3ème 3 octobre 2009 Contrôle : « Thalès et Pythagore » La présentation de la copie, la rédaction et l'orthographe sont prises en compte dans la notation. Exercice 1 (1,5 points) Pour chacune des figures, donne les quotients égaux sans justifier. On suppose ici que les droites représentées par un trait épais sont parallèles. 1/ 2/ I C W O T M S 3/ P L H V N Q X B Exercice 2 (4 points) Pour ces deux questions, justifie le mieux possible ta réponse. 1/ Les droites OM et UJ sont parallèles. Sachant que MP=3,5 cm et PU =5cm et OM =3cm , calcule la longueur UJ . Donne le résultat sous forme de fraction irréductible. 2/ On sait que DO=3 cm , OB=9 cm , OC=2 cm et OA=6 cm . Les droites (AB) et (DC) sont-elles parallèles ? O M P U J D A O C Exercice 3 (3 points) [ EF ] est un segment de 10 cm de longueur et C est le cercle de diamètre [EF ] . G est un point du cercle tel que EG=9 cm . Calcule la longueur FG . B Exercice 4 (6 points) ABC est un triangle rectangle en B tel que : AC =20 cm et BC =16 cm . F est un point du segment [BC ] tel que CF=4 cm . La perpendiculaire A à la droite BC passant par F coupe [CA ] en E . 1/ Calcule la longueur AB (justifie !). E 2/ Pourquoi les droites EF et AB sont parallèles ? (justifie !) C 3/ Calcule EF . (justifie !) B F Exercice 5 (6 points) Les droites EF et MP sont parallèles. On sait que AM =6 cm ; MP=4,8cm ; AP=3,6 cm C ; EF=6 cm ; AC =4,5 cm et AB=7,5 cm . 1/ Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle (justifie !). A M E 2/ Calculer AE puis la longueur ME (seul le détail des calculs est demandé dans cette question). 3/ Démontrer que les droites MP et BC sont parallèles (seul le détail des P calculs et la conclusion sont demandés dans cette question). F B 3ème 3 octobre 2009 Correction Exercice 1 (1,5 points) IS IW SW 1/ IC = IQ =CQ HM HP MP 2/ HL = HB = BL VN VT NT 3/ VX =VO = XO Exercice 2 (5 points) 1/ Les droites OM et UJ sont parallèles. Les droites OJ et MU sont sécantes en P . PO PM OM = = D'après le théorème de Thalès, on a : . PJ PU UJ 3,5 3 5×3 30 U = D'où : ; UJ= ; UJ= ; UJ≈4,3 cm (arrondi au 5 UJ 3,5 7 millimètre). D O M P OD 3 1 OC 2 1 O = = ; = = . 2/ Calculons séparément : OB 9 3 OA 6 3 C OD OC = On remarque que . De plus, les points O , D , B et O , C , A OB OA sont alignés dans un même ordre. Donc d'après la réciproque de Thalès, les droite AB et DC sont parallèles. Exercice 3 (3 points) • Montrons tout d'abord que EFG est rectangle. EFG est un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [ EF ] . Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et si l'un de ses côtés est un diamètre alors il est rectangle. Donc EFG est rectangle en G . • Calculons la longueur FG . Nous venons de montrer que EFG est rectangle. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore : EF 2=EG 2FG 2 2 2 2 10 =9 FG FG 2=102 – 92 2 FG =100 – 81 FG 2=19 FG= 19 FG≈4,4 cm (arrondi au millimètre) J A B 3ème 3 octobre 2009 Exercice 4 (6 points) 1/ ABC est un triangle rectangle en B . On peut donc A appliquer le théorème de Pythagore : AC 2= AB2BC 2 E 2 2 2 20 = AB 16 C B F 400= AB2256 AB²=400 – 256 2 AB =144 AB= 144=12 cm 2/ Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Dans notre figure, AB et EF sont perpendiculaires à BC . Donc AB et EF sont parallèles. 3/ D'après la question précédente, on sait que AB et EF sont parallèles. De plus, les droites CA et CB sont sécantes en C . On peut donc appliquer le théorème de Thalès : CA CB AB = = CE CF EF 16 12 = 4 EF 4×12 EF= 16 EF=3 cm Exercice 5 (6 points) 1/ Calculons séparément : AM 2=6 2=36 ; AP 2PM 2=3,6 24,82=36 . On remarque que AM²=AP² PM² . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en P . 2/ D'après le théorème de Thalès : C AE EF = AM MP A M E AE 6 = 6 4,8 6×6 P AE= F 4,8 AE=7,5 cm AP 3,6 4 AM 6 4 = = ; = = 3/ AC 4,5 5 AB 7,5 5 AP AM = Puisque , les droites MP et CB sont parallèles. AC AB B