− Troisième − Chap.01 ARITHMÉTIQUE Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) 1− − Diviseurs communs à deux nombres entiers Définition : un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b. Remarque : 1 est diviseur de tout nombre entier. Critères de divisibilité (n°58/59/60/61/62 p.30) Liste des diviseurs (n°63/64/65 p.30) Propriété et définition : parmi les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est plus grand que les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Notation : PGCD (a ; b) Exemple : Calcul du PGCD de 8 et de 12. Les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4, 8 Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12 Les diviseurs communs à 8 et à 12 sont : 1, 2, 4 donc : PGCD (8 ; 12) = 4 Diviseurs communs et PGCD (n°1/2 p.24 et n°69/70/71 p.31) Définition : lorsque le PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux. Exemples : 2 et 3 sont premiers entre eux. 2 et 4 ne sont pas premiers entre eux. (car PGCD (2 ; 4) = 2 ≠ 1) Nombres premiers entre eux (n°10/11/17 p.25 et n°72/73 p.31) 2− − Recherche du PGCD Déterminons le PGCD 448 et de 576 : Dans certains cas, la méthode précédente est trop longue. Nous en avons alors deux autres à disposition : a− − Méthode des soustractions successives Solution : j’utilise la méthode des soustractions successives 576 – 448 = 128 448 – 128 = 320 320 – 128 = 192 192 – 128 = 64 128 – 64 = 64 64 – 64 = 0 (Je calcule la différence des 2 nombres) (Je considère les 2 nombres les plus petits 448 et 128, je calcule leur différence) Le PGCD est la dernière différence non nulle : PGCD (576 ; 448) = 64 PGCD avec méthode des soustractions successives (n°3/4 p.24) − Chap.01 − 1 http://jacobinsmaths.free.fr − Troisième − b− − Méthode des divisions (algorithme d’Euclide) Solution : j’utilise l’algorithme d’Euclide Dividende Diviseur Reste (Je calcule la division euclidienne de 576 et 448) 576 448 128 (Je recommence avec 448 et 128) 448 128 64 128 64 0 Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD (576 ; 448) = 64 PGCD avec algorithme d'Euclide (n°5/6 p.24) Remarques : (1) la division euclidienne est vue en sixième. 576 = 448 x 1 + 128 576 448 tel que 128 < 448 (Reste plus petit que le diviseur) 128 1 (2) 576 = 64 × 9 et 448 = 64 × 7 Exercice type : Enoncé : 1. 126 et 210 sont-ils premiers entre eux ? 2. Calculer le PGCD des nombres 126 et 210. (Indiquer la méthode utilisée) 3. Un fleuriste dispose de 126 iris et 210 roses. Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d’iris et le même nombre de roses. a. Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ? b. Donner la composition de chacun d’eux. Solution : 1. Deux nombres sont premiers entre eux si leur Plus Grand Commun Diviseur est 1. 126 et 210 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2. Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux. 2. J’utilise l’algorithme d’Euclide : Le PGCD est le dernier reste non nul : Dividende Diviseur reste 210 126 84 126 84 42 84 42 0 PGCD (126 ; 210) = 42 3. a. Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à 210 et 126 De plus, il veut composer un maximum de bouquets, donc on doit calculer le PGCD de 210 et 126 (déjà fait à la question 2.) Par conséquent, Il peut réaliser au maximum 42 bouquets identiques. b. 126 ÷ 42 = 3 210 ÷ 42 = 5 Chaque bouquet sera composé de 3 iris et 5 roses. PGCD et problème (n°3/4 p.24) 3− − Fractions irréductibles Définition : une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont premiers entre eux. − Chap.01 − 2 http://jacobinsmaths.free.fr − Troisième − Remarque : cela veut dire que l’on ne peut plus la simplifier. Exemple : PGCD (21 ; 44) = 1 donc 21 et 44 sont premiers entre eux. 21 Donc la fraction est irréductible. 44 Propriété : la fraction a est simplifiable par PGCD (a ; b) et la fraction obtenue est irréductible. b Exemple : le PGCD de 576 et 448 est 64 (D’après 2.) 576 576 9×64 9 En simplifiant la fraction par 64, on obtient : = = . 448 7×64 7 448 9 La fraction est irréductible. 7 Exercice type : Enoncé : 170 . 578 1. Montrer que cette fraction n’est pas irréductible. 2. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître les différentes étapes de calculs). 170 3. Ecrire la fraction sous forme irréductible. 578 On considère la fraction : Solution : 1. Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. 170 et 578 sont deux nombres pairs donc divisibles par 2. 170 Par conséquent, ils ne sont pas premiers entre eux et est irréductible. 578 2. J’utilise l’Algorithme d’Euclide : Le PGCD est le dernier reste non nul : Dividende Diviseur 578 170 170 68 68 34 PGCD (170 ; 578) = 34 reste 68 34 0 3. Il suffit maintenant de simplifier la fraction par 34, et la fraction obtenue sera irréductible : 5 170 5 x 34 = = 578 17 x 34 17 PGCD et fraction irréductible (n°3/4 p.24) Remarque : avant d’utiliser cette propriété, il est souvent préférable de simplifier la fraction à l’aide des 120 12 3 critères de divisibilité : = = . 80 8 2 − Chap.01 − 3 http://jacobinsmaths.free.fr