Introduction `a l`analyse Exercices 1: éléments de logique et

Introduction à l’analyse
Exercices 1: éléments de logique et techniques de preuve
1. Déterminer la valeur de vérité (VRAI ou FAUX) des énoncés suivants.
(a) 0 = 0 et 2 + 2 = 5
(f) Si 0 = 1, alors 2 + 2 = 4.
(b) 0 = 0 ou 2 + 2 = 5
(g) Pour tout x ∈ R, x 6= 1.
(c) Si 0 = 0, alors 2 + 2 = 5.
(h) Il existe x ∈ R tel que x 6= 1.
(d) Si 0 = 0, alors 2 + 2 = 4.
(i) Pour tout x ∈ R, si x ≥ 0, alors
x + 2 = 4.
(e) Si 0 = 1, alors 2 + 2 = 5.
2. Soient P, Q, R des énoncés. En faisant les tables de vérité, vérifier que
(a) les énoncés ∼ (P ∧ Q) et ∼ P ∨ ∼ Q sont logiquement équivalents;
(b) l’énoncé ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) est toujours vrai.
3. Réécrire les énoncés suivants en utilisant des quantificateurs.
(a) Il n’existe pas de plus grand entier.
(b) Entre deux nombres réels distincts, il existe toujours un nombre rationnel, distinct
des deux premiers.
4. Formuler la négation des énoncés de la question précédente (en n’écrivant pas “Il est
faux de dire que...”...)
(a) en écrivant au moyen de quantificateurs;
(b) en écrivant en français plus littéraire.
5. Soit x un nombre réel. Que peut-on conclure de chacune des propositions suivantes?
(a) Pour tout ε > 0, x < ε.
(b) Il existe un ε > 0 tel que x < ε.
(c) Pour tout ε > 0, |x| < ε.
6. Montrer que les côtés d’un triangle rectangle sont des entiers consécutifs, alors ces côtés
sont 3, 4 et 5.
7. Soit x un nombre réel. Montrer que si x > 3, alors il existe un nombre réel y < 0 tel
que x = 3y/(2 + y).
8. (a) Soit x un nombre réel. Montrer que si x > 1/2, alors il n’existe pas de nombre
réel y tel que x = y/(y 2 + 1).
(b) Formuler la réciproque de l’énoncé démontré en (a). Est-elle vraie, ou est-elle
fausse? Justifier.