction de la terre, qui correspond à
la définition de son poids à partir de la notion de champ de pesanteur. On a :
où
est le vecteur poids.
2) La chute libre
2.1) Définition des hypothèses de chute libre
Un projectile de masse est lancé avec une vitesse initiale
, selon une trajectoire de dimensions
suffisamment faibles de manière à pouvoir considérer le champ de pesanteur comme uniforme.
La chute libre est par définition le mouvement d’un objet soumis uniquement à son propre poids.
Durant une chute libre, on néglige :
- La poussée d’Archimède si
- Les frottements de l’air
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2.2) Caractéristiques dynamiques du mouvement de chute libre
On étudie la trajectoire du projectile dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Bilan des forces : poids du projectile
2nde loi de Newton :
Le mouvement de chute libre est un mouvement uniformément varié suivant l’accélération de la
pesanteur.
On a dans un repère orthonormal
tel que
soit vertical ascendant, le vecteur accélération
suivant :
2.3) Etude de cas
Il est nécessaire de distinguer plusieurs cas dans l’étude du mouvement de chute libre en fonction
des conditions initiales du problème.
2.3.1) Chute libre sans vitesse initiale
Le mobile étudié est ici lâché sans vitesse initiale. On a les conditions initiales suivantes :
On intègre alors le vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales du problème.
On a :
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On a donc :
Par intégration du vecteur vitesse, on a :
Ce qui donne :
le mouvement est accéléré suivant l’axe
.
Un objet lâché sans vitesse initiale et en chute libre est en mouvement rectiligne uniformément
accéléré suivant la direction verticale.
A l’instant t, on a la hauteur de chute ainsi que la vitesse de l’objet :
2.3.2) Chute libre avec vitesse initiale verticale
Le mobile est lancé verticalement avec une vitesse
positive ou négative non nulle.
Conditions initiales du problème
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Par intégration, on a :
Par intégration du vecteur vitesse, on obtient :
Ce qui donne :
Contexte n°1 :
Hauteur de chute :
Contexte n°2 :
Temps de montée
pour
Position maximale
Hauteur maximale :
Temps au repassage
L’objet repasse en
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à l’origine
au bout du temps
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!
Lorsque un objet est en chute libre, il peut soit tomber soit monter tant que
2.3.3) Chute libre avec vitesse initiale formant un angle
avec l’horizontale – le tir parabolique
avec
Conditions initiales du problème
L’intégration de l’accélération nous donne :
Puis l’intégration de la vitesse nous donne :
On peut alors éliminer le paramètre dans les équations horaires :
L’équation de la trajectoire est donc :
Portée
On appelle portée l’abscisse de chute du projectile notée
La portée est telle que
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.
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Flèche :
On appelle flèche l’altitude maximale
L’altitude maximale est atteinte pour
atteinte par le projectile.
au temps .
est donc la durée pour atteindre l’altitude maximale.
On obtient :
Les coordonnées du maximum sont donc :
Au final il faudra bien poser les conditions initiales du problème pour pouvoir intégrer l’accélération
et déterminer les équations horaires du mouvement du projectile.
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2.3.4) Le tir parabolique – cas général – synthèse des résultats
Accélération :
Vitesse :
Equations horaires :
Equation de la trajectoire :
Formules pour
Portée :
Pour
Portée :
Temps de chute :
Temps de chute :
Flèche :
Angle
:
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3) Chute verticale dans un fluide visqueux
Lorsqu’un corps chute dans un fluide visqueux, il n’est plus possible de parler de chute libre.
Quand le corps s’enfonce dans le fluide, il subit des forces non négligeables devant son poids.
3.1) Etablissement de l’équation du mouvement
Système = solide assimilé à un point matériel
Référentiel = référentiel terrestre supposé galiléen
Un solide de masse m , de volume , de masse volumique
est lâché sans vitesse initiale dans un fluide visqueux de
masse volumique .
On travaillera avec
car dans le cas contraire le solide va flotter à la surface du fluide.
Bilan des forces :
Poids :
Poussée d’Archimède :
Force de frottement fluide :
On a :
car l’objet chute
2nde loi de Newton (RFD)
Le mouvement étant suivant l’axe
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., on projette la RFD suivant cette direction. On a :
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3.2) Cas du frottement laminaire (faibles vitesses)
L’équation précédente devient :
Rappel mathématique
Une équation différentielle du type
se résout par :
Condition initiale
On définit la vitesse limite
telle que :
On définit la constante de temps telle que :
L’expression de
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devient alors :
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Valeurs à connaître :
On peut considérer que l’on est en régime permanent à
Soit
le temps au bout duquel le solide a atteint la moitié de sa vitesse limite. On a :
3.3) Cas du frottement turbulent (vitesses élevées)
On a :
L’équation différentielle devient :
L’équation n’est pas linéaire est sa résolution est difficile et pas au programme du concours.
On peut toutefois déterminer la valeur de la vitesse limite en régime permanent.
En régime permanent (
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), les grandeurs physiques ne dépendent plus du temps. On a :
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D’où l’expression de la vitesse limite en régime turbulent :
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