A l’attention de tous les élèves de Première S pour l’année scolaire 2015-2016 DEVOIR MAISON DE MATHEMATIQUES Un travail de révision (des grandes notions telles que les fonctions, les équations de droites, les vecteurs, les probabilités, … ) est souhaitable pendant les grandes vacances pour une entrée solide en Première S. Ce devoir est facultatif, cependant il permet de vous aider à retravailler certains chapitres abordés en Seconde et de vous préparer aux premières notions qui seront traitées à la rentrée en septembre 2015. En complément de ces révisions, ce devoir maison demande l’utilisation de certains logiciels qui est un des points clairement signalés dans le programme ; il est donc important de s’y intéresser rapidement ( création d’une figure dynamique sous GEOPLAN ou GEOGEBRA , d’une feuille de calcul sous OpenOffice ou EXCEL, … ). Pour les élèves ayant fait ce devoir, la note ne sera prise en compte dans le calcul de la moyenne du 1er trimestre que si elle est à leur avantage. La copie sera ramassée, sans exception, lors du premier cours de Mathématiques. Nous utiliserons l’an prochain la plate-forme Edmodo sur laquelle vous devrez tous être inscrits* d’ici la rentrée et par laquelle vous pourrez me poser des questions précises et m’envoyer les travaux informatiques (notamment pour ce devoir maison). Bonnes révisions et bonnes vacances à tous. Mme André * Pour l’inscription sur Edmodo : indiquez vos nom et prénom, code de la classe : i4uzbh Exercice 1 Un cycliste se rend d’une ville A à une ville B. Il effectue la moitié du trajet à 20 km/h et l’autre moitié à km/h. On rappelle la relation : v = d t 1. a. Justifier que le temps t nécessaire pour effectuer la moitié du trajet à 20 km/h vérifie : t = b. Justifier de même que l’on a : t’ = AB . 40 AB où t’ est le temps mis pour effectuer la moitié du trajet 2 à km/h. c. En déduire que la vitesse moyenne V( ), en km/h, sur l’ensemble du trajet est : V( ) = 40 . + 20 On donne ci-dessous une portion de la courbe de la fonction vitesse moyenne V : 2. Par lecture graphique et en laissant les tracés utiles sur le graphique : a. Déterminer pour que la vitesse moyenne soit de 24 km/h. b. Déterminer toutes les valeurs de pour lesquelles la vitesse moyenne est supérieure ou égale à 15 km/h. c. La vitesse moyenne semble-t-elle pouvoir dépasser 40 km/h ? 3. On souhaite maintenant retrouver algébriquement les réponses précédentes : 40 = 24. + 20 b. Déterminer toutes les valeurs de pour lesquelles la vitesse moyenne est supérieure ou égale à 15 km/h. c. Montrer que la vitesse moyenne ne peut pas dépasser 40 km/h. a. Déterminer pour que la vitesse moyenne soit de 24 km/h en résolvant l’équation Exercice 2 Position de trois droites Dans un repère (O, I, J), on donne les points A(12 ; 0) , B(12 ; 8) et C(0 ; 8). M est un point quelconque intérieur au rectangle OABC. On trace par M les parallèles aux axes. Elles coupent les droites (OA), (AB), (BC) et (CO) respectivement en D, F, E et G. On souhaite étudier la position des droites (OB), (DF) et (EG) suivant la position de M à l’intérieur du rectangle. (exemple de figure) Partie 1 : Expérimenter avec un logiciel de géométrie dynamique ( par exemple GEOGEBRA ) FICHIER A ENVOYER en version électronique 1. Afficher la grille et créer les points A, B, C et O. ( Par exemple, pour A, dans la ligne de saisie, écrire : A = (12,0) ) 2. Créer le rectangle OABC et la diagonale [AC]. 3. Créer un point M quelconque intérieur au rectangle et les parallèles aux axes passant par M. 4. Créer les points D, F, E, G ainsi que les droites (OB), (DF) et (EG). ( par exemple, D sera défini comme l’intersection entre deux objets sur lesquels il faut cliquer ) 5. Déplacer le point M à l’intérieur du rectangle. Quelle conjecture faites-vous concernant les droites (OB), (DF) et (EG) suivant que M appartient ou non à la diagonale [AC] ? Partie 2 : Démontrer dans deux cas particuliers 1er cas : On suppose que M a pour coordonnées (8 ; 4). 1. M appartient-il à [AC] ? Justifier. 2. Trouver l’équation réduite de chacune des droites (OB) et (DF). Justifier que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées→ de leur point d’intersection H. → 3. Calculer les coordonnées des vecteurs HE et HG. Prouver que H, E, G sont alignés puis conclure concernant les droites (OB), (DF) et (EG). 2ème cas : On suppose que M a pour coordonnées (9 ; 2). 1. Justifier que M est un point du segment [AC]. 2. Par la méthode de votre choix, démontrer que les droites (OB), (DF) et (EG) sont parallèles. Exercice3 Une expérience aléatoire consiste à lancer trois fois de suite un dé tétraédrique équilibré dont les 4 faces sont numérotées 1; 2; 3; 4 et à compter le total de points obtenu. 1. On donne ci-dessous une ébauche de l’arbre de choix correspondant à cette expérience : 1 1 2 3 4 1 TOTAL : 3 points 2 TOTAL : 4 points 3 etc 4 2 3 4 a. Quelles sont toutes les valeurs possibles pour le total de points ? b. Calculer la probabilité des événements : A : "on obtient 5 points exactement" B : "on obtient au moins 11 points" C : "on obtient au moins 4 points" 2. On considère l’algorithme suivant : Variables S, i, f des nombres Début de l’algorithme S prend la valeur 0 Pour i allant de 1 à 3 f prend la valeur d’un entier aléatoire entre 1 et 6 S prend la valeur S + f FinPour Afficher S Fin de l’algorithme a. Que représentent les variables f et S dans cet algorithme ? b. Quel est le rôle de cet algorithme ? c. Le programmer sous AlgoBox. FICHIER A ENVOYER en version électronique