DM n°10 Exercice 1 : Etude d'un capteur capacitif: Ces capteurs utilisent un condensateur comme composant principal. On rappelle qu'un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant électrique. Ici, l'isolant est de l'air, dont les propriétés électriques seront supposées identiques à celle du vide (permittivité ε0). 1) Fonctionnement On applique une tension U > 0 aux armatures du condensateur. a- Effectuer un schéma figurant: le condensateur, la tension U (représentée par une flèche) et les charges stockées (positives et négatives). b- Rappeler la loi liant la charge Q du condensateur et la tension U. 2) Condensateur cylindrique On considère un condensateur formé de deux armatures cylindriques coaxiales séparées par de l'air, selon le schéma et la légende de la Fig. 2 a). L'armature interne porte une charge -Q et l'externe une charge +Q; ces charges sont supposées uniformément réparties sur les surfaces. Les données sont : les rayons R1 et R2; la permittivité ε0; la longueur L. L est beaucoup plus grand que R2, de telle sorte que l'on peut adopter un modèle illimité. a- Quel est le système de coordonnées spatiales le plus adapté ici ? b- Déterminer, en justifiant qualitativement mais de manière précise, la direction, le sens du champ électrostatique et les coordonnées dont dépend sont module. c- Par application du théorème de Gauss, déterminer le champ en tout point de l'espace en fonction de Q et des données. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous avec les expressions littérales dans chaque zone de l'espace : r [0;R1[ ]R1,R2[ ]R2,∞[ ⃗ ‖𝐸 ‖ d- En déduire le potentiel électrostatique V (on impose V = 0 sur l'armature intérieure), puis la différence de potentiel entre l'armature externe et l'armature interne. e- Déterminer CC0 la capacité du condensateur sous la forme CC0 = AC.Lf où Lf est la longueur des portions de cylindre en regard (ici Lf = L). Expliciter AC en fonction des données. Page 1/4 f- L'armature intérieure du condensateur est susceptible de se déplacer d'une distance algébrique x par rapport à sa position de référence, selon le schéma de la Fig. 2 b). On rappelle que les charges se condensent sur les portions d'armatures en regard. Déterminer l'expression littérale de la capacité CC(x) associée à une position x donnée du cylindre intérieur en fonction de CC0, L et x. g- Tracer l'allure de CC(x) en positionnant correctement les grandeurs remarquables (pentes et valeurs sur les axes). h- Dans la perspective de la mesure d'un déplacement x, quelles sont les différences notables entre CP(x) et CC(x) ? 3) Montage potentiométrique Les variations de capacité C(x) sous l'effet du déplacement de l'une des deux armatures doivent être converties en tension de manière à pouvoir être traitées par un organe de décision ou transmises à un circuit électronique. On envisage ici une solution utilisant le montage potentiométrique de la Fig. 3, alimenté par la tension e(t) = E.cos(ωt). On s'intéressera en particulier à la sensibilité du capteur, définie par la relation σY = dY/dx, où Y représente la grandeur de sortie exploitée (amplitude U ou phase φ de la tension u(t)), dont on souhaite idéalement qu'elle soit à la fois élevée et indépendante de x. a- u(t) s'exprimant sous la forme u(t) = U.cos(ωt+φ), déterminer les expressions littérales de U et φ en fonction de E, C, R et ω. b- En déduire les sensibilités σU et σφ en fonction de C(x), dC/dx, R, E et ω. c- On envisage ici l'insertion du condensateur cylindrique étudié en question 4) : i. Indiquer, en justifiant votre réponse si les deux sensibilités σU et σφ correspondantes sont ou non indépendantes de x. ii. L'amplitude E de la tension d'entrée e(t) est susceptible de varier. Quelles sont les conséquences respectives sur σU et σφ ? iii. Laquelle des deux grandeurs de sortie U ou φ a-t-on finalement intérêt à exploiter et pourquoi ? Page 2/4 Exercice 2 : Calcul de champs magnétiques Calcul du champ magnétique créé par un solénoïde infini. Soit un solénoïde infini, d'axe Ox, dont la coupe est présentée figure 1, comportant n spires par unité de longueur parcouru par un courant I. On suppose que l'on peut assimiler ces n spires parcourues par le courant I, à un courant de densité volumique j uniforme, circulant entre R1 et R2. Figure n°1: Coupe du solénoïde infini 1. Rappeler le théorème d'Ampère, qui relie la circulation du champ magnétique sur un contour fermé au courant traversant ce contour. Donner et démontrer l’équation locale qui lui est associé. 2. Supposons, pour cette question, connu le champ sur l'axe Ox, d'intensité B0. En déduire, par le Théorème d'Ampère, et en justifiant au préalable l'utilisation du contour ci-dessus (cf figure n°1), l'expression du champ B, en fonction de B0 et des autres données du problème pour: r < R1 R1 < r < R2 r > R2 . 3. Par un raisonnement physique, concernant la valeur du champ à une distance infinie de l'axe, en déduire la valeur de B0 en fonction des données du problème. Reprendre les formules du champ magnétique obtenues lors de la question précédente, et les exprimer en fonction des données du problème. 4. Etablir la relation liant la norme du vecteur densité de courant j et l'intensité I. En déduire la valeur du champ B0, à l'intérieur du solénoïde infini en fonction de n et I. Calcul du champ magnétique créé par un câble coaxial. On considère un câble coaxial cylindrique de longueur supposée infinie, constitué d’un conducteur central plein de rayon R1 parcouru par un courant uniforme d’intensité I et d’un conducteur périphérique évidé, de rayon intérieur R2, de rayon extérieur R3 (R1 < R2 < R3) et parcouru par un courant uniforme également d’intensité I mais circulant en sens inverse au courant du conducteur central. R1 -I I . ⃗𝒛 𝒖 R2 R3 Page 3/4 ⃗ ainsi que les variables 1. Donner, en la justifiant, la direction du champ magnétique 𝐵 dont il dépend. 2. Préciser la forme des lignes de champ. ⃗ créé au point M est nul si r > R3. Expliquer alors l’intérêt du 3. Montrer que le champ 𝐵 câble coaxial par rapport au fil simple parcouru par un courant de même intensité. 4. Calculer les densités de courant 𝑗1 et 𝑗2 respectivement du conducteur central et du conducteur périphérique en fonction de I et des rayons. ⃗ en tout point de l’espace. Dessiner le 5. En séparant bien les différents cas, déterminer 𝐵 graphe de la fonction B(r). Page 4/4