ÉQUATIONS DE MAXWELL TD EM4 - Lycée François 1er
publicité
En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday et en appliquant le théorème de → − − r − →. En déduire l’expression de → Stokes, montrer que E = − dB u E , puis celle de θ 2 dt l’énergie volumique électrique ue . r 2 5. Montrer que ue /um = 2cτ . En déduire que ue um ici. Dans la suite, on TD EM4 É QUATIONS DE M AXWELL négligera donc ue devant um . Exercice EM4 .1 : Puissance dissipée dans un conducteur par induction → − 6. Calculer l’expression du vecteur de Poynting Π , et vérifier que l’équation de On considère un cylindre conducteur (conductivité γ) d’axe Oz, de rayon R et de #» hauteur h. Il est soumis à un champ magnétique variable B = B0 cos ωtu# »z . #» On suppose E(M ) = E(r, t)u#». conservation de l’énergie électromagnétique (équation de Poynting) est bien vérifiée. θ 7. Bilan d’énergie global : on considère une portion de solénoïde de longueur h selon #» 1. Calculer E. l’axe z du solénoïde (volume intérieur du solénoïde, compris entre z = 0 et z = h par exemple). Calculer l’énergie Uem que contient cette portion à l’instant t, ainsi → − que le flux ΦΠ du vecteur de Poynting Π à travers la surface délimitant cette 2. Calculer la puissance moyenne dissipée. 3. Citer et expliquer des applications. portion.Vérifier que la variation dUem dt de Uem au cours du temps est égale à −ΦΠ . Exercice EM4 .2 : Bilan énergétique pour un solénoïde dans l’ARQS Exercice EM4 .3 : Énergie électromagnétique dans un condensateur 1. Un solénoïde d’axe z comporte n spires par unité de longueur. Il est assez long pour On étudie un condensateur plan. Les armatures ont la forme de disque d’axe Oz et pouvoir être considéré comme infini. Rappeler l’expression du champ magnétique créé par ce solénoïde lorsque le courant I est constant. de rayon a. Ce condensateur est supposé idéal, c’est-à-dire qu’on néglige tout effet de On étudie dans la suite le cas d’un courant variable. Il est donné par i(t) = bord. L’armature 1 est située en z = 0 et l’armature 2 en z = e. On repère un point de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z). On notera (u#», u#», u# ») la base r I0 exp(−t/τ ). On suppose néanmoins que cette variation est assez lente pour pou- θ z correspondante. L’espace entre les armatures est défini par 0 < z < e et 0 < r < a. voir faire l’approximation des régimes quasi-stationnaires. Au fur et à mesure de Le milieu entre les armatures est assimilable au vide (permittivité ε0 et perméabilité la décroissance de i, l’énergie emmagasinée par le solénoïde va décroître (C.f. : µ0 ). L’armature 1 porte la charge positive Q et l’armature 2 la charge négative −Q. E = 1/2Li2 ). Nous étudions ici plus en détail cette décroissance. Le condensateur plan étant suppose idéal, la charge surfacique est uniforme sur une armature (σ sur l’armature 1 et −σ sur l’armature 2). 2. Donner la conditions portant sur τ , la vitesse de la lumière c et le rayon R du solénoïde pour que cette approximation puisse être faite. Rappeler la forme que 1. On suppose pour commencer que la charge est constante. On rappelle que le champ ~ = σ u# » (cf. Chap électrique entre les armatures est alors uniforme et s’écrit E prennent les équations de Maxwell dans ce cas. ε0 z 3. Montrer que dans ce cas le champ magnétique est le même que ce lui qui serait EM1). Retrouver l’expression de la capacité du condensateur puis exprimer l’éner- obtenu en régime statique, avec un courant qui vaut i(t) à l’instant t. Donner l’expression de ce champ magnétique, puis déterminer l’expression de l’énergie gie électrique WC = 21 CU 2 du condensateur en fonction du champ électrostatique → − E , de S, e et ε0 . Retrouver ainsi sur cet exemple l’expression de la densité volu- volumique magnétique um correspondante. mique d’énergie électrique ue . 2. On s’intéresse maintenant à la charge du condensateur à travers un résistor sous 4. On s’intéresse maintenant au champ électrique. On admet que le champ électrique → − → se met sous la forme E = E(r, t)− u une tension d’alimentation U0 . On considère que Q(t) = CU0 (1 − exp(−t/τ )). θ PC - Lycée François 1er - Le Havre 1/2 2016-2017 (a) On suppose que la charge Q varie suffisamment lentement pour que l’expression du champ électrique soit la même que celle obtenue en électrostatique. → − Le champ électrique E (t) s’exprime donc en fonction de la charge surfacique instantanée σ(t) au même instant t selon la même relation qu’en régime stationnaire. Écrire, en fonction de t, ε0 , U , e et τ , la densité surfacique de → − charge σ(t) et le champ électrique E (t). (b) En appliquant le théorème d’Ampère généralisé, déterminer le champ magnétique entre les armatures s’écrit pour r < a. (c) Calculer le vecteur de Poynting en r = a (à la limite de l’espace entre les armatures). (d) En déduire la puissance rayonnée sortant de l’espace entre les armatures. Déterminer alors l’énergie électromagnétique qui est entrée dans l’espace compris entre les armatures pendant la charge du condensateur (c’est-a-dire entre t = 0 et t infini). Comparer avec l’énergie emmagasinée par le condensateur. PC - Lycée François 1er - Le Havre 2/2 2016-2017
