´Enoncés des exercices

Exercices de Mathématiques
Calculs avec le nombre j
Énoncés
Énoncés des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]

x + y + z = a
Soient a, b et c trois nombres complexes. Résoudre le système x + jy + j 2 z = b

x + j 2 y + jz = c
Comment choisir a, b, c pour que les solutions soient réelles ?
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit Z = (x + jy + j 2 z)3 , où x, y et z sont trois nombres complexes donnés.
Montrer que lorsqu’on permute x, y ou z, le nombre Z ne peut prendre que deux valeurs.
A quelle condition ces deux valeurs sont-elles égales ?
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient x, y, z trois nombres réels.
Montrer que : (x + y + z)(x + jy + j 2 z)(x + j 2 y + jz) = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Déterminer une CNS pour que A(a), B(b) et C(c) forment un triangle équilatéral.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Trouver une condition nécessaire et suffisante sur z pour que les points A(z), B(z 2 ), C(z 3 )
forment un triangle équilatéral.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]

0
3
6

 S = Cn + Cn + Cn + · · ·
Calculer les sommes T = C 1n + C 4n + C 7n + · · ·


U = C 2n + C 5n + C 8n + · · ·
c
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Exercices de Mathématiques
Calculs avec le nombre j
Indications, résultats
Indications ou résultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]
Combiner les équations de manière à isoler x, ou y, ou z.
Les solutions sont réelles ⇔ a est lui même réel et b, c sont conjugués.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour à l’énoncé ]
Vérifier que Z(x, y, z) = (x + jy + j 2 z)3 est invariant par permutation circulaire.
Les deux valeurs possibles sont égales ⇔ x = y ou y = z ou x = z.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ]
Vérifier que (x + jy + j 2 z)(x + j 2 y + jz) = x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour à l’énoncé ]
Le triangle ABC peut être équilatéral direct ou indirect.
La condition cherchée est a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour à l’énoncé ]
Utiliser l’exercice précédent. On trouve z ∈ {0, 1, j, j 2 }.
Indication pour l’exercice 6 [ Retour à l’énoncé ]
Développer (1 + x)n , avec x = 1, x = j, x = j 2 .
On trouve un système semblable à celui de l’exercice 1.
c
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Exercices de Mathématiques
Calculs avec le nombre j
Corrigés
Corrigés des exercices
Corrigé de l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]
Appelons (1), (2) et (3) les trois équations. On va se servir de 1 + j + j 2 = 0.
On effectue (1) + (2) + (3) et on trouve : 3x = a + b + c.
On effectue (1) + j 2 (2) + j(3) et on trouve : 3y = a + bj 2 + cj.
On effectue (1) + j(2) + j 2 (3) et on trouve : 3z = a + bj + cj 2 .
a+b+c
a + bj 2 + cj
a + bj + cj 2
Réciproquement x =
,y =
,z =
sont solutions du système.
3
3
3
Si x, y, z sont réels, on constate que a = x + y + z est réel.
On voit aussi que c = x + j 2 y + jz = x + j y + j 2 z = x + jy + j 2 z = b.
Réciproquement les conditions a ∈ IR et c = b impliquent :
a+b+c
a+b+c
a+c+b
=
=
= x.
3
3
3
a + bj 2 + cj
a + bj + cj 2
a + cj + bj 2
y=
=
=
= y.
3
3
3
a + bj + cj 2
a + bj 2 + cj
a + cj 2 + bj
z=
=
=
= z.
3
3
3
n
a ∈ IR
Conclusion : les solutions du système sont réelles ⇔
c=b
x=
Corrigé de l’exercice 2 [ Retour à l’énoncé ]
La quantité Z(x, y, z) = (x + jy + j 2 z)3 est invariante par permutation circulaire.
En effet Z(x, y, z) = j 3 (x + jy + j 2 z)3 = (jx + j 2 y + z)3 = Z(z, x, y) = Z(y, z, x).
De la même manière, on a Z(y, x, z) = Z(z, y, x) = Z(x, z, y).
Quand on permute x, y, z, le nombre Z ne peut prendre que les valeurs
(x + jy + j 2 z)3
(y + jx + j 2 z)3
Etudions à quelles conditions ces deux valeurs sont égales.
Rappelons que pour tous complexes u et v, on a : u3 = v 3 ⇔ u ∈ {v, jv, j 2 v}. Ainsi :

2
2
 x + jy + j z = y + jx + j z
(x + jy + j 2 z)3 = (y + jx + j 2 z)3 ⇔ ou x + jy + j 2 z = jy + j 2 x + z

ou x + jy + j 2 z = j 2 y + x + jz

x = y
 (1 − j)x = (1 − j)y

⇔ ou (1 − j 2 )x = (1 − j 2 )z ⇔ ou x = z


ou y = z
ou (j − j 2 )y = (j − j 2 )z
c
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Calculs avec le nombre j
Corrigés
Corrigé de l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ]
3
j =1
Avec
on trouve : (x + jy + j 2 z)(x + j 2 y + jz) = x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz.
1 + j + j2 = 0
On en déduit : P = (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz) = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz.
Corrigé de l’exercice 4 [ Retour à l’énoncé ]
Il y a deux cas suivant que ABC est équilatéral direct ou indirect (c’est-à-dire suivant que le
parcours dans le sens trigonométrique donne A puis B puis C, ou A puis C puis B).
ABC est équilatéral direct si et seulement si le vecteur BA se déduit du vecteur BC par la
rotation d’angle π3 , c’est-à-dire si et seulement si on a l’égalité a − b = −j 2 (c − b).
Cette égalité équivaut à a − (1 + j 2 )b + j 2 c = 0, c’est-à-dire à a + jb + j 2 c = 0.
Si on échange b et c, on voit que ABC est équilatéral indirect si a + j 2 b + jc = 0.
Finalement, ABC est équilatéral si et seulement si :
(a + jb + j 2 c)(a + j 2 b + jc) = 0
⇔ a2 + b2 + c2 + (j + j 2 )(ab + ac + bc) = 0
⇔ a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
Corrigé de l’exercice 5 [ Retour à l’énoncé ]
On applique le résultat de l’exercice précédent. La condition est :
z 2 + z 4 + z 6 = z 3 + z 4 + z 5 ⇔ z 2 (z 4 − z 3 − z + 1) = 0 ⇔ z 2 (z − 1)(z 3 − 1) = 0
On trouve donc z ∈ {0, 1, j, j 2 }.
Corrigé de l’exercice 6 [ Retour à l’énoncé ]
On utilise la formule du binôme pour développer (1 + x)n , avec x = 1, x = j, x = j 2 .
On obtient successivement :
(1 + 1)n = C 0n + C 1n + C 2n + C 3n + C 4n + C 5n + · · ·
n
(1 + j)
(1 + j 2 )n
0
n
0
n
j 1n + j 2
j 2 1n + j
=C + C
=C + C
2
n
2
n
3
n
3
n
j 4n + j 2
j 2 4n + j
C +C + C
C +C + C
=S+T +U
5
n
5
n
C + · · · = S + jT + j 2 U
C + · · · = S + j 2 T + jU

n
S + T + U = 2
Ainsi S, T, U sont solutions du système : S + jT + j 2 U = (−j 2 )n

S + j 2 T + jU = (−j)n
: (1)
: (2)
: (3)
π
2n +2 cos n 3
2n +2Re ((−j)n )
2n +(−j 2 )n +(−j)n
=
=
(1) + (2) + (3) ⇒ S =
3
3
3
π
n
n
n
n
2
2 n
n
2
+2 cos(n−2) 3
2 +2Re (j(−j) )
2 +j (−j ) +j(−j)
2
=
=
(1) + j (2) + j(3) ⇒ T =
3
3
3
π
n
n
2 n
2
n
n
2
n
2
+2
cos(n−4)
2 +j(−j ) +j (−j)
2 +2Re (j (−j) )
3
2
(1) + j(2) + j (3) ⇒ U =
=
=
3
3
3
c
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