Logique, Récurrences et Inégalités

Université Claude Bernard - Lyon 1
Semestre d’automne 2010-2011
Math I - PMI
Feuille d’exercices no 1
Logique-Récurrence-Inégalités-Etude de fonctions
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Logique et quantificateurs
Exercice 1. On rappelle que le “OU exclusif” de deux propriétés est une proposition qui est vérifiée si et seulement
si une et une seule des deux propositions est vérifiée. Donner la table de vérité du “OU exclusif”.
Exercice 2. Montrer la transitivité de l’implication, c’est-à-dire que pour des propositions P, Q, R, on a
((P ⇒ Q) et (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R).
Indication : faire une table de vérité.
Exercice 3. Soit P la proposition « Paul a son permis de conduire » et soit Q la proposition « Paul a plus de
18 ans ».
1. L’énoncé (P ⇒ Q) est-il vrai ?
2. L’énoncé (Q ⇒ P ) est-il vrai ?
3. L’énoncé (P ⇔ Q) est-il vrai ?
Exercice 4. Compléter, lorsque c’est possible, avec ∀ ou ∃ pour obtenir les énoncés vrais les plus forts.
1. . . . x ∈ R, (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 .
2. . . . x ∈ R, x2 + 3x + 2 = 0.
3. . . . x ∈ R, 2x + 1 = 0.
4. . . . x ∈ N, x ≤ π.
5. . . . x ∈ R, x2 + 2x + 3 = 0.
Exercice 5. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Lorsqu’elles sont fausses, énoncer leur négation.
1. ∃x ∈ N, x2 > 7.
2. ∀x ∈ N, x2 > 7.
3. ∀x ∈ N, ∃y ∈ N, y > x2 .
4. ∃y ∈ N, ∀x ∈ N, y > x2 .
Exercice 6. Traduire lorsque c’est possible les phrases suivantes à l’aide de quantificateurs mathématiques et
donner leur négation.
1. Toutes les boules contenues dans l’urne sont rouges.
2. Certains nombres entiers sont pairs.
3. Si le nombre entier n est divisible par 4, alors il se termine par 4.
1
Soit f : R → R.
4. f est positive sur R.
5. f est paire sur R.
Exercice 7. Soit P la proposition « Pour tout nombre réel x, il existe au moins un entier naturel N supérieur
ou égal à x ».
1. Traduire la proposition P à l’aide de quantificateurs mathématiques.
2. Ecrire la négation de P en français ainsi qu’à l’aide de quantificateurs.
Exercice 8. Notons E l’ensemble des étudiants de l’université Lyon 1, S l’ensemble des jours de la semaine et
pour un étudiant x, hj (x) son heure de réveil le jour j.
1. Ecrire avec des symboles mathématiques la proposition : « Tout étudiant de l’université Lyon 1 se réveille
au moins un jour de la semaine avant 8h ».
2. Ecrire la négation de cette proposition avec des symboles mathématiques puis l’énoncer en français.
Exercice 9. Ecrire en français la proposition suivante (P désigne le plan et D l’ensemble des droites du plan).
∀D ∈ D, ∀M ∈ P, M ∈
/ D =⇒ ∃∆ ∈ D, ((M ∈ ∆) et (D ∩ ∆ = ∅)) .
Exercice 10. Ecrire la négation des propositions suivantes :
1. (x = 2) et ((x + y = 5) ou (y ≥ 3)), où x et y sont des nombres réels.
2. ∀x ∈ R, ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀y ∈ R, |x − y| < η ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.
3. ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N, n ≥ N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε.
Exercice 11. Montrer que la proposition « ∀n ∈ N, 2n + 3n est un nombre premier » est fausse.
Exercice 12. Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? Justifier vos assertions.
1. ∃(x, y, z) ∈ Z3 \ {(0, 0, 0)}, x2 + y 2 = z 2 .
2. ∀(x, y, z) ∈ Z3 , x2 + y 2 = z 2 .
2
Raisonnement par récurrence
Exercice 13. Montrer que pour tout entier n ∈ N,
n
X
k=
k=0
n(n + 1)
.
2
Exercice 14. Pour tout n ≥ 1, on désigne par S1 (n), S2 (n) et S3 (n) les sommes suivantes
S1 (n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n,
S2 (n) = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 ,
S3 (n) = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 .
1. A l’aide de l’identité remarquable
(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1,
trouver une relation entre S2 (n) et S1 (n). En déduire la valeur de S2 (n) (se servir de l’exercice précédent).
2
2. Montrer en utilisant une démonstration par récurrence que, pour tout n ≥ 1, on a S3 (n) = (S1 (n))2 .
En déduire la valeur de S3 (n).
Exercice 15. Montrer que pour tout entier n ∈ N, l’entier 10n − 1 est divisible par 9.
Exercice 16. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, Sn = 1 +
1
2
+ ... +
1
n
n’est pas un entier.
Exercice 17. On définit, pour tout entier n ∈ N, An = 32n+2 − 2n+1 .
1. Calculer An+1 − 2An .
2. Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1, An est divisible par 7.
3
Quelques inégalités
Exercice 18. Soient deux nombres réels a et b vérifiant : −1 < a < 4 et −3 < b < −1. Donner un encadrement
de a − b et de a/b.
Exercice 19. Soient x1 , . . . , xn des réels compris entre 0 et 1. Montrer que :
n
Y
(1 − xi ) ≥ 1 −
i=1
n
X
xi .
i=1
Exercice 20. Soient x, y et z des nombres réels. Montrer que l’on a x2 + y 2 ≥ 2xy. En déduire l’inégalité
x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx.
Montrer que l’on a (x + y)2 ≥ 4xy. En déduire que si x, y et z sont positifs ou nuls, alors on a
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz.
Exercice 21. Soient a et b deux nombres réels strictement positifs. Montrer que
3a − b
a2
≥
.
a+b
4
En déduire que si a, b et c sont des nombres réels strictement positifs, alors on a
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
.
a+b b+c c+a
2
n
X
√
√
1
√ < n + n + 1 − 1.
Exercice 22. Montrer que pour tout entier n strictement positif,
k
k=1
4
Etude de fonctions
Exercice 23. On considère la fonction f définie par : f (x) =
x3 + 9x
, ∀x ∈ R.
x2 + 1
1. Montrer que f est impaire.
2. Dresser le tableau de variations de f sur [0; +∞[.
2
2
x −a
(On remarquera que f 0 (x) =
, a étant à déterminer)
x2 + 1
3. Déterminer une équation de la tangente, notée (T ), à la courbe (Cf ), au point d’abscisse 0.
Etudier la position de (T ) par rapport à (Cf ).
4. Montrer que (Cf ) admet une asymptote oblique, notée (∆) en +∞.
5. Tracer (Cf ), (T ) et (∆).
3
Exercice 24. Etudier les fonctions suivantes (domaine, dérivée, limites, tableau de variations, courbe) :
1. ln |2 − 5x| ;
ln x − 2
2.
;
(ln x)2
3. x ln x − x ;
ln x
4. √ ;
x
−x
5. e + x − 1 ;
e2x−1
6.
;
x−2
7. (2x − 1)e−x ;
8. (x2 − 2)e2x ;
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