Chapitre n°8

CHAPITRE N°8 : CHUTE VERTICALE.
I CHAMP DE PESANTEUR. (RAPPEL)
1) Poids d’un corps
Comme nous l’avons vu en première, tout objet de masse m subit au voisinage de la Terre
la force d’attraction gravitationnelle qui a pour expression :
F=P= .m G.MT /(RT+z)2 . u
u en vecteur. Vecteur dirigé vers le centre de la Terre
2) Champ de pesanteur
Le vecteur champ de pesanteur est défini en un point par g= G.MT /(RT+z)2 . u
A la surface de la Terre, g=9.81N.kg-1
La direction de g varie d’un point à l’autre de la surface de la Terre. On peut considérer
que dans une zone restreinte à la surface de la Terre, le champ de pesanteur est uniforme.
II ETUDE D’UN SOLIDE EN CHUTE VERTICALE DANS UN FLUIDE ;
1) expérience :
Vidéo fluide 1
On repère la position de la bille à chaque image.
Y a-t-il différentes phases ?
Pourquoi ?
Tout d’abord on a un régime initial ou la vitesse augmente donc le vecteur accélération
n’est pas nul.(somme F0 d’après la deuxième loi de Newton.)
Puis la vitesse reste constante ( vitesse limite) donc la somme vectorielle des forces
devient nulle.
Mais pourquoi ces deux phases ?
2) les frottements du fluide.
Quand on est en voiture si l’on met la main par la fenêtre on sent une force s’exercée sur
notre main.
Def : la force exercée par un fluide (gaz, liquide) sur un solide en mouvement a la même
direction que le vecteur vitesse du solide, mais le sens opposé.
Sa valeur dépend de la nature du fluide, de la vitesse du solide de sa forme de ses
dimensions et de l’état de sa surface.
f est proportionnelle à vn f=k.v pour de faible vitesse.
3) la poussée d’Archimède
Cette force a été vu en 1ère.
Def : tout corps plongé dans un fluide subit de la part de ce fluide une force noté F ou 
dont les caractéristiques sont les suivantes :
- direction verticale
- sens vers le haut
- valeur : poids du fluide déplacé
 masse volumique du fluide en kg.m-3
V en m3
g : valeur du champ de pesanteur en N.kg-1
F valeur de la poussée d’Archimède en N
F ne change pas si le solide est en mouvement.
Si en vecteur F= - .V.g
F==.V.g
4) équation différentielle du mouvement :
Soit un repère terrestre (O,i,j,k) où l’axe O k est vertical descendant.
A la date t=0 la bille a une vitesse verticale vO
Syst d’étude : la bille en chute verticale.
Référentiel : terrestre supposé comme Galiléen.
Forces exercées sur la bille :
- son poids
- la poussée d’Archimède
- les forces de frottement.
Donc d’après la deuxième loi de Newton :
F=P+∏+f=m.a
Donc en projetant sur un axe dirigée vers le bas
Pk + ∏k + fk=m.ak=m.dvk/dt
on a Pk=P ∏k=- ∏ et fk=-f
(m-V).g-k.vn= m.dv/dt
donc dv/dt = - k/m vn + (m-V).g/m
Avec A = (m-V).g/m
et B = - k/m
Cette équation est de la forme : dv/dt =A + B.vn ou z’’=A + B.z’ ou a = A + B.vn
5) vitesse limite :
La vitesse augmente au début du mouvement. Donc f aussi ceci jusqu’a un équilibre
à ce moment on a : dvk/dt =0 donc
- k/m vk + (m-V).g/m = 0
or V= mfluide
- k/m vk + (m-mfluide).g/m = 0
vk= (m-mfluide).g /k
6) résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler
La méthode d’Euler permet de résoudre numériquement cette équation différentielle.
Pour l’utiliser il faut connaître la vitesse à un instant donné. (souvent la vitesse initiale vo )
Cette méthode comporte 2 étapes de calcul qu’il faut répéter. C’est une méthode itérative.
Première étape :
On calcule l’accélération ao à la date to
L’équation différentielle nous donne : ao = A – B.von prenons n=1
Deuxième étape :
On calcul v1 à la date t1 = to + t la durée t est appelé le pas du calcul.
Il suffit ensuite de recommencer ces deux étapes de calcul.
a1 = A – B.v1
v2 = v1 + a1.t
ETC…..
Ensuite on opère par tâtonnement pour trouver les valeurs de A, B et n qui permettent de
faire coïncider la courbe théorique et la courbe expérimentale.
Le choix du pas de calcul est important car si il est trop grand les résultats ne seront pas
cohérents et si il est trop petit il y aura un très grand nombre de calcul.
7) interprétation graphique
La résolution graphique de la solution montre que le mouvement de la bille se décompose
en :
- un régime initial pendant lequel le mouvement est accéléré
- un régime asymptotique (ou permanent) pour lequel la vitesse est constante, sa valeur
est appelée vitesse limite.
- On peut associer un temps caractéristique  à cette chute. Sa valeur est donnée par
l’intersection de l’asymptote et de la tangente à la courbe.
III CHUTE VERTICALE LIBRE.
1) chute libre
Un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.
2) accélération de la pesanteur
Le système étudié est un solide S de masse m soumis seulement à son poids P=mg (vect).
A l’instant t = 0s on lâche le solide sans vitesse initiale du point O de coordonnées (0,0,0).
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, la deuxième loi de Newton permet
d’écrire :
P=maG (vect)
D’où mg=ma et donc a=g (vect)
Cc : en chute libre, le vecteur accélération aG du centre d’inertie d’un solide est égal au
vecteur champ de pesanteur.
L’accélération d’un corps ne dépend pas de sa masse.
3) équation horaire du mouvement :
On choisi un repère d’étude (o,i,j,k) l’axe ok est orienté vers le bas.
Vitesse du centre d’inertie :
aG= dv/dt=dvx/dt.i +dvy/dt.j +dvz/dt.k =g=g.k
d’où dvx/dt=0 ; dvy/dt=0 ; dvz/dt=g
On peut en déduire vx,vy et vz grâce aux primitive :
vx=A vy=B vz=g.t+C
or à la date t=0 les coordonnées de v sont nulles donc A=B=C=0
vx=0 vy=0 vz=g.t
cc la direction du vecteur vitesse est verticale, il est dirigé vers le bas et sa valeur augmente
linéairement avec le temps. VG=(gt)k vect
Position du centre d’inertie :
vG étant la dérivée du vecteur position OG
On peut vérifier que ces équations différentielles ont pour solutions
x=D ; y=E ; z=1/2.g.t2 +F
Or à t=o x,y et z sont nulles, il en est donc de même pour D,E et F.
D’où x=0
y=0 z=1/2.g.t2
Remarque : des équations horaires du mouvement on peut déduire une relation entre la vitesse
et la position du mobile :
vz=gt
z=1/2.g.t2
2
 vz =2gz
4) importance des conditions initiales :
Cas ou il existe une vitesse initiale vo et ou les coordonnées du point O sont (0,0,zo)
L’accélération est toujours la même a=g
Donc vz=gt+A
avec A=vo car à t=0 vz=vo
vz=gt+vo
Donc z=1/2.g.t2 + vo.t + B
Ici B =zo car à t=0 z=zo
D’où l’équation horaire du mouvement :
z=1/2.g.t2 + vo.t + zo
Instant ou vz = 0 m/s
Si vo<0 vz s’annule pour : vz=gt+ vo = 0 donc t= -vo/g
Altitude maximale
À l’altitude max vz=O m/s
L’objet monte jusqu’à z=1/2.g.t2 + vo.t pour t= -vo/g
D’où z= vo2/2g