Quelques formules utiles

Quelques formules utiles
Équations de partitions
Si T (n) = aT (b nb c) + O(nd ), avec a > 0, b > 1 et d ≥ 0 alors :
• si d > logb a, T (n) = O(nd )
• si d = logb a, T (n) = O(nd log n)
• si d < logb a, T (n) = O(nlogb a )
Équations linéaires d’ordre k
Il s’agit des équations de la forme T (n) = an−1 T (n − 1) + an−2 T (n − 2) + . . . + an−k T (n − k) + f (n).
Pour déterminer une solution d’une telle équation il faut connaı̂tre les valeurs de k termes successifs
initiaux.
Si f (n) = 0 il s’agit d’une équation sans second membre et on peut la résoudre grâce à son polynôme
caractéristique :
P (x) = xk − an−1 xk−1 − an−2 xk−2 − . . . − an−k
La solution d’une équation linéaire sans second membre est de la forme :
T (n) = Q1 (n)r1n + Q2 (n)r2n + . . . + Qs (n)rsn
• ri : racine du polynôme caractéristique
• wi : ordre de multiplicité de la racine ri
• Qi : polynôme de degré wi − 1
Logarithmes et Puissances
logb (a) =
logu (a)
ln(a)
=
ln(b)
logu (b)
xa = ea×ln(x) = ua×logu (x)
logu (ax ) = x × logu (a)
a
logu (a) − logu (b) = logu ( )
b
logu (a) + logu (b) = logu (a × b)
xa+b = xa × xb
xa−b =
logb (bx ) = blogb (x) = x
xa
xb
logb (a) =
xa×b = (xa )b = (xb )a
1
loga (b)
alogu (x) = xlogu (a)
Sommes
n
X
n
X
(n + 1)n
i=
2
i=1
n
X
(2n + 1)(n + 1)n
i =
6
i=1
2
3
i =
i=1
(n + 1)n
2
!2
pour q 6= 1 :
n
X
qi =
i=0
n
X
q n+1 − 1
q−1
i2 q i = n2
i=1
Z
f (i) ≤
i=a
b
f (t) dt ≤
a
b
X
i=a+1
pour t ≥ 0, ∀n ≥ 0 :
i qi = n
i=1
q n+1
qn − 1
−q
q−1
(q − 1)2
q n+1
q n+1
qn − 1
− 2n
+
q(q
+
1)
q−1
(q − 1)2
(q − 1)3
pour f (x) continue et croissante sur [a..b] :
b−1
X
n
X
pour f (x) continue et croissante sur [u − 1..v + 1] :
Z
v
f (t) dt ≤
f (i)
u−1
v
X
i=u
Z
v+1
f (i) ≤
f (t) dt
u
pour k ≥ 0, ∀n ≥ 0 :
n
X
ti
i=0
i!
/ et
n
X
ik
i=0
i!
/ e × Bk
avec Bk = Nombre de Bell
(B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15 . . .)